Нервный комплекс

Построение нерва открытой хорошей оболочки, содержащей 3 комплекта в плоскости.

В топологии нервный комплекс семейства множеств — это абстрактный комплекс , записывающий закономерность пересечений множеств в семействе. Его представил Павел Александров. и теперь имеет множество вариантов и обобщений, среди них чеховский нерв оболочки, который, в свою очередь, генерализуется гиперпокрытиями . Он отражает многие интересные топологические свойства алгоритмическим или комбинаторным способом.

Основное определение

Позволять $I$ быть набором индексов и $C$ быть семейством множеств $(U_{i})_{i\in I}$. Нерв ​ ​ $C$ представляет собой набор конечных подмножеств индексного множества $I$. Он содержит все конечные подмножества $J\subseteq I$ так, что пересечение $U_{i}$ чьи субиндексы находятся в $J$ непусто:

$N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.$

В первоначальном определении Александрова множества $(U_{i})_{i\in I}$ являются открытыми подмножествами некоторого топологического пространства $X$.

Набор $N(C)$ может содержать синглтоны (элементы $i\in I$ такой, что $U_{i}$ непусто), пары (пары элементов $i,j\in I$ такой, что $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$), тройки и так далее. Если $J\in N(C)$, то любое подмножество $J$ также находится в $N(C)$, изготовление $N(C)$ абстрактный симплициальный комплекс . Поэтому N(C) часто называют комплексом нервным $C$.

Примеры

1. Пусть X — круг $S^{1}$ и $C=\{U_{1},U_{2}\}$, где $U_{1}$ представляет собой дугу, охватывающую верхнюю половину $S^{1}$ и $U_{2}$ представляет собой дугу, охватывающую ее нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы охватить всю $S^{1}$). Затем $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, который является абстрактным 1-симплексом.
2. Пусть X — круг $S^{1}$ и $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$, где каждый $U_{i}$ представляет собой дугу, охватывающую одну треть $S^{1}$, с некоторым перекрытием с соседними $U_{i}$. Затем $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$. Обратите внимание, что {1,2,3} нет в $N(C)$ поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто; так $N(C)$ представляет собой незаполненный треугольник.

Чешский нерв

Учитывая открытую крышку $C=\{U_{i}:i\in I\}$ топологического пространства $X$или, в более общем смысле, покрытие на сайте , мы можем рассматривать попарные волокна $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$, которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями $U_{i}\cap U_{j}$. Совокупность всех таких пересечений можно назвать $C\times _{X}C$ и тройные пересечения как $C\times _{X}C\times _{X}C$.

Рассматривая естественные карты $U_{ij}\to U_{i}$ и $U_{i}\to U_{ii}$, мы можем построить симплициальный объект $S(C)_{\bullet }$ определяется $S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C$, произведение n-кратного волокна. Это нерв Чеха.

Взяв компоненты связности, мы получаем симплициальное множество , которое можно реализовать топологически: $|S(\pi _{0}(C))|$.

Теоремы о нервах

Нервный комплекс $N(C)$ представляет собой простой комбинаторный объект. Часто оно намного проще, чем лежащее в его основе топологическое пространство (объединение множеств в $C$). Поэтому возникает естественный вопрос: является ли топология $N(C)$ эквивалентно топологии $\bigcup C$.

В общем, этого не должно быть. Например, любую n -сферу можно покрыть двумя сжимаемыми множествами. $U_{1}$ и $U_{2}$ которые имеют непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае, $N(C)$ представляет собой абстрактный 1-симплекс, похожий на линию, но не на сферу.

Однако в некоторых случаях $N(C)$ действительно отражает топологию X . Например, если окружность покрыта тремя разомкнутыми дугами, попарно пересекающимися, как в примере 2 выше, то $N(C)$ является 2-симплексом (без внутренности) и гомотопически эквивалентен исходной окружности.

Теорема о нерве (или лемма о нерве ) — это теорема, которая дает достаточные условия на C, гарантирующие, что $N(C)$ в некотором смысле отражает топологию $\bigcup C$. Теорема о функториальном нерве — это теорема о нерве, которая является функториальной в соответствующем смысле, что имеет решающее значение, например, в топологическом анализе данных .

Теорема Лере о нервах

Основная теорема Жана Лере о нервах гласит, что если любое пересечение множеств в $N(C)$ сжимаемо конечного (эквивалентно: для каждого $J\subset I$ набор $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ либо пусто, либо сжимаемо; эквивалентно: C — хорошее открытое покрытие ), тогда $N(C)$ эквивалентен гомотопически ​ $\bigcup C$.

Теорема Борсука о нервах

Существует дискретная версия, которую приписывают Борсуку . Пусть K ₁ ,...,K _n — абстрактные симплициальные комплексы и обозначим их объединение через K . Пусть U _i = || К _я || = геометрическая реализация K , и _i обозначим нерв { U ₁ , ... , U _n } через N .

Если для каждого непустого $J\subset I$, пересечение $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ либо пусто, либо стягиваемо, N эквивалентно гомотопически K . то

Более сильная теорема была доказана Андерсом Бьёрнером . если для каждого непустого $J\subset I$, пересечение $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ либо пусто, либо k-|J|+1)-связно , то для каждого j ⩽ k j группа j я гомотопическая N - изоморфна й - гомотопической группе K. ( В частности, N k - связен тогда и только тогда, когда K - связен k .

Чешская теорема о нервах

Другая теорема о нерве относится к нерву Чеха, указанному выше: если $X$ компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пространство $|S(\pi _{0}(C))|$ эквивалентен гомотопически ​ $X$.

Теорема о гомологическом нерве

Следующая теорема о нерве использует группы гомологии пересечений множеств в покрытии. Для каждого конечного $J\subset I$, обозначаем $H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=$ -я j приведенная гомологии группа $\bigcap _{i\in J}U_{i}$.

Если H _J,j — тривиальная группа для всех J в k -скелете N( C ) и для всех j в {0,..., k -dim( J )}, то N( C ) является «гомологией -эквивалентен X в следующем смысле:

• ${\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)$ для всех j из {0,..., k };
• если ${\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0$ затем ${\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0$ .

См. также

• Гиперпокрытие