Обложка Лере

В математике покрытие Лере — это покрытие топологического пространства , которое позволяет легко вычислить его когомологии . Такие обложки названы в честь Жана Лере .

Пучковые когомологии измеряют степень, в которой локально точная последовательность на фиксированном топологическом пространстве, например последовательность де Рама , не может быть глобально точной. Его определение с использованием производных функторов вполне естественно, хотя и технически. важные свойства, такие как существование длинной точной последовательности в когомологиях, соответствующей любой короткой точной последовательности пучков . Более того, непосредственно из определения следуют Однако рассчитать по определению практически невозможно. С другой стороны, когомологии Чеха относительно открытого покрытия хорошо подходят для вычислений, но имеют ограниченную полезность, поскольку зависят от выбранного открытого покрытия, а не только от пучков и пространства. Путем прямого ограничения когомологий Чеха над сколь угодно тонкими покрытиями мы получаем теорию когомологий Чеха, которая не зависит от выбранного открытого покрытия. В разумных обстоятельствах (например, если топологическое пространство паракомпактно ) когомологии производного функтора согласуются с этими когомологиями Чеха, полученными прямыми пределами. Однако, как и производные когомологии функторов, эти независимые от покрытия когомологии Чеха практически невозможно вычислить по определению. Условие Лере для открытого покрытия гарантирует, что рассматриваемое покрытие уже «достаточно хорошее». Полученные когомологии функторов согласуются с когомологиями Чеха относительно любого накрытия Лере.

Позволять ${\mathfrak {U}}=\{U_{i}\}$ быть открытой крышкой топологического пространства $X$, и ${\mathcal {F}}$ пучок на X. Мы говорим, что ${\mathfrak {U}}$ является накрытием Лере относительно ${\mathcal {F}}$ если для любого непустого конечного множества $\{i_{1},\ldots ,i_{n}\}$ индексов, и для всех $k>0$, у нас это есть $H^{k}(U_{i_{1}}\cap \cdots \cap U_{i_{n}},{\mathcal {F}})=0$, в когомологиях производных функторов. Например, если $X$ представляет собой отдельную схему, и ${\mathcal {F}}$ квазикогерентно, то любое накрытие $X$ открытыми аффинными подсхемами является накрытием Лере.