Гомотопическая связность
В алгебраической топологии гомотопическая связность — это свойство, описывающее топологическое пространство на основе размерности его дыр. В общем, низкая гомотопическая связность указывает на то, что в пространстве есть хотя бы одна низкоразмерная дыра. Понятие n -связности обобщает понятия линейной связности и простой связности .
Эквивалентное определение гомотопической связности основано на гомотопических группах пространства. Пространство называется n -связным (или n -простосвязным ), если его первые n гомотопических групп тривиальны.
Гомотопическая связность определена и для карт. Отображение называется n -связным, если оно является изоморфизмом «до размерности n в гомотопии ».
Определение с помощью отверстий
[ редактировать ]Все определения ниже рассматривают топологическое пространство X .
Неформально дырка — это в X вещь, которая не позволяет некоторой правильно расположенной сфере непрерывно сжиматься до точки. [1] : 78 Эквивалентно, это сфера , которую нельзя непрерывно расширить до шара . Формально,
- d -мерная сфера в X является непрерывной функцией .
- D -мерный шар в X является непрерывной функцией .
- Дырка с d-мерной границей в X — это d- мерная сфера, которая не является нульгомотопной (- не может быть непрерывно стянута в точку). Эквивалентно, это d- мерная сфера, которую нельзя непрерывно расширить до ( d +1)-мерного шара. Иногда ее называют ( d +1)-мерной дыркой ( d +1 — размерность «недостающего шара»).
- X называется n -связным , если оно не содержит дырок граничной размерности d ⩽ n . [1] : 78, раздел 4.3
- Гомотопическая связность X , обозначаемая , — наибольшее целое число n, для которого X является n -связным.
- Немного другое определение связности, которое упрощает некоторые вычисления: наименьшее целое число d такое, что X содержит d -мерную дыру. Этот параметр связности обозначается , и он отличается от предыдущего параметра на 2, т.е. . [2]
Примеры
[ редактировать ]- 2-мерная дырка (дырка с 1-мерной границей) — это круг (S 1 ) в X , которую нельзя непрерывно сжать до точки в X . Пример показан на рисунке справа. Желтая область — топологическое пространство X ; это пятиугольник с удаленным треугольником. это одномерная сфера в X. Синий круг — Его нельзя непрерывно сжимать до точки в X; поэтому; X имеет двумерное отверстие. Другой пример — проколотая плоскость — евклидова плоскость с удаленной единственной точкой. . Чтобы сделать двумерное отверстие в трехмерном шаре, проделайте через него туннель . [1] В общем, пространство содержит одномерную граничную дыру тогда и только тогда, когда оно не является односвязным . Следовательно, односвязность эквивалентна 1-связности. X 0-связен, но не 1-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 2, поэтому .
- Трехмерное отверстие (дырка с двухмерной границей) показано на рисунке справа. Здесь X — куб (желтый) с удаленным шаром (белый). Двумерную сферу (синюю) нельзя непрерывно сжимать до одной точки. X односвязен, но не 2-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 3, поэтому .
- Для 1-мерной дырки (дырки с 0-мерной границей) нам нужно рассмотреть - нульмерная сфера. Что такое нульмерная сфера? - Для каждого целого числа d сфера — граница ( d +1)-мерного шара . Так является границей , который является отрезком [0,1]. Поэтому, представляет собой набор двух непересекающихся точек {0, 1}. Нульмерная сфера в X это просто набор двух точек в X. — Если существует такое множество, которое нельзя непрерывно сжать до одной точки в X (или непрерывно расширить до сегмента в X ), это означает, что между двумя точками нет пути, то есть X не является линейно связным. ; см. рисунок справа. Следовательно, линейно-связная эквивалентна 0-связной. X не 0-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 1, поэтому .
- 0-мерная дырка — это отсутствующий 0-мерный шар. 0-мерный шар — это одна точка; его граница пустое множество. Следовательно, существование 0-мерной дыры эквивалентно пустоте пространства. Следовательно, непустое эквивалентно (-1)-связному. пространства X Для пустого и , что является его наименьшим возможным значением.
- нет В шаре отверстий любого размера. Следовательно, его связность бесконечна: .
