Когомологии Александера – Спаньера

В математике , особенно в алгебраической топологии , когомологии Александера-Спанье — это когомологий теория топологических пространств .

История

Он был введен Джеймсом В. Александером ( 1935 ) для частного случая компактных метрических пространств и Эдвином Х. Спэньером ( 1948 ) для всех топологических пространств на основе предложения Александра Д. Уоллеса .

Определение

Если X — топологическое пространство, а G — R модуль , где R — кольцо с единицей, то существует коцепный комплекс C которого , p -й член $C^{p}$ представляет собой набор всех функций из $X^{p+1}$ до G с дифференциалом $d\colon C^{p-1}\to C^{p}$ данный

$df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).$

Определенный коцепной комплекс $C^{*}(X;G)$ не зависит от топологии $X$. Фактически, если $X$ это непустое пространство, $G\simeq H^{*}(C^{*}(X;G))$ где $G$ является градуированным модулем, единственным нетривиальным модулем которого является $G$ в степени 0.

Элемент $\varphi \in C^{p}(X)$ называется локально нулевым, если существует покрытие $\{U\}$ из $X$ открытыми множествами такими, что $\varphi$ исчезает при любом $(p+1)$-кортеж из $X$ который лежит в некотором элементе $\{U\}$ (т.е. $\varphi$ исчезает на ${\textstyle \bigcup _{U\in \{U\}}U^{p+1}}$). Подмножество $C^{p}(X)$ состоящий из локально нулевых функций, является подмодулем, обозначим через $C_{0}^{p}(X)$. $C_{0}^{*}(X)=\{C_{0}^{p}(X),d\}$ представляет собой коцепный подкомплекс $C^{*}(X)$ поэтому мы определяем факторкоцепной комплекс ${\bar {C}}^{*}(X)=C^{*}(X)/C_{0}^{*}(X)$. Группы когомологий Александера–Спанье. ${\bar {H}}^{p}(X,G)$ определяются как группы когомологий ${\bar {C}}^{*}(X)$.

Индуцированный гомоморфизм

Дана функция $f:X\to Y$ которое не обязательно является непрерывным, существует индуцированное отображение коцепи

$f^{\sharp }:C^{*}(Y;G)\to C^{*}(X;G)$

определяется $(f^{\sharp }\varphi )(x_{0},...,x_{p})=(\varphi f)(x_{0},...,x_{p}),\ \varphi \in C^{p}(Y);\ x_{0},...,x_{p}\in X$

Если $f$ непрерывно, существует индуцированное отображение коцепи

$f^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(Y;G)\to {\bar {C}}^{*}(X;G)$

Модуль относительных когомологий

Если $A$ является подпространством $X$ и $i:A\hookrightarrow X$ является отображением включения, то существует индуцированный эпиморфизм $i^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(X;G)\to {\bar {C}}^{*}(A;G)$. Ядро $i^{\sharp }$ представляет собой коцепный подкомплекс ${\bar {C}}^{*}(X;G)$ который обозначается ${\bar {C}}^{*}(X,A;G)$. Если $C^{*}(X,A)$ обозначим подкомплекс $C^{*}(X)$ функций $\varphi$ которые локально равны нулю $A$, затем ${\bar {C}}^{*}(X,A)=C^{*}(X,A)/C_{0}^{*}(X)$.

модуль Относительный ​ ${\bar {H}}^{*}(X,A;G)$ определяется как модуль когомологий ${\bar {C}}^{*}(X,A;G)$.

${\bar {H}}^{q}(X,A;G)$ называется модулем когомологий Александера $(X,A)$ степени $q$ с коэффициентами $G$ и этот модуль удовлетворяет всем аксиомам когомологий. Полученная в результате теория когомологий называется теорией когомологий Александера (или Александера-Спанье).

