Продукт Уайтхеда

В математике произведение Уайтхеда представляет собой градуированную структуру квазиалгебры Ли на гомотопических группах пространства. Он был определен Дж. Х. Уайтхедом в ( Whitehead 1941 ).

Соответствующий код MSC : 55Q15, Продукты и обобщения Уайтхеда.

Определение

Данные элементы $f\in \pi _{k}(X),g\in \pi _{l}(X)$ , скобка Уайтхеда

[f,g]\in \pi _{k+l-1}(X)

определяется следующим образом:

Продукт $S^{k}\times S^{l}$ можно получить, прикрепив $(k+l)$ -ячейка к сумме клина

S^{k}\vee S^{l}

;

- прилагаемая карта это карта

S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}.

Представлять $f$ и $g$ по картам

f\colon S^{k}\to X

и

g\colon S^{l}\to X,

затем составьте свой клин с помощью прилагаемой карты, как

S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}{\stackrel {f\vee g}{\ \longrightarrow \ }}X.

Гомотопический класс полученного отображения не зависит от выбора представителей, и, таким образом, получается четко определенный элемент

\pi _{k+l-1}(X).

Оценка

Обратите внимание, что в градуировке есть сдвиг на 1 (по сравнению с индексацией гомотопических групп ), поэтому $\pi _{k}(X)$ имеет степень $(k-1)$ ; эквивалентно, $L_{k}=\pi _{k+1}(X)$ (полагая L градуированной квазиалгеброй Ли). Таким образом $L_{0}=\pi _{1}(X)$ действует на каждый градуированный компонент.

Характеристики

Продукт Уайтхеда обладает следующими свойствами:

Билинейность. $[f,g+h]=[f,g]+[f,h],[f+g,h]=[f,h]+[g,h]$
Градуированная симметрия. $[f,g]=(-1)^{pq}[g,f],f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,p,q\geq 2$
Градуированная идентичность Якоби . $(-1)^{pr}[[f,g],h]+(-1)^{pq}[[g,h],f]+(-1)^{rq}[[h,f],g]=0,f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,h\in \pi _{r}X{\text{ with }}p,q,r\geq 2$

Иногда гомотопические группы пространства вместе с операцией произведения Уайтхеда называют градуированной квазиалгеброй Ли ; это доказано Уэхарой и Мэсси (1957) с помощью тройного произведения Мэсси .

Отношение к действию $\pi _{1}$

Если $f\in \pi _{1}(X)$ , то скобка Уайтхеда связана с обычным действием $\pi _{1}$ на $\pi _{k}$ к

[f,g]=g^{f}-g,

где $g^{f}$ обозначает сопряжение $g$ к $f$ .

Для $k=1$ , это сводится к

[f,g]=fgf^{-1}g^{-1},

который является обычным коммутатором в $\pi _{1}(X)$ . В этом также можно убедиться, заметив, что $2$ -ячейка тора $S^{1}\times S^{1}$ крепится вдоль коммутатора в $1$ -скелет $S^{1}\vee S^{1}$ .

Произведения Уайтхеда в H-пространствах

Для пути, связанного с H-пространством , все произведения Уайтхеда на $\pi _{*}(X)$ исчезнуть. Согласно предыдущему подразделу, это обобщение того факта, что фундаментальные группы H-пространств абелевы,и что H-пространства просты .

Приостановка

Все продукты классов Уайтхеда $\alpha \in \pi _{i}(X)$ , $\beta \in \pi _{j}(X)$ лежат в ядре надстройки гомоморфизма $\Sigma \colon \pi _{i+j-1}(X)\to \pi _{i+j}(\Sigma X)$

Примеры

$[\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]=2\cdot \eta \in \pi _{3}(S^{2})$ , где $\eta \colon S^{3}\to S^{2}$ это карта Хопфа .

Это можно показать, заметив, что инвариант Хопфа определяет изоморфизм $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$ и явно вычисляя кольцо когомологий кослоя отображения, представляющего $[\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]$ . Используя конструкцию Понтрягина-Тома, можно провести прямой геометрический аргумент, используя тот факт, что прообраз регулярной точки является копией связи Хопфа .

См. также

Ссылки

Уайтхед, JHC (апрель 1941 г.), «О добавлении отношений к гомотопическим группам», Annals of Mathematics , 2, 42 (2): 409–428, doi : 10.2307/1968907 , JSTOR 1968907
Уэхара, Хироши; Мэсси, Уильям С. (1957), «Тождество Якоби для произведений Уайтхеда», Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 361–377, MR 0091473
Уайтхед, Джордж В. (июль 1946 г.), «О произведениях в гомотопических группах», Annals of Mathematics , 2, 47 (3): 460–475, doi : 10.2307/1969085 , JSTOR 1969085
Уайтхед, Джордж В. (1978). «X.7 Продукт Уайтхеда». Элементы теории гомотопий . Спрингер-Верлаг . стр. 472–487. ISBN 978-0387903361 .