Гомотопическая связность сфер
[ редактировать ]В общем случае для любого целого d числа (и ) [1] : 79, Thm.4.3.2 Доказательство требует двух направлений:
- Доказывая это , то есть, не может быть непрерывно сведено к одной точке. Это можно доказать с помощью теоремы Борсука–Улама .
- Доказывая это , то есть, то есть каждое непрерывное отображение для можно непрерывно сжимать к одной точке.
Определение с использованием групп
[ редактировать ]Пространство X называется n -связным при n ≥ 0, если оно непусто и все его гомотопические группы порядка d ≤ n являются тривиальной группой : где обозначает i - ю гомотопическую группу , а 0 обозначает тривиальную группу. [3] Оба определения эквивалентны. Требование к n -связному пространству состоит из требований для всех d ≤ n :
- Требование d =-1 означает, что X не должно быть пустым.
- Требование d =0 означает, что X должен быть путевым.
- Требование любого d ≥ 1 означает, что X не содержит дыр граничной размерности d . То есть каждая d -мерная сфера в X гомотопна постоянному отображению. Следовательно, d -я гомотопическая группа X тривиальна. Верно и обратное: если X имеет дыру с d -мерной границей, то существует d -мерная сфера, не гомотопная постоянному отображению, поэтому d -я гомотопическая группа X нетривиальна. Короче говоря, X имеет дырку с d -мерной границей, если и только если Гомотопическая связность X — это наибольшее целое число n, для которого X является n -связным. [4]
Требования непустой и связности путей можно интерпретировать как (-1)-связные и 0-связные соответственно, что полезно при определении 0-связных и 1-связных карт, как показано ниже. 0- й гомотопический набор можно определить как:
Это всего лишь точечное множество , а не группа, если только X само по себе не является топологической группой ; выделенная точка — это класс тривиального отображения, отправляющего S 0 базовой точки X. до Используя этот набор, пространство является 0-связным тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X было точечным (имело выбранную базовую точку), чего невозможно сделать, если X пусто.
Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда, когда его 0-я гомотопическая группа тождественно равна нулю, поскольку линейная связность подразумевает, что любые две точки x 1 и x 2 в X могут быть соединены непрерывным путем , который начинается в x 1 и заканчивается в x 2 , что эквивалентно утверждению, что каждое отображение из S 0 ( дискретный набор из двух точек) в X можно непрерывно деформировать до постоянного отображения. Используя это определение, мы можем определить X как n -связный тогда и только тогда, когда
Примеры
[ редактировать ]- Пространство X (−1)-связно тогда и только тогда, когда оно непусто.
- Пространство X 0-связно тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
- Пространство 1-связно тогда и только тогда, когда оно односвязно .
- n − -сфера ( n 1)-связна.
n -связная карта
[ редактировать ]Соответствующим относительным понятием абсолютному понятию n - связного пространства является n -связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n − 1)-связным пространством. В терминах гомотопических групп это означает, что отображение является n -связным тогда и только тогда, когда:
- является изоморфизмом для , и
- это сюръективность.
Последнее условие часто сбивает с толку; это происходит потому, что обращение в нуль ( n − 1)-й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n й гомотопические группы в точной последовательности:
Если группа справа исчезает, то отображение слева является сюръекцией.
Низкоразмерные примеры:
- Связное отображение (0-связное отображение) — это отображение, которое находится на компонентах пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустости гомотопического слоя.
- Односвязное отображение (1-связное отображение) — это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).
n -связность пространств, в свою очередь, может быть определена через n -связность отображений: пространство X с базовой точкой x 0 является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точки является n -связным отображением. Одноточечное множество сжимаемо, поэтому все его гомотопические группы исчезают, и, таким образом, «изоморфизм ниже n и на в точке n » соответствует первых n гомотопических групп X. исчезновению
Интерпретация
[ редактировать ]Это поучительно для подмножества: включение n -связное такое, что до размерности n − 1 гомотопии в большем пространстве X могут быть гомотопированы в гомотопии в подмножестве A .
