Jump to content

Гомотопическая связность

(Перенаправлено из N-связного пространства )

В алгебраической топологии гомотопическая связность — это свойство, описывающее топологическое пространство на основе размерности его дыр. В общем, низкая гомотопическая связность указывает на то, что в пространстве есть хотя бы одна низкоразмерная дыра. Понятие n -связности обобщает понятия линейной связности и простой связности .

Эквивалентное определение гомотопической связности основано на гомотопических группах пространства. Пространство называется n -связным (или n -простосвязным ), если его первые n гомотопических групп тривиальны.

Гомотопическая связность определена и для карт. Отображение называется n -связным, если оно является изоморфизмом «до размерности n в гомотопии ».

Определение с помощью отверстий

[ редактировать ]

Все определения ниже рассматривают топологическое пространство X .

Неформально дырка — это в X вещь, которая не позволяет некоторой правильно расположенной сфере непрерывно сжиматься до точки. [1] : 78  Эквивалентно, это сфера , которую нельзя непрерывно расширить до шара . Формально,

  • d -мерная сфера в X является непрерывной функцией .
  • D -мерный шар в X является непрерывной функцией .
  • Дырка с d-мерной границей в X — это d- мерная сфера, которая не является нульгомотопной (- не может быть непрерывно стянута в точку). Эквивалентно, это d- мерная сфера, которую нельзя непрерывно расширить до ( d +1)-мерного шара. Иногда ее называют ( d +1)-мерной дыркой ( d +1 — размерность «недостающего шара»).
  • X называется n -связным , если оно не содержит дырок граничной размерности d n . [1] : 78, раздел 4.3
  • Гомотопическая связность X , обозначаемая , — наибольшее целое число n, для которого X является n -связным.
  • Немного другое определение связности, которое упрощает некоторые вычисления: наименьшее целое число d такое, что X содержит d -мерную дыру. Этот параметр связности обозначается , и он отличается от предыдущего параметра на 2, т.е. . [2]
2-мерная дырка (дырка с 1-мерной границей).
  • 2-мерная дырка (дырка с 1-мерной границей) — это круг (S 1 ) в X , которую нельзя непрерывно сжать до точки в X . Пример показан на рисунке справа. Желтая область — топологическое пространство X ; это пятиугольник с удаленным треугольником. это одномерная сфера в X. Синий круг — Его нельзя непрерывно сжимать до точки в X; поэтому; X имеет двумерное отверстие. Другой пример — проколотая плоскость — евклидова плоскость с удаленной единственной точкой. . Чтобы сделать двумерное отверстие в трехмерном шаре, проделайте через него туннель . [1] В общем, пространство содержит одномерную граничную дыру тогда и только тогда, когда оно не является односвязным . Следовательно, односвязность эквивалентна 1-связности. X 0-связен, но не 1-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 2, поэтому .
    Трехмерное отверстие.
  • Трехмерное отверстие (дырка с двухмерной границей) показано на рисунке справа. Здесь X — куб (желтый) с удаленным шаром (белый). Двумерную сферу (синюю) нельзя непрерывно сжимать до одной точки. X односвязен, но не 2-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 3, поэтому .
Одномерное отверстие.
  • Для 1-мерной дырки (дырки с 0-мерной границей) нам нужно рассмотреть - нульмерная сфера. Что такое нульмерная сфера? - Для каждого целого числа d сфера — граница ( d +1)-мерного шара . Так является границей , который является отрезком [0,1]. Поэтому, представляет собой набор двух непересекающихся точек {0, 1}. Нульмерная сфера в X это просто набор двух точек в X. — Если существует такое множество, которое нельзя непрерывно сжать до одной точки в X (или непрерывно расширить до сегмента в X ), это означает, что между двумя точками нет пути, то есть X не является линейно связным. ; см. рисунок справа. Следовательно, линейно-связная эквивалентна 0-связной. X не 0-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 1, поэтому .
  • 0-мерная дырка — это отсутствующий 0-мерный шар. 0-мерный шар — это одна точка; его граница пустое множество. Следовательно, существование 0-мерной дыры эквивалентно пустоте пространства. Следовательно, непустое эквивалентно (-1)-связному. пространства X Для пустого и , что является его наименьшим возможным значением.
  • нет В шаре отверстий любого размера. Следовательно, его связность бесконечна: .

