Просто подключенное пространство

В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным , или 1-односвязным). ^[1]), если он связен по путям и каждый путь между двумя точками можно непрерывно преобразовать в любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, не имеющему непересекающихся частей и дыр, полностью проходящих через него, поскольку два пути, огибающие разные стороны такой дыры, не могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором невозможности односвязности пространства: топологическое пространство с линейной связностью является односвязным тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

и формулировки Определение эквивалентные

Топологическое пространство $X$ называется односвязным , если он линейно связен и любая петля в $X$ определяется $f:S^{1}\to X$ можно стянуть в точку: существует непрерывное отображение $F:D^{2}\to X$ такой, что $F$ ограниченный $S^{1}$ является $f.$ Здесь, $S^{1}$ и $D^{2}$ обозначает единичную окружность и замкнутый единичный диск в евклидовой плоскости соответственно.

Эквивалентная формулировка такова: $X$ просто связен тогда и только тогда, когда он связен по путям и всякий раз, когда $p:[0,1]\to X$ и $q:[0,1]\to X$ — это два пути (то есть непрерывные карты) с одной и той же начальной и конечной точкой ( $p(0)=q(0)$ и $p(1)=q(1)$ ), затем $p$ может непрерывно деформироваться в $q$ сохраняя при этом обе конечные точки фиксированными. Явно существует гомотопия $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ такой, что $F(x,0)=p(x)$ и $F(x,1)=q(x).$

Топологическое пространство $X$ просто связен тогда и только тогда, когда $X$ является линейно связным и является группой фундаментальной $X$ в каждой точке тривиален, т.е. состоит только из единичного элемента . Сходным образом, $X$ односвязно тогда и только тогда, когда для всех точек $x,y\in X,$ набор морфизмов $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ в фундаментальном группоиде $X$ имеет только один элемент. ^[2]

В комплексном анализе : открытое подмножество $X\subseteq \mathbb {C}$ просто связен тогда и только тогда, когда оба $X$ и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы представляет собой пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого несвязно. Тем не менее, это просто связано. Ослабление требования о том, что $X$ Быть связным приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, открытое множество (не обязательно связное) имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда каждый из его связных компонентов односвязен.

Неформальное обсуждение [ править ]

Неформально объект в нашем пространстве является просто связным, если он состоит из одного куска и не имеет проходящих через него «дырок». Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях не просто соединен круг, а диск и линия. Пространства, которые связны , но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .

Сфера просто связна , потому что каждую петлю можно стянуть (на поверхности) в точку.

Определение исключает только ручки отверстия в форме . Сфера (или, что то же самое, резиновый шарик с полым центром) является просто связной, поскольку любая петля на поверхности сферы может сжаться в точку, даже если она имеет «дырку» в полом центре. Более сильное условие, согласно которому объект не имеет дырок любого размера, называется сжимаемостью .

Примеры [ править ]

Евклидова плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ просто связано, но $\mathbb {R} ^{2}$ минус происхождение $(0,0)$ не является. Если $n>2,$ тогда оба $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ минус начало просто связаны.
Аналогично: n -мерная сфера $S^{n}$ просто связен тогда и только тогда, когда $n\geq 2.$
Каждое выпуклое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ просто связано.
Тор , (эллиптический) цилиндр , лента Мёбиуса , проективная плоскость и бутылка Клейна не просто связаны между собой.
Каждое топологическое векторное пространство односвязно; сюда входят банаховы пространства и гильбертовы пространства .
Для $n\geq 2,$ специальная ортогональная группа $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ не является односвязной и имеет специальную унитарную группу $\operatorname {SU} (n)$ просто связано.
Одноточечная компактификация $\mathbb {R}$ не просто связано (хотя $\mathbb {R}$ просто связан).
Длинная линия $L$ односвязен, но его компактификация, расширенная длинная линия $L^{*}$ нет (поскольку он даже не связан по пути).

Свойства [ править ]

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) помещения $X$ представляет собой односвязное пространство, которое отображается в $X$ через карту покрытия .

Если $X$ и $Y$ эквивалентны гомотопически и $X$ просто связано, то так же $Y.$

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ который не просто связан.

Понятие простой связности важно в комплексном анализе из-за следующих фактов:

утверждает Интегральная теорема Коши , что если $U$ представляет собой односвязное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb {C} ,$ и $f:U\to \mathbb {C}$ — голоморфная функция , то $f$ имеет первообразную $F$ на $U,$ и значение каждого линейного интеграла в $U$ с подынтегральной функцией $f$ зависит только от конечных точек $u$ и $v$ пути и может быть вычислено как $F(v)-F(u).$ Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего $u$ и $v,$
Теорема Римана об отображении утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество $\mathbb {C}$ (кроме $\mathbb {C}$ сам по себе) конформно эквивалентен единичному диску .

Понятие простой связности также является решающим условием гипотезы Пуанкаре .

См. также [ править ]

Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
Отвод деформации — непрерывное отображение топологического пространства в подпространство с сохранением положения.
n-связное пространство
Связано по пути — топологическое пространство, которое связано.
Однокогерентное пространство

Ссылки [ править ]

^ «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 г.
^ Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228 . OCLC 712629429 .

Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN 0-387-94426-5 .
Конвей, Джон (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
Бурбаки, Николя (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Спрингер. ISBN 3-540-43405-4 .
Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Спрингер. ISBN 0-387-95069-9 .
Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию . Издатели Нью Эйдж. ISBN 0-85226-444-5 .

[1] «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 г.

[2] Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228 . OCLC 712629429 .

[1]

[2]