Аксиомы теории когомологий

• (Аксиома размерности) Если $X$ представляет собой одноточечное пространство, $G\simeq {\bar {H}}^{*}(X;G)$
• (Аксиома точности) Если $(X,A)$ представляет собой топологическую пару с отображениями включения $i:A\hookrightarrow X$ и $j:X\hookrightarrow (X,A)$, существует точная последовательность $$\cdots \to {\bar {H}}^{q}(X,A;G)\xrightarrow {j^{*}} {\bar {H}}^{q}(X;G)\xrightarrow {i^{*}} {\bar {H}}^{q}(A;G)\xrightarrow {\delta ^{*}} {\bar {H}}^{q+1}(X,A;G)\to \cdots$$
• (Аксиома вырезания) Для топологической пары $(X,A)$, если $U$ является открытым подмножеством $X$ такой, что ${\bar {U}}\subset \operatorname {int} A$, затем ${\bar {C}}^{*}(X,A)\simeq {\bar {C}}^{*}(X-U,A-U)$.
• (гомотопическая аксиома) Если $f_{0},f_{1}:(X,A)\to (Y,B)$ гомотопны, то $f_{0}^{*}=f_{1}^{*}:H^{*}(Y,B;G)\to H^{*}(X,A;G)$

Когомологии Александера с компактными носителями

Подмножество $B\subset X$ называется косвязанным, если $X-B$ ограничено, т. е. его замыкание компактно.

Подобно определению модуля когомологий Александера, можно определить модуль когомологий Александера с компактными носителями пары $(X,A)$ добавив свойство, которое $\varphi \in C^{q}(X,A;G)$ локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве $X$.

Формально это можно определить следующим образом: Для данной топологической пары $(X,A)$, субмодуль $C_{c}^{q}(X,A;G)$ из $C^{q}(X,A;G)$ состоит из $\varphi \in C^{q}(X,A;G)$ такой, что $\varphi$ локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве $X$.

Подобно модулю когомологий Александера, можно получить комплекс коцепей $C_{c}^{*}(X,A;G)=\{C_{c}^{q}(X,A;G),\delta \}$ и коцепной комплекс ${\bar {C}}_{c}^{*}(X,A;G)=C_{c}^{*}(X,A;G)/C_{0}^{*}(X;G)$.

Модуль когомологий, индуцированный из коцепного комплекса ${\bar {C}}_{c}^{*}$ называется когомологиями Александера $(X,A)$ с компактными носителями и обозначается ${\bar {H}}_{c}^{*}(X,A;G)$. Индуцированный гомоморфизм этих когомологий определяется как теория когомологий Александера.

Согласно этому определению, мы можем изменить аксиому гомотопии когомологий на правильную аксиому гомотопии, если мы определим кограничный гомоморфизм $\delta ^{*}:{\bar {H}}_{c}^{q}(A;G)\to {\bar {H}}_{c}^{q+1}(X,A;G)$ только когда $A\subset X$ является закрытым подмножеством. Аналогично, аксиому вырезания можно модифицировать в правильную аксиому вырезания, т. е. карта вырезания является правильной картой.

Свойство

Одним из наиболее важных свойств этого модуля когомологий Александера с компактным носителем является следующая теорема:

• Если $X$ является локально компактным хаусдорфовым пространством и $X^{+}$ представляет собой компактификацию одноточечную $X$, то существует изоморфизм $${\bar {H}}_{c}^{q}(X;G)\simeq {\tilde {\bar {H}}}^{q}(X^{+};G).$$

Пример

${\bar {H}}_{c}^{q}(\mathbb {R} ^{n};G)\simeq {\begin{cases}0&q\neq n\\G&q=n\end{cases}}$

как $(\mathbb {R} ^{n})^{+}\cong S^{n}$. Следовательно, если $n\neq m$, $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m}$ не принадлежат к одному и тому же собственному гомотопическому типу .

