Спектральная последовательность Лере

В математике была спектральная последовательность Лере новаторским примером в гомологической алгебре , введенной в 1946 году. Лере Жан . В настоящее время его обычно рассматривают как частный случай спектральной последовательности Гротендика .

Определение

Позволять $f:X\to Y$ — непрерывное отображение топологических пространств, что, в частности, дает функтор $f_{*}$ из пучков абелевых групп на $X$ пучкам абелевых групп на $Y$. Составив это с помощью функтора $\Gamma$ прохождения разделов по ${\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)$ это то же самое, что брать разделы на ${\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)$, по определению функтора прямого изображения $f_{*}$:

$\mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .$

Таким образом, производные функторы $\Gamma \circ f_{*}$ вычислить когомологии пучка для $X$:

$R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).$

Но потому что $f_{*}$ и $\Gamma$ посылать инъективные объекты в ${\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)$ к $\Gamma$- ациклические объекты в ${\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)$, существует спектральная последовательность ^{стр. 33,19} чья вторая страница

$E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),$

и который сходится к

$E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).$

Это называется спектральной последовательностью Лере .

пучков

Обратите внимание, что этот результат можно обобщить, рассматривая вместо этого пучки модулей над локально постоянным пучком колец. ${\underline {A}}$ для фиксированного коммутативного кольца $A$. Тогда снопы будут снопами ${\underline {A}}$-модули, где для открытого набора $U\subset X$, такой сноп ${\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)$ это ${\underline {A}}(U)$-модуль для ${\mathcal {F}}(U)$. Кроме того, вместо пучков можно было бы рассматривать комплексы пучков, ограниченных снизу ${\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{+}(X)$ для производной категории ${\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)$. Затем когомологии пучков заменяются гиперкогомологиями пучков .

Строительство

Существование спектральной последовательности Лере является прямым применением спектральной последовательности Гротендика. ^{стр. 19} . Это утверждает, что с учетом аддитивных функторов

${\mathcal {A}}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}$

между абелевыми категориями, имеющими достаточное количество инъективных , $F$ левоточный функтор и $G$ посылая инъективные объекты в $F$-ациклические объекты, то существует изоморфизм производных функторов

$R^{+}(F\circ G)\simeq R^{+}F\circ R^{+}G$

для производных категорий $D^{+}({\mathcal {A}}),D^{+}({\mathcal {B}}),D^{+}({\mathcal {C}})$. В приведенном выше примере у нас есть композиция производных функторов

$D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X))\xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y))\xrightarrow {\Gamma } D^{+}({\text{Ab}}).$

Классическое определение

Позволять $f\colon X\to Y$ — непрерывное отображение гладких многообразий . Если ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ представляет собой открытую крышку $Y$, образуют Чеховский комплекс связки ${\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)$ что касается покрытия $f^{-1}(U)$ из $X$:

${\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})$

Карты границ $d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}$ и карты $\delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}$ снопов на $X$ вместе дают граничную карту двойного комплекса ${\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})$

$D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).$

Этот двойной комплекс также является одиночным комплексом по шкале $n=p+q$, относительно которого $D$ это карта границ. Если каждое конечное пересечение $U_{i}$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{n}$, можно показать, что когомологии

$H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )$

этого комплекса являются де Рама когомологиями $X$. Более того, любой двойной комплекс имеет спектральную последовательность E с

$E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))$

(так что их сумма равна $H_{dR}^{n}$), и

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),$

где ${\mathcal {H}}^{q}$ это предпучок при Y отправке $U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)$. В этом контексте это называется спектральной последовательностью Лере.

Современное определение включает это, потому что высший функтор прямого изображения $R^{p}f_{*}(F)$ это снопирование предпучка $U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)$.