Например, для карты включения чтобы быть 1-связным, оно должно быть:
- на
- один на один и
- на
Один на один вкл. означает, что если существует путь, соединяющий две точки пройдя через X, существует путь, в A соединяющий их, а на означает, что на самом деле путь в X гомотопен пути в A.
Другими словами, функция, являющаяся изоморфизмом на подразумевает лишь то, что любые элементы которые гомотопны в X, гомотопны абстрактно в A - гомотопия в A может быть не связана с гомотопией в X - но при этом быть n -связной (так же и на ) означает, что (вплоть до размерности n − 1) гомотопии в X можно вставить в гомотопии в A .
Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n -связным (при n > k ) - например, включение точки в n -сфера - обладает тем свойством, что любые ячейки в размерах от k до n не влияют на гомотопические типы меньшей размерности.
Нижние границы
[ редактировать ]Многие топологические доказательства требуют нижних оценок гомотопической связности. Существует несколько «рецептов» доказательства таких нижних оценок.
Гомология
[ редактировать ]Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность гомологической связности , обозначаемой . Это полезно для вычисления гомотопической связности, поскольку гомологические группы вычисляются проще.
Предположим сначала, что X односвязно, т. е. . Позволять ; так для всех , и . Теорема Гуревича [5] : 366, Thm.4.32 говорит, что в данном случае для всех , и изоморфен , так слишком. Поэтому: Если X не односвязен ( ), затем все еще держится. Когда это тривиально. Когда (так что X линейно связен, а не односвязен), необходимо доказать, что . [ нужны разъяснения ]
Неравенство может быть строгим: существуют пространства, в которых но . [6]
По определению, k -я группа гомологии симплициального комплекса зависит только от симплексов размерности не выше k +1 (см. симплициальные гомологии ). Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что симплициальный комплекс K является k -связным тогда и только тогда, когда его ( k +1)-мерный скелет (подмножество K , содержащее только симплексы размерностью не более k +1) является k -связным: [1] : 80, Поп.4.4.2.
Присоединиться
[ редактировать ]Пусть K и L — непустые клеточные комплексы . Их соединение обычно обозначается . Затем: [1] : 81, Поп.4.4.3
Тождество упрощается с помощью эта-нотации: В качестве примера позвольте совокупность двух несвязанных точек. Между точками имеется одномерное отверстие, поэтому эта равна 1 . Соединение — квадрат, гомеоморфный кругу, поэтому его этата равна 2 . Соединение этого квадрата с третьей копией К представляет собой октаэдр , гомеоморфный , а его эта равна 3. В общем случае объединение n копий гомеоморфен и его эта равна n .
Общее доказательство основано на аналогичной формуле для гомологической связности.
нерв
[ редактировать ]Пусть K 1 ,..., K n — абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K .
Обозначим нервный комплекс { K 1 , ... , K n } (абстрактный комплекс, записывающий шаблон пересечения K i ) через N .
Если для каждого непустого , пересечение либо пусто, либо ( − | J |+1)-связно, то для каждого j ⩽ k j j -я гомотопическая группа N изоморфна -й k гомотопической группе K .
В частности, N k - связен тогда и только тогда, когда K - связен k . [7] : Thm.6
Гомотопический принцип
[ редактировать ]В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, например пространства погружений, в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя связанными пространствами. Говорят, что n -связны удовлетворяют гомотопическому принципу или «h-принципу». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д и ж Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 .
Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером.
, раздел 4.3 - ^ Ахарони, Рон; Бергер, Эли (2006). «Пересечение матроида и симплициального комплекса» . Труды Американского математического общества . 358 (11): 4895–4917. дои : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN 0002-9947 .
- ^ «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 18 сентября 2017 г.
- ^ Фрик, Флориан; Соберон, Пабло (11 мая 2020 г.). «Топологическая проблема Тверберга за пределами простых степеней». arXiv : 2005.05251 [ math.CO ].
- ^ Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79160-1
- ^ См. пример 2.38 в книге Хэтчера. См. также этот ответ .
- ^ Бьёрнер, Андерс (1 апреля 2003 г.). «Нервы, волокна и гомотопические группы» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 102 (1): 88–93. дои : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN 0097-3165 .