Гомотопическая связность сфер

[ редактировать ]

В общем случае для любого целого d числа ) [1] : 79, Thm.4.3.2 Доказательство требует двух направлений:

  • Доказывая это , то есть, не может быть непрерывно сведено к одной точке. Это можно доказать с помощью теоремы Борсука–Улама .
  • Доказывая это , то есть, то есть каждое непрерывное отображение для можно непрерывно сжимать к одной точке.

Определение с использованием групп

[ редактировать ]

Пространство X называется n -связным при n ≥ 0, если оно непусто и все его гомотопические группы порядка d n являются тривиальной группой : где обозначает i - ю гомотопическую группу , а 0 обозначает тривиальную группу. [3] Оба определения эквивалентны. Требование к n -связному пространству состоит из требований для всех d n :

  • Требование d =-1 означает, что X не должно быть пустым.
  • Требование d =0 означает, что X должен быть путевым.
  • Требование любого d ≥ 1 означает, что X не содержит дыр граничной размерности d . То есть каждая d -мерная сфера в X гомотопна постоянному отображению. Следовательно, d -я гомотопическая группа X тривиальна. Верно и обратное: если X имеет дыру с d -мерной границей, то существует d -мерная сфера, не гомотопная постоянному отображению, поэтому d -я гомотопическая группа X нетривиальна. Короче говоря, X имеет дырку с d -мерной границей, если и только если Гомотопическая связность X это наибольшее целое число n, для которого X является n -связным. [4]

Требования непустой и связности путей можно интерпретировать как (-1)-связные и 0-связные соответственно, что полезно при определении 0-связных и 1-связных карт, как показано ниже. 0- й гомотопический набор можно определить как:

Это всего лишь точечное множество , а не группа, если только X само по себе не является топологической группой ; выделенная точка — это класс тривиального отображения, отправляющего S 0 базовой точки X. до Используя этот набор, пространство является 0-связным тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X было точечным (имело выбранную базовую точку), чего невозможно сделать, если X пусто.

Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда, когда его 0-я гомотопическая группа тождественно равна нулю, поскольку линейная связность подразумевает, что любые две точки x 1 и x 2 в X могут быть соединены непрерывным путем , который начинается в x 1 и заканчивается в x 2 , что эквивалентно утверждению, что каждое отображение из S 0 ( дискретный набор из двух точек) в X можно непрерывно деформировать до постоянного отображения. Используя это определение, мы можем определить X как n -связный тогда и только тогда, когда

  • Пространство X (−1)-связно тогда и только тогда, когда оно непусто.
  • Пространство X 0-связно тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
  • Пространство 1-связно тогда и только тогда, когда оно односвязно .
  • n -сфера ( n 1)-связна.

n -связная карта

[ редактировать ]

Соответствующим относительным понятием абсолютному понятию n - связного пространства является n -связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n − 1)-связным пространством. В терминах гомотопических групп это означает, что отображение является n -связным тогда и только тогда, когда:

  • является изоморфизмом для , и
  • это сюръективность.

Последнее условие часто сбивает с толку; это происходит потому, что обращение в нуль ( n − 1)-й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n й гомотопические группы в точной последовательности:

Если группа справа исчезает, то отображение слева является сюръекцией.

Низкоразмерные примеры:

  • Связное отображение (0-связное отображение) — это отображение, которое находится на компонентах пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустости гомотопического слоя.
  • Односвязное отображение (1-связное отображение) — это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).

n -связность пространств, в свою очередь, может быть определена через n -связность отображений: пространство X с базовой точкой x 0 является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точки является n -связным отображением. Одноточечное множество сжимаемо, поэтому все его гомотопические группы исчезают, и, таким образом, «изоморфизм ниже n и на в точке n » соответствует первых n гомотопических групп X. исчезновению

Интерпретация

[ редактировать ]

Это поучительно для подмножества: включение n -связное такое, что до размерности n − 1 гомотопии в большем пространстве X могут быть гомотопированы в гомотопии в подмножестве A .

