Хорошее покрытие (алгебраическая топология)

Покрытие слева не является хорошим покрытием, поскольку, хотя все открытые множества в нем стягиваемы, их пересечение несвязно. Покрытие справа является хорошим, поскольку пересечение двух множеств стягиваемо.

В математике — открытая оболочка топологического пространства. $X$ является семейством открытых подмножеств таких, что $X$ является объединением всех открытых множеств. Хорошее покрытие — это открытое покрытие, в котором все множества и все непустые пересечения конечного числа множеств стягиваемы ( Петерсен 2006 ).

Концепция была введена Андре Вейлем в 1952 году для дифференцируемых многообразий , требуя $U_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}$ быть дифференцируемо сжимаемой.Современная версия этого определения представлена ​​в работе Bott & Tu (1982) .

Приложение

Основная причина понятия хорошего покрытия заключается в том, что спектральная последовательность Лере расслоения вырождается для хорошего покрытия, и поэтому когомологии Чеха, связанные с хорошим накрытием, совпадают с когомологиями Чеха пространства. (Такое покрытие известно как покрытие Лере .) Однако для целей вычисления когомологий Чеха достаточно иметь более расслабленное определение хорошего покрытия, в котором все пересечения конечного числа открытых множеств имеют сжимаемые компоненты связности. Это следует из того факта, что функторы высших производных могут быть вычислены с использованием ациклических резольвент .

Пример

Двумерная поверхность сферы $S^{2}$ имеет открытое покрытие двумя сжимаемыми множествами — открытыми окрестностями противоположных полушарий. Однако эти два множества имеют пересечение, образующее несжимаемую экваториальную полосу. Чтобы сформировать хорошее укрытие для этой поверхности, необходимо как минимум четыре открытых комплекта. Хорошее покрытие можно создать, проецируя грани тетраэдра на сферу, в которую он вписан, и взяв открытую окрестность каждой грани. Более спокойное определение хорошего прикрытия позволяет нам сделать это, используя всего три открытых набора. Покрытие можно образовать, выбрав на сфере две диаметрально противоположные точки, нарисовав три соединяющих их непересекающихся отрезка, лежащих на сфере, и взяв открытые окрестности полученных граней.

Ссылки

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-90613-4 , §5, С. 42.
• Вейль, Андре (1952), «Сюр-ле-теоремы де Рама», Commentarii Math. Хелв. , 26 : 119–145, doi : 10.1007/BF02564296 , S2CID   124799328
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Тексты для выпускников по математике, том. 171 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, с. 383, ISBN  978-0387-29246-5 , МР   2243772