Продукт Мэсси

Произведение Мэсси представляет собой алгебраическое обобщение явления колец Борромео .

В алгебраической топологии произведение Мэсси представляет собой когомологическую операцию более высокого порядка, введенную в ( Massey 1958 ), которая обобщает произведение чашки . Продукт Мэсси был создан Уильямом С. Мэсси , американским алгебраическим топологом.

Тройное

Позволять $a,b,c$ быть элементами алгебры когомологий $H^{*}(\Gamma )$ дифференциальной градуированной алгебры $\Gamma$. Если $ab=bc=0$, продукт Мэсси $\langle a,b,c\rangle$ является подмножеством $H^{n}(\Gamma )$, где $n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1$.

Произведение Мэсси определяется алгебраически путем поднятия элементов $a,b,c$ к классам эквивалентности элементов $u,v,w$ из $\Gamma$, взяв из них произведения Мэсси и затем сведя их к когомологиям. Это может привести к четко определенному классу когомологий или к неопределенности.

Определять ${\bar {u}}$ быть $(-1)^{\deg(u)+1}u$. Класс когомологий элемента $u$ из $\Gamma$ будет обозначаться $[u]$. Тройное произведение Мэсси трех классов когомологий определяется формулой

$\langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.$

Произведение Мэсси трех классов когомологий не является элементом $H^{*}(\Gamma )$, а набор элементов $H^{*}(\Gamma )$, возможно, пустой и, возможно, содержащий более одного элемента. Если $u,v,w$ иметь ученые степени $i,j,k$, то произведение Мэсси имеет степень $i+j+k-1$, с $-1$ исходящий из дифференциала $d$.

Произведение Мэсси непусто, если произведения $uv$ и $vw$ оба точны, и в этом случае все его элементы находятся в одном и том же элементе факторгруппы.

$\displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).$

Таким образом, произведение Мэсси можно рассматривать как функцию, определенную на тройках классов, так что произведение первых или последних двух классов равно нулю и принимает значения в указанной выше факторгруппе.

Более случайно, если два попарных произведения $[u][v]$ и $[v][w]$ оба исчезают в гомологиях ( $[u][v]=[v][w]=0$), то есть, $uv=ds$ и $vw=dt$ для некоторых сетей $s$ и $t$, то тройное произведение $[u][v][w]$ исчезает «по двум разным причинам» — это граница $sw$ и $ut$ (с $d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,$ и $[dw]=0$ поскольку элементы гомологии являются циклами). Ограничивающие цепи $s$ и $t$ обладают неопределенностью, которая исчезает при переходе к гомологии, и поскольку $sw$ и $ut$ имеют одну и ту же границу, их вычитание (соглашение о знаках состоит в том, чтобы правильно обрабатывать градуировку) дает коцикл (граница разности исчезает), и, таким образом, можно получить четко определенный элемент когомологий - этот шаг аналогичен определению $n+1$первая гомотопия или группа гомологий в терминах неопределенности в нуль-гомотопиях/нуль-гомологиях n -мерных отображений/цепей.

Геометрически в сингулярных когомологиях многообразия можно интерпретировать произведение двойственно в терминах ограничивающих многообразий и пересечений, следуя двойственности Пуанкаре : двойственные коциклам - это циклы, часто представимые как замкнутые многообразия (без края), двойственные к произведению - это пересечение, и двойственное к вычитанию ограничивающих произведений - это склеивание двух ограничивающих многообразий вместе вдоль границы с получением замкнутого многообразия, которое представляет класс гомологии, двойственный к произведению Мэсси. В действительности классы гомологии многообразий не всегда могут быть представлены многообразиями - представляющий цикл может иметь особенности - но с этой оговоркой двойственная картина верна.

Продукты

В более общем смысле, n -кратное произведение Мэсси $\langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle$ из n элементов $H^{*}(\Gamma )$ определяется как набор элементов формы

${\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}$

для всех решений уравнений

$da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}$,

с $1\leq i\leq j\leq n$ и $(i,j)\neq (1,n)$, где ${\bar {u}}$ обозначает $(-1)^{\deg(u)}u$.

Произведение Мэсси высшего порядка $\langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle$ можно рассматривать как препятствие к решению последней системы уравнений для всех $1\leq i\leq j\leq n$, в том смысле, что он содержит класс когомологий 0 тогда и только тогда, когда эти уравнения разрешимы. Это n -кратное произведение Мэсси представляет собой $n-1$ операция порядковых когомологий, что означает, что для того, чтобы она была непустой, многие операции Мэсси низшего порядка должны содержать 0, и, более того, все классы когомологий, которые она представляет, различаются терминами, включающими операции низшего порядка. Двукратное произведение Масси — это обычное произведение чаши и представляет собой когомологическую операцию первого порядка, а 3-кратное произведение Масси совпадает с тройным произведением Масси, определенным выше, и является операцией вторичной когомологии .

Дж. Питер Мэй ( 1969 ) описал дальнейшее обобщение, называемое матричным произведением Масси , которое можно использовать для описания дифференциалов спектральной последовательности Эйленберга-Мура .

