Все кронштейны

В математике скобка Тоды — операция над гомотопическими классами отображений, в частности над гомотопическими группами сфер , названная в честь Хироши Тоды , который определил их и использовал для вычисления гомотопических групп сфер в ( Тода 1962 ).

Определение

См. ( Kochman 1990 ) или ( Toda 1962 ) для получения дополнительной информации.Предположим, что

W{\stackrel {f}{\ \to \ }}X{\stackrel {g}{\ \to \ }}Y{\stackrel {h}{\ \to \ }}Z

— это последовательность отображений между пространствами, такая что композиции $g\circ f$ и $h\circ g$ оба нульгомотопны . Учитывая пространство $A$ , позволять $CA$ обозначим конус $A$ . Тогда мы получаем (неуникальную) карту

F\colon CW\to Y

индуцированный гомотопией из $g\circ f$ к тривиальной карте, которая при посткомпозиции с помощью $h$ дает карту

h\circ F\colon CW\to Z

.

Аналогично мы получаем неуникальную карту $G\colon CX\to Z$ индуцированный гомотопией из $h\circ g$ к тривиальной карте, которая при составлении с помощью $C_{f}\colon CW\to CX$ , конус карты $f$ , дает другую карту,

G\circ C_{f}\colon CW\to Z

.

Соединив эти два конуса на $W$ и карты от них до $Z$ , мы получаем карту

\langle f,g,h\rangle \colon SW\to Z

представление элемента в группе $[SW,Z]$ гомотопических классов отображений надстройки $SW$ к $Z$ , называемая Тоды скобкой $f$ , $g$ , и $h$ . Карта $\langle f,g,h\rangle$ не определено однозначно с точностью до гомотопии, поскольку существовал некоторый выбор при выборе отображений конусов. Изменение этих карт меняет скобку Тоды, добавляя элементы $h[SW,Y]$ и $[SX,Z]f$ .

Существуют также высшие скобки Тоды из нескольких элементов, определяемые, когда подходящие нижние скобки Тоды исчезают. Это соответствует теории произведений Мэсси в когомологиях .

Скобка Тоды для стабильных гомотопических групп сфер

Прямая сумма

\pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}

стабильных гомотопических групп сфер является суперкоммутативным градуированным кольцом , где умножение (называемое произведением композиции) задается композицией представляющих отображений, а любой элемент ненулевой степени нильпотентен ( Нишида 1973 ).

Если f , g и h являются элементами $\pi _{\ast }^{S}$ с $f\cdot g=0$ и $g\cdot h=0$ , есть скобка Тоды $\langle f,g,h\rangle$ этих элементов. Скобка Тоды не совсем является элементом стабильной гомотопической группы, поскольку она определена только с точностью до сложения произведений композиции некоторых других элементов. Хироши Тода использовал произведение композиции и скобки Тоды для обозначения многих элементов гомотопических групп. Коэн (1968) показал, что каждый элемент стабильных гомотопических групп сфер может быть выражен с помощью произведений композиции и высших скобок Тоды через некоторые хорошо известные элементы, называемые элементами Хопфа.

Скобка Тоды для общих триангулированных категорий

В случае общей триангулированной категории скобку Тоды можно определить следующим образом. Опять же, предположим, что

W{\stackrel {f}{\ \to \ }}X{\stackrel {g}{\ \to \ }}Y{\stackrel {h}{\ \to \ }}Z

— последовательность морфизмов в триангулированной категории такая, что $g\circ f=0$ и $h\circ g=0$ . Позволять $C_{f}$ обозначим конус f, и мы получим точный треугольник

W{\stackrel {f}{\ \to \ }}X{\stackrel {i}{\ \to \ }}C_{f}{\stackrel {q}{\ \to \ }}W[1]

Отношение $g\circ f=0$ подразумевает, что g факторы (неоднозначно) через $C_{f}$ как

X{\stackrel {i}{\ \to \ }}C_{f}{\stackrel {a}{\ \to \ }}Y

для некоторых $a$ . Тогда отношение $h\circ a\circ i=h\circ g=0$ подразумевает, что $h\circ a$ факторы (неединственно) через W[1] как

C_{f}{\stackrel {q}{\ \to \ }}W[1]{\stackrel {b}{\ \to \ }}Z

для некоторых б . Это b (выбор) скобки Тоды. $\langle f,g,h\rangle$ в группе $\operatorname {hom} (W[1],Z)$ .

Теорема о сходимости

Существует теорема о сходимости, первоначально принадлежащая Моссу. ^[1] в котором говорится, что специальные продукты Massey $\langle a,b,c\rangle$ элементов в $E_{r}$ -страница спектральной последовательности Адамса содержит постоянный цикл, то есть имеет связанный элемент в $\pi _{*}^{s}(\mathbb {S} )$ , предполагая, что элементы $a,b,c$ постоянные циклы ^[2]^{стр. 18-19}. Более того, эти произведения Мэсси имеют подъем до мотивной спектральной последовательности Адамса, дающей элемент в скобке Тоды. $\langle \alpha ,\beta ,\gamma \rangle$ в $\pi _{*,*}$ для элементов $\alpha ,\beta ,\gamma$ подъем $a,b,c$ .

Ссылки

^ Мосс, Р. Майкл Ф. (1 августа 1970 г.). «Вторичные композиции и спектральная последовательность Адамса» . Mathematische Zeitschrift . 115 (4): 283–310. дои : 10.1007/BF01129978 . ISSN 1432-1823 . S2CID 122909581 .
^ Исаксен, Дэниел К.; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (17 июня 2020 г.). «Более стабильные стебли». arXiv : 2001.04511 [ math.AT ].

Коэн, Джоэл М. (1968), «Разложение стабильной гомотопии», Annals of Mathematics , Second Series, 87 (2): 305–320, doi : 10.2307/1970586 , JSTOR 1970586 , MR 0231377 , PMC 224450 , PMID 16591550 .
Кочман, Стэнли О. (1990), «Скобы Тоды», Стабильные гомотопические группы сфер. Компьютерный подход , Конспект лекций по математике, вып. 1423, Берлин: Springer-Verlag , стр. 12–34, doi : 10.1007/BFb0083797 , ISBN. 978-3-540-52468-7 , МР 1052407 .
Нисида, Горо (1973), «Нильпотентность элементов стабильных гомотопических групп сфер», Журнал Математического общества Японии , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969/jmsj/02540707 , hdl : 2433/ 220059 , ISSN 0025-5645 , МР 0341485 .
Тода, Хироши (1962), Методы композиции в гомотопических группах сфер , Анналы математических исследований, том. 49, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-09586-8 , МР 0143217 .

[1] Мосс, Р. Майкл Ф. (1 августа 1970 г.). «Вторичные композиции и спектральная последовательность Адамса» . Mathematische Zeitschrift . 115 (4): 283–310. дои : 10.1007/BF01129978 . ISSN 1432-1823 . S2CID 122909581 .

[2] Исаксен, Дэниел К.; Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (17 июня 2020 г.). «Более стабильные стебли». arXiv : 2001.04511 [ math.AT ].

[1]

[2]