Конфигурационное пространство (математика)

Конфигурационным пространством всех неупорядоченных пар точек окружности является лента Мёбиуса .

В математике конфигурационное пространство — это конструкция, тесно связанная с пространствами состояний или фазовыми пространствами в физике. В физике они используются для описания состояния всей системы как отдельной точки в многомерном пространстве. В математике они используются для описания присвоения набора точек позициям в топологическом пространстве . Более конкретно, конфигурационные пространства в математике являются частными примерами конфигурационных пространств в физике в частном случае нескольких не сталкивающихся частиц.

Определение

Для топологического пространства $X$ и положительное целое число $n$, позволять $X^{n}$ быть произведением декартовым $n$ копии $X$, оснащенный топологией продукта . Затем ​ ^й (упорядоченное) конфигурационное пространство $X$ - это набор из n - наборов попарно различных точек в $X$:

$\operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{for some }}i\neq j\}.$

Это пространство обычно наделено топологией подпространства из-за включения $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ в $X^{n}$. Его также иногда обозначают $F(X,n)$, $F^{n}(X)$, или ${\mathcal {C}}^{n}(X)$.

Существует естественное действие симметрической группы $S_{n}$ по пунктам в $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ данный

${\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}$

Это действие приводит к появлению n ^й неупорядоченное конфигурационное пространство X ,

$\operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},$

которое является пространством орбиты этого действия. Интуиция подсказывает, что это действие «забывает названия точек». Неупорядоченное конфигурационное пространство иногда обозначается ${\mathcal {UC}}^{n}(X)$, $B_{n}(X)$, или $C_{n}(X)$. Коллекция неупорядоченных конфигурационных пространств по всем $n$ является пространством Рана и имеет естественную топологию.

формулировки

Для топологического пространства $X$ и конечное множество $S$конфигурационное пространство X с частицами, помеченными S, равно

$\operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.$

Для $n\in \mathbb {N}$, определять $\mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}$. Тогда н ^й Конфигурационное X пространство $\operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)$и обозначается просто $\operatorname {Conf} _{n}(X)$.

Примеры

• Пространство упорядоченной конфигурации двух точек в $\mathbf {R} ^{2}$ гомеоморфно т.е. произведению евклидова 3-пространства на окружность, $\operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}$.
• В более общем плане конфигурационное пространство двух точек в $\mathbf {R} ^{n}$ эквивалентна гомотопически сфере $S^{n-1}$.
• Конфигурационное пространство $n$ указывает на $\mathbf {R} ^{2}$ является классифицирующим пространством $n$ ( группа кос см. ниже ).

Подключение к группам кос

Основная статья: Группа кос

Группа n -нитевых кос в связном топологическом пространстве X — это

$B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),$

фундаментальная группа n ​ ^й неупорядоченное конфигурационное пространство X . Группа n чистых кос из -нитей на X — это

$P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).$

Первыми изученными группами кос были группы кос Артина. $B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))$. Хотя приведенное выше определение не является тем, которое дал Эмиль Артин , Адольф Гурвиц неявно определил группы кос Артина как фундаментальные группы конфигурационных пространств комплексной плоскости значительно раньше определения Артина (в 1891 году).

Из этого определения следует, а также тот факт, что $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ и $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ являются пространствами Эйленберга–Маклейна типа $K(\pi ,1)$, что неупорядоченное конфигурационное пространство плоскости $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ является классифицирующим пространством для группы кос Артина, а $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ является классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина, когда обе рассматриваются как дискретные группы .

Конфигурационные пространства многообразий

Если исходное пространство $X$ является многообразием , его упорядоченные конфигурационные пространства являются открытыми подпространствами степеней $X$ и, таким образом, сами являются многообразиями. Конфигурационное пространство различных неупорядоченных точек также является многообразием, а конфигурационное пространство не обязательно различных неупорядоченные точки вместо этого являются орбифолдом .

