Good cover (algebraic topology)

In mathematics, an open cover of a topological space $X$ is a family of open subsets such that $X$ is the union of all of the open sets. A good cover is an open cover in which all sets and all non-empty intersections of finitely-many sets are contractible (Petersen 2006).

The concept was introduced by André Weil in 1952 for differentiable manifolds, demanding the $U_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}$ to be differentiably contractible.A modern version of this definition appears in Bott & Tu (1982).

Application

A major reason for the notion of a good cover is that the Leray spectral sequence of a fiber bundle degenerates for a good cover, and so the Čech cohomology associated with a good cover is the same as the Čech cohomology of the space. (Such a cover is known as a Leray cover.) However, for the purposes of computing the Čech cohomology it suffices to have a more relaxed definition of a good cover in which all intersections of finitely many open sets have contractible connected components. This follows from the fact that higher derived functors can be computed using acyclic resolutions.

Пример

Двумерная поверхность сферы $S^{2}$ имеет открытое покрытие двумя сжимаемыми множествами — открытыми окрестностями противоположных полушарий. Однако эти два множества имеют пересечение, образующее несжимаемую экваториальную полосу. Чтобы сформировать хорошее укрытие для этой поверхности, необходимо как минимум четыре открытых комплекта. Хорошее покрытие можно создать, проецируя грани тетраэдра на сферу, в которую он вписан, и взяв открытую окрестность каждой грани. Более спокойное определение хорошего прикрытия позволяет нам сделать это, используя всего три открытых набора. Покрытие можно образовать, выбрав на сфере две диаметрально противоположные точки, нарисовав три соединяющих их непересекающихся отрезка, лежащих на сфере, и взяв открытые окрестности полученных граней.

Ссылки

Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90613-4 , §5, С. 42.
Вейль, Андре (1952), «Сюр-ле-теоремы де Рама», Commentarii Math. Хелв. , 26 : 119–145, doi : 10.1007/BF02564296 , S2CID 124799328
Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 171 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, с. 383, ISBN 978-0387-29246-5 , МР 2243772