Примеры

• Позволять $X,F$ быть гладкими многообразиями и $X$ быть просто связанным , поэтому $\pi _{1}(X)=0$. Вычислим спектральную последовательность Лере проекции $f\colon X\times F\to X$. Если обложка ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$ хорошо (конечные пересечения $\mathbb {R} ^{n}$) затем

${\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)$

С $X$ является односвязным, любой локально постоянный предпучок постоянен, поэтому это постоянный предпучок $H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}$. Итак, вторая страница спектральной последовательности Лере:

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)$

В качестве обложки $\{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}$ из $X\times F$ тоже хорошо, $H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )$. Так

$E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )$

Вот первое место, где мы это используем $f$ — это проекция, а не просто пучок волокон: каждый элемент $E_{2}$ является фактической замкнутой дифференциальной формой на всех $X\times F$, поэтому применяя как d, так и $\delta$ им дает ноль. Таким образом $E_{\infty }=E_{2}$. Это доказывает теорему Кюннета для $X$ просто связано:

$H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)$

• Если $f\colon X\to Y$ представляет собой общий пучок волокон с волокном $F$, применяется вышеизложенное, за исключением того, что $V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})$ является только локально постоянным предпучком, а не константой.

• Все примеры вычислений со спектральной последовательностью Серра представляют собой последовательность Лере для постоянного пучка.

Теорема

В категории квазипроективных многообразий над $\mathbb {C}$, существует теорема о вырождении, доказанная Пьером Делинем и Бланшаром для спектральной последовательности Лере, которая утверждает, что гладкий проективный морфизм многообразий $f\colon X\to Y$ дает нам то, что $E_{2}$-страница спектральной последовательности для ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}$ вырождается, следовательно

$H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).$

Простые примеры можно вычислить, если Y односвязен; например полное пересечение размеров $\geq 2$ (это из-за гомоморфизма Гуревича и теоремы Лефшеца о гиперплоскости ). В этом случае локальные системы $\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})$ будет иметь тривиальную монодромию, следовательно $\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}$. Например, рассмотрим гладкую семью $f\colon X\to Y$ кривых рода 3 над гладкой поверхностью К3 . Тогда у нас есть это

${\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}$

давая нам $E_{2}$-страница

$E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}$

Пример с монодромией

Другим важным примером гладкого проективного семейства является семейство, связанное с эллиптическими кривыми.

$y^{2}=x(x-1)(x-t)$

над $\mathbb {P} ^{1}\setminus \{0,1,\infty \}$. Здесь монодромия вокруг 0 ​​и 1 может быть вычислена с помощью теории Пикара – Лефшеца , что дает монодромию вокруг 0 ​​и 1. $\infty$ путем составления локальных монодромий.

История и связь с

На момент работы Лере ни одна из двух задействованных концепций (спектральная последовательность, когомологии пучков) не достигла какого-либо определенного состояния. Поэтому результат Лере редко приводится в его первоначальной форме. После долгой работы, в частности на семинаре Анри Картана , было получено современное утверждение, хотя и не общая спектральная последовательность Гротендика.

Ранее (1948/9) импликации для расслоений были извлечены в форме, формально идентичной форме спектральной последовательности Серра , которая не использует пучки. Однако эта трактовка применялась к когомологиям Александера-Спанье с компактными носителями , как и к собственным отображениям локально компактных хаусдорфовых пространств, поскольку для вывода спектральной последовательности требовался тонкий пучок вещественных дифференциальных градуированных алгебр на полном пространстве, что и было получено. оттягивая комплекс де Рама назад по вложению в сферу. Жан-Пьер Серр , которому требовалась спектральная последовательность в гомологии , применимая к расслоениям пространства путей , чьи тотальные пространства почти никогда не бывают локально компактными, таким образом, не смог использовать исходную спектральную последовательность Лере и поэтому получил родственную спектральную последовательность, чьи когомологические варианты согласуются, для компактного расслоения в пространстве хорошего поведения с указанной выше последовательностью.

В формулировке, полученной Александром Гротендиком примерно в 1957 году, спектральная последовательность Лере представляет собой спектральную последовательность Гротендика для композиции двух производных функторов .

См. также

• Спектральная последовательность Серра - больше примеров
• Спектральная последовательность Гротендика - для абстрактной теории, включающей конструкцию спектральной последовательности Лере.
• Смешанный модуль Ходжа

Внешние ссылки

• Спектральная последовательность Лере Статья в математической энциклопедии
• Спектральная последовательность Лере для кольцевых пространств Статья в проекте The Stacks