Конфигурационное пространство — это тип классифицирующего пространства или (тонкого) пространства модулей . В частности, существует универсальный комплект $\pi \colon E_{n}\to C_{n}$ которое является подрасслоением тривиального расслоения $C_{n}\times X\to C_{n}$, и который обладает тем свойством, что слой над каждой точкой $p\in C_{n}$ - это n элементов подмножество $X$ классифицируется по п .

Гомотопическая инвариантность

Гомотопический тип конфигурационного пространства не является гомотопически инвариантным . Например, пространства $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ не являются гомотопически эквивалентными для любых двух различных значений $m$: $\mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})$ пуст для $n\geq 2$, $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} )$ не подключен для $n\geq 2$, $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ является пространством Эйленберга–Маклейна типа $K(\pi ,1)$, и $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ просто подключен для $m\geq 3$.

Раньше оставался открытым вопрос, существуют ли примеры компактных многообразий, которые были гомотопически эквивалентны, но имели негомотопически эквивалентные конфигурационные пространства: такой пример был найден только в 2005 году Риккардо Лонгони и Паоло Сальваторе. Их примером являются два трехмерных линзовых пространства и конфигурационные пространства как минимум двух точек в них. То, что эти конфигурационные пространства не являются гомотопически эквивалентными, было обнаружено произведениями Мэсси в их соответствующих универсальных накрытиях. Гомотопическая инвариантность конфигурационных пространств односвязных замкнутых многообразий в целом остается открытой и, как было доказано, справедлива над базовым полем. $\mathbf {R}$. реальная гомотопическая инвариантность односвязных компактных многообразий с односвязной границей размерности не менее 4. Доказана также

Конфигурационные пространства графов

Некоторые результаты специфичны для конфигурационных пространств графов . Эта проблема может быть связана с робототехникой и планированием движения: можно представить себе размещение нескольких роботов на рельсах и попытку переместить их в разные позиции без столкновений. Дорожки соответствуют (краям) графа, роботы соответствуют частицам, а успешная навигация соответствует пути в конфигурационном пространстве этого графа.

Для любого графика $\Gamma$, $\operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )$ является пространством Эйленберга–Маклейна типа $K(\pi ,1)$ а сильная деформация сводится к комплексу CW размерности $b(\Gamma )$, где $b(\Gamma )$ — количество вершин степени не ниже 3. Более того, $\operatorname {UConf} _{n}(\Gamma )$ и $\operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )$ деформация стягивается к неположительно искривленным кубическим комплексам размерности не более $\min(n,b(\Gamma ))$.

Конфигурационные пространства механических связей

Также определяется конфигурационное пространство механической связи с графом $\Gamma$ ее основная геометрия. Обычно предполагается, что такой граф построен как совокупность жестких стержней и шарниров. Конфигурационное пространство такой связи определяется как совокупность всех ее допустимых положений в евклидовом пространстве, снабженных соответствующей метрикой. Конфигурационное пространство типичной связи представляет собой гладкое многообразие, например, для тривиальной плоской связи, состоящей из $n$ жесткие стержни, соединенные поворотными шарнирами, конфигурационное пространство - n-тор $T^{n}$. Простейшая точка особенности в таких конфигурационных пространствах — это произведение конуса однородной квадратичной гиперповерхности на евклидово пространство. Такая точка сингулярности возникает для связей, которые могут быть разделены на две подсвязи так, что их соответствующие конечные точки пересекаются непоперечным образом, например, связь, которая может быть выровнена (т.е. полностью сложена в линию).

Компактификация

Конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ различных точек некомпактна и имеет концы там, где точки стремятся сблизиться (слиться). Многие геометрические приложения требуют компактных пространств, поэтому хотелось бы компактифицировать $\operatorname {Conf} _{n}(X)$, т. е. вложить его как открытое подмножество компакта с подходящими свойствами. Подходы к этой проблеме были предложены Раулем Боттом и Клиффордом Таубсом . а также Уильям Фултон и Роберт Макферсон .

См. также

• Конфигурационное пространство (физика)
• Пространство состояний (физика)