Приложения

Дополнение к кольцам Борромео имеет нетривиальное произведение Мэсси.

Дополнение колец Борромео приводит пример, где тройное произведение Масси определено и не равно нулю. Обратите внимание, что когомологии дополнения можно вычислить с помощью двойственности Александера . Если u , v и w являются 1-коцепями, двойственными 3-м кольцам, то произведение любых двух кратно соответствующему числу зацеплений и, следовательно, равно нулю, в то время как произведение Масси всех трех элементов не равно нулю, что показывает что кольца Борромео связаны. Алгебра отражает геометрию: кольца попарно несвязаны, что соответствует исчезновению попарных (2-кратных) произведений, но в целом связаны, что соответствует неисчезанию 3-кратного произведения.

Нетривиальные брунновские ссылки соответствуют неисчезающим произведениям Мэсси.

В более общем смысле, n -компонентные брунновские связи – такие связи, что любые $(n-1)$-компонентная подсвязь не связана, но общая n -компонентная связь связана нетривиально - соответствует n -кратным произведениям Мэсси с отсоединением $(n-1)$-компонентная подссылка, соответствующая исчезновению $(n-1)$-кратное произведение Мэсси и общее n -компонентное связывание, соответствующее неисчезанию n -кратного произведения Мэсси.

Уэхара и Мэсси (1957) использовали тройное произведение Мэсси, чтобы доказать, что произведение Уайтхеда удовлетворяет тождеству Якоби .

Произведения Масси более высокого порядка появляются при вычислении скрученной K-теории с помощью спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха (AHSS). В частности, если H является твист-3-классом, Атья и Сигал (2006) показали, что с рациональной точки зрения дифференциалы более высокого порядка $d_{2p+1}\$ в AHSS, действующем на класс x, задаются произведением Мэсси p копий H на одну копию x .

Если многообразие формально (в смысле Денниса Салливана ), то все произведения Мэсси в пространстве должны исчезнуть; таким образом, одна из стратегий показать, что данное многообразие не является формальным, - это продемонстрировать нетривиальное произведение Мэсси. Здесь формальное многообразие — это то многообразие, рациональный гомотопический тип которого можно вывести («формально») из конечномерной «минимальной модели» его комплекса де Рама . Делинь и др. (1975) показали, что компактные кэлеровы многообразия формальны.

Сальваторе и Лонгони (2005) используют произведение Мэсси, чтобы показать, что гомотопический тип конфигурационного пространства двух точек в линзовом пространстве нетривиальным образом зависит от простого гомотопического типа линзового пространства.

См. также

• Все кронштейны

Ссылки

• Атья, Майкл ; Сигал, Грэм (2006), «Искривленная K-теория и когомологии», Вдохновленный С. С. Черном , Нанкайские трактаты по математике, том. 11, Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishers, стр. 5–43, arXiv : math.KT/0510674 , doi : 10.1142/9789812772688_0002 , ISBN.  978-981-270-061-2 , МР   2307274 , S2CID   119726615
• Делинь, Пьер ; Гриффитс, Филипп ; Морган, Джон ; Салливан, Деннис (1975), «Реальная гомотопическая теория кэлеровых многообразий», Inventiones Mathematicae , 29 (3): 245–274, Bibcode : 1975InMat..29..245D , doi : 10.1007/BF01389853 , MR   0382702 , S2CID   135 7812
• Мэсси, Уильям С. (1958), «Некоторые когомологические операции более высокого порядка», Symposium International de topología алгебраика (Международный симпозиум по алгебраической топологии) , Мехико: Национальный автономный университет Мексики и ЮНЕСКО, стр. 145–154, МР   0098366
• Мэй, Дж. Питер (1969), «Матричные произведения Мэсси», Journal of Algebra , 12 (4): 533–568, doi : 10.1016/0021-8693(69)90027-1 , MR   0238929
• Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-56759-6 , MR   1793722 , Глава 8, «Продукция Massey», стр. 302–304; «Продукты Massey высшего порядка», стр. 305–310; «Продукты Matric Massey», стр. 311–312. {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Сальваторе, Паоло; Лонгони, Риккардо (2005), «Конфигурационные пространства не являются гомотопически инвариантными», Топология , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi : 10.1016/j.top.2004.11.002 , MR   2114713 , S2CID   15874513
• Уэхара, Хироши; Мэсси, Уильям С. (1957), «Тождество Якоби для произведений Уайтхеда», Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 361–377, MR   0091473

Внешние ссылки

• Хэ Ван (4 октября 2012 г.). «Продукт Мэсси и его применение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 02 февраля 2021 г. – содержит много явных примеров
• Р. Р. Брунер (2 июня 2009 г.). «Праймер спектральной последовательности Адамса» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 января 2013 г. - Заметки Брунера
• Хуан С. (1 августа 2012 г.). «Произведения Мэсси в спектральной последовательности Адамса» . Обмен стеками . – содержит ссылки, полезные для понимания того, как выполнять эти вычисления.
• Дэниел Грейди (25 февраля 2015 г.). «Продукты Massey и $A_{\infty }$ структуры» . MathOverflow .