Суперкоммутативная алгебра

В математике суперкоммутативная (ассоциативная) алгебра — это супералгебра (т. е. Z ₂ - градуированная алгебра ) такая, что для любых двух однородных элементов x , y имеем

$yx=(-1)^{|x||y|}xy,$

где | х | обозначает класс элемента и равен 0 или 1 (в Z ₂ ) в зависимости от того, является ли класс четным или нечетным соответственно.

Эквивалентно, это супералгебра, в которой суперкоммутатор

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

всегда исчезает. Алгебраические структуры, которые суперкоммутативны в указанном выше смысле, иногда называют косокоммутативными ассоциативными алгебрами, чтобы подчеркнуть антикоммутативность, или, чтобы подчеркнуть градуировку, градуированно-коммутативными или, если понимать суперкоммутативность, просто коммутативными .

Любая коммутативная алгебра является суперкоммутативной, если задана тривиальная градуировка (т. е. все элементы четны). Алгебры Грассмана (также известные как внешние алгебры ) являются наиболее распространенными примерами нетривиальных суперкоммутативных алгебр. Суперцентр любой супералгебры — это набор элементов, которые суперкоммутируют со всеми элементами, и является суперкоммутативной алгеброй.

Четная подалгебра суперкоммутативной алгебры всегда является коммутативной алгеброй . То есть даже элементы всегда коммутируют. С другой стороны, странные элементы всегда антикоммутируют. То есть,

$xy+yx=0\,$

для нечетных x и y . В частности, квадрат любого нечетного элемента x обращается в нуль всякий раз, когда 2 обратимо:

$x^{2}=0.$

Таким образом, коммутативная супералгебра (с двумя обратимыми и одной компонентой ненулевой степени) всегда содержит нильпотентные элементы.

Z x -градуированная антикоммутативная алгебра свойством со ² = 0 для каждого элемента x нечетной степени (независимо от того, является ли 2 обратимым), называется знакопеременной алгеброй .

См. также

• Градуированно-коммутативное кольцо
• Супералгебра Ли