Связь с натянутостью

• Из того, что замкнутое подпространство паракомпактного хаусдорфова пространства является тугим подпространством относительно теории когомологий Александера и первое основное свойство натянутости , если $B\subset A\subset X$ где $X$ является паракомпактным хаусдорфовым пространством и $A$ и $B$ являются замкнутыми подпространствами $X$, затем $(A,B)$ является тугой парой в $X$ относительно теории когомологий Александера.

Используя это свойство натянутости, можно показать следующие два факта:

• ( Сильное свойство вырезания ) Пусть $(X,A)$ и $(Y,B)$ быть в паре с $X$ и $Y$ паракомпактный Хаусдорф и $A$ и $B$ закрыто. Позволять $f:(X,A)\to (Y,B)$ — замкнутое непрерывное отображение такое, что $f$ вызывает взаимно однозначное отображение $X-A$ на $Y-B$. Тогда для всех $q$ и все $G$, $$f^{*}:{\bar {H}}^{q}(Y,B;G)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;G)$$
• ( Слабое свойство непрерывности ) Пусть $\{(X_{\alpha },A_{\alpha })\}_{\alpha }$ — семейство компактных хаусдорфовых пар в некотором пространстве, направленное вниз по включению, и пусть ${\textstyle (X,A)=(\bigcap X_{\alpha },\bigcap A_{\alpha })}$. Карты включения $i_{\alpha }:(X,A)\to (X_{\alpha },A_{\alpha })$ вызвать изоморфизм

  $\{i_{\alpha }^{*}\}:\varinjlim {\bar {H}}^{q}(X_{\alpha },A_{\alpha };M)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;M)$.

Отличие от теории сингулярных когомологий

Напомним, что модуль сингулярных когомологий пространства является прямым произведением модулей сингулярных когомологий его компонент пути.

Непустое пространство $X$ связно тогда и только тогда, когда $G\simeq {\bar {H}}^{0}(X;G)$. Следовательно, для любого связного пространства, которое не является линейно связным , сингулярные когомологии и когомологии Александера различаются степенью 0.

Если $\{U_{j}\}$ представляет собой открытое покрытие $X$ попарно непересекающимися множествами, то существует естественный изоморфизм ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(U_{j};G)}$. В частности, если $\{C_{j}\}$ это совокупность компонентов локально связного пространства $X$, существует естественный изоморфизм ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(C_{j};G)}$.

Варианты

Также можно определить гомологии Александера – Спаньера. и когомологии Александера–Спанье с компактными носителями. ( Бредон 1997 )

Соединение с другими когомологиями

Группы когомологий Александера-Спанье совпадают с когомологий Чеха группами для компактных хаусдорфовых пространств и совпадают с группами сингулярных когомологий для локально конечных комплексов.

Библиография

• Александр, Джеймс В. (1935), «О цепях комплексов и их двойников», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 21 (8), Национальная академия наук: 509–511, Bibcode : 1935ПНАС...21..509А , doi : 10.1073/pnas.21.8.509 , ISSN   0027-8424 , ДЖСТОР   86360 , ПМК   1076641 , ПМИД   16577676
• Бредон, Глен Э. (1997), Теория пучков , Тексты для выпускников по математике, том. 170 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0647-7 , ISBN  978-0-387-94905-5 , МР   1481706
• Мэсси, Уильям С. (1978), «Как дать изложение теории гомологии типов Чеха-Александра-Спанье», The American Mathematical Monthly , 85 (2): 75–83, doi : 10.2307/2321782 , ISSN   0002- 9890 , JSTOR   2321782 , MR   0488017
• Мэсси, Уильям С. (1978), Теория гомологии и когомологий. Подход, основанный на коцепях Александера-Спанье. , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, вып. 46, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN  978-0-8247-6662-7 , МР   0488016
• Спаниер, Эдвин Х. (1948), «Теория когомологий для общих пространств», Annals of Mathematics , Second Series, 49 (2): 407–427, doi : 10.2307/1969289 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969289 , MR   0024621
• Спэньер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , ISBN  978-0387944265