Jump to content

Когомологии Александера – Спаньера

В математике , особенно в алгебраической топологии , когомологии Александера-Спанье — это когомологий теория топологических пространств .

Он был введен Джеймсом В. Александером ( 1935 ) для частного случая компактных метрических пространств и Эдвином Х. Спэньером ( 1948 ) для всех топологических пространств на основе предложения Александра Д. Уоллеса .

Определение

[ редактировать ]

Если X — топологическое пространство, а G R модуль , где R — кольцо с единицей, то существует коцепный комплекс C которого , p -й член представляет собой набор всех функций из до G с дифференциалом данный

Определенный коцепной комплекс не зависит от топологии . Фактически, если это непустое пространство, где является градуированным модулем, единственным нетривиальным модулем которого является в степени 0. [ 1 ]

Элемент называется локально нулевым, если существует покрытие из открытыми множествами такими, что исчезает при любом -кортеж из который лежит в некотором элементе (т.е. исчезает на ). Подмножество состоящий из локально нулевых функций, является подмодулем, обозначим через . представляет собой коцепный подкомплекс поэтому мы определяем факторкоцепной комплекс . Группы когомологий Александера–Спанье. определяются как группы когомологий .

Индуцированный гомоморфизм

[ редактировать ]

Дана функция которое не обязательно является непрерывным, существует индуцированное отображение коцепи

определяется

Если непрерывно, существует индуцированное отображение коцепи

Модуль относительных когомологий

[ редактировать ]

Если является подпространством и является отображением включения, то существует индуцированный эпиморфизм . Ядро представляет собой коцепный подкомплекс который обозначается . Если обозначим подкомплекс функций которые локально равны нулю , затем .

модуль Относительный определяется как модуль когомологий .

называется модулем когомологий Александера степени с коэффициентами и этот модуль удовлетворяет всем аксиомам когомологий. Полученная в результате теория когомологий называется теорией когомологий Александера (или Александера-Спанье).

Аксиомы теории когомологий

[ редактировать ]
  • (Аксиома размерности) Если представляет собой одноточечное пространство,
  • (Аксиома точности) Если представляет собой топологическую пару с отображениями включения и , существует точная последовательность
  • (Аксиома вырезания) Для топологической пары , если является открытым подмножеством такой, что , затем .
  • (гомотопическая аксиома) Если гомотопны, то

Когомологии Александера с компактными носителями

[ редактировать ]

Подмножество называется косвязанным, если ограничено, т. е. его замыкание компактно.

Подобно определению модуля когомологий Александера, можно определить модуль когомологий Александера с компактными носителями пары добавив свойство, которое локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве .

Формально это можно определить следующим образом: Для данной топологической пары , субмодуль из состоит из такой, что локально равен нулю на некотором коограниченном подмножестве .

Подобно модулю когомологий Александера, можно получить комплекс коцепей и коцепной комплекс .

Модуль когомологий, индуцированный из коцепного комплекса называется когомологиями Александера с компактными носителями и обозначается . Индуцированный гомоморфизм этих когомологий определяется как теория когомологий Александера.

Согласно этому определению, мы можем изменить аксиому гомотопии когомологий на правильную аксиому гомотопии, если мы определим кограничный гомоморфизм только когда является закрытым подмножеством. Аналогично, аксиому вырезания можно модифицировать в правильную аксиому вырезания, т. е. карта вырезания является правильной картой. [ 2 ]

Свойство

[ редактировать ]

Одним из наиболее важных свойств этого модуля когомологий Александера с компактным носителем является следующая теорема:

  • Если является локально компактным хаусдорфовым пространством и представляет собой компактификацию одноточечную , то существует изоморфизм

как . Следовательно, если , и не принадлежат к одному и тому же собственному гомотопическому типу .

Связь с натянутостью

[ редактировать ]
  • Из того, что замкнутое подпространство паракомпактного хаусдорфова пространства является тугим подпространством относительно теории когомологий Александера [ 3 ] и первое основное свойство натянутости , если где является паракомпактным хаусдорфовым пространством и и являются замкнутыми подпространствами , затем является тугой парой в относительно теории когомологий Александера.

Используя это свойство натянутости, можно показать следующие два факта: [ 4 ]

  • ( Сильное свойство вырезания ) Пусть и быть в паре с и паракомпактный Хаусдорф и и закрыто. Позволять — замкнутое непрерывное отображение такое, что вызывает взаимно однозначное отображение на . Тогда для всех и все ,
  • ( Слабое свойство непрерывности ) Пусть — семейство компактных хаусдорфовых пар в некотором пространстве, направленное вниз по включению, и пусть . Карты включения вызвать изоморфизм
    .

Отличие от теории сингулярных когомологий

[ редактировать ]

Напомним, что модуль сингулярных когомологий пространства является прямым произведением модулей сингулярных когомологий его компонент пути.

Непустое пространство связно тогда и только тогда, когда . Следовательно, для любого связного пространства, которое не является линейно связным , сингулярные когомологии и когомологии Александера различаются степенью 0.

Если представляет собой открытое покрытие попарно непересекающимися множествами, то существует естественный изоморфизм . [ 5 ] В частности, если это совокупность компонентов локально связного пространства , существует естественный изоморфизм .

Варианты

[ редактировать ]

Также можно определить гомологии Александера – Спаньера. [ 6 ] и когомологии Александера–Спанье с компактными носителями. ( Бредон 1997 )

Соединение с другими когомологиями

[ редактировать ]

Группы когомологий Александера-Спанье совпадают с когомологий Чеха группами для компактных хаусдорфовых пространств и совпадают с группами сингулярных когомологий для локально конечных комплексов.

  1. ^ Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . п. 307. ИСБН  978-0387944265 .
  2. ^ Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . стр. 320, 322. ISBN.  978-0387944265 .
  3. ^ Део, Сатья (197). «О свойстве натянутости когомологий Александра-Спанье». Американское математическое общество . 52 : 441–442.
  4. ^ Спаниер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . п. 318. ИСБН  978-0387944265 .
  5. ^ Спэньер, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . п. 310. ИСБН  978-0387944265 .
  6. ^ Мэсси 1978a .

Библиография

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e4f596d7e34aafe7fcda06aaa1cd1328__1658484120
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e4/28/e4f596d7e34aafe7fcda06aaa1cd1328.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Alexander–Spanier cohomology - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)