Например, для карты включения чтобы быть 1-связным, оно должно быть:

  • на
  • один на один и
  • на

Один на один вкл. означает, что если существует путь, соединяющий две точки пройдя через X, существует путь, в A соединяющий их, а на означает, что на самом деле путь в X гомотопен пути в A.

Другими словами, функция, являющаяся изоморфизмом на подразумевает лишь то, что любые элементы которые гомотопны в X, гомотопны абстрактно в A - гомотопия в A может быть не связана с гомотопией в X - но при этом быть n -связной (так же и на ) означает, что (вплоть до размерности n − 1) гомотопии в X можно вставить в гомотопии в A .

Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n -связным (при n > k ) - например, включение точки в n -сфера - обладает тем свойством, что любые ячейки в размерах от k до n не влияют на гомотопические типы меньшей размерности.

Нижние границы

[ редактировать ]

Многие топологические доказательства требуют нижних оценок гомотопической связности. Существует несколько «рецептов» доказательства таких нижних оценок.

Гомология

[ редактировать ]

Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность гомологической связности , обозначаемой . Это полезно для вычисления гомотопической связности, поскольку гомологические группы вычисляются проще.


Предположим сначала, что X односвязно, т. е. . Позволять ; так для всех , и . Теорема Гуревича [5] : 366, Thm.4.32 говорит, что в данном случае для всех , и изоморфен , так слишком. Поэтому: Если X не односвязен ( ), затем все еще держится. Когда это тривиально. Когда (так что X линейно связен, а не односвязен), необходимо доказать, что . [ нужны разъяснения ]

Неравенство может быть строгим: существуют пространства, в которых но . [6]

По определению, k -я группа гомологии симплициального комплекса зависит только от симплексов размерности не выше k +1 (см. симплициальные гомологии ). Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что симплициальный комплекс K является k -связным тогда и только тогда, когда его ( k +1)-мерный скелет (подмножество K , содержащее только симплексы размерностью не более k +1) является k -связным: [1] : 80, Поп.4.4.2.

Присоединиться

[ редактировать ]

Пусть K и L — непустые клеточные комплексы . Их соединение обычно обозначается . Затем: [1] : 81, Поп.4.4.3

Тождество упрощается с помощью эта-нотации: В качестве примера позвольте совокупность двух несвязанных точек. Между точками имеется одномерное отверстие, поэтому эта равна 1 . Соединение — квадрат, гомеоморфный кругу, поэтому его этата равна 2 . Соединение этого квадрата с третьей копией К представляет собой октаэдр , гомеоморфный , а его эта равна 3. В общем случае объединение n копий гомеоморфен и его эта равна n .

Общее доказательство основано на аналогичной формуле для гомологической связности.

Пусть K 1 ,..., K n абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K .

Обозначим нервный комплекс { K 1 , ... , K n } (абстрактный комплекс, записывающий шаблон пересечения K i ) через N .

Если для каждого непустого , пересечение либо пусто, либо ( | J |+1)-связно, то для каждого j k j j гомотопическая группа N изоморфна k гомотопической группе K .

В частности, N k - связен тогда и только тогда, когда K - связен k . [7] : Thm.6

Гомотопический принцип

[ редактировать ]

В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, например пространства погружений, в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя связанными пространствами. Говорят, что n -связны удовлетворяют гомотопическому принципу или «h-принципу». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б с д и ж Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3
  2. ^ Ахарони, Рон; Бергер, Эли (2006). «Пересечение матроида и симплициального комплекса» . Труды Американского математического общества . 358 (11): 4895–4917. дои : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN   0002-9947 .
  3. ^ «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 18 сентября 2017 г.
  4. ^ Фрик, Флориан; Соберон, Пабло (11 мая 2020 г.). «Топологическая проблема Тверберга за пределами простых степеней». arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].
  5. ^ Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-79160-1
  6. ^ См. пример 2.38 в книге Хэтчера. См. также этот ответ .
  7. ^ Бьёрнер, Андерс (1 апреля 2003 г.). «Нервы, волокна и гомотопические группы» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 102 (1): 88–93. дои : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN   0097-3165 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 90324d8a0f8d5fb5060493ff0b84bfd5__1697407560
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/90/d5/90324d8a0f8d5fb5060493ff0b84bfd5.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Homotopical connectivity - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)