Теорема об удалении

В алгебраической топологии , разделе математики , теорема об вырезании — это теорема об относительной гомологии и одна из аксиом Эйленберга-Стинрода . Учитывая топологическое пространство $X$ и подпространства $A$ и $U$ такой, что $U$ также является подпространством $A$, теорема гласит, что при определенных обстоятельствах мы можем вырезать ( акциз ) $U$ из обоих пространств такие, что относительные гомологии пар $(X\setminus U,A\setminus U)$ в $(X,A)$ изоморфны.

Это помогает в вычислении сингулярных групп гомологий , поскольку иногда после вырезания правильно выбранного подпространства мы получаем что-то, что легче вычислить.

Теорема

Заявление

Если $U\subseteq A\subseteq X$ такие же, как указано выше, мы говорим, что $U$ можно вырезать, если карта включения пары $(X\setminus U,A\setminus U)$ в $(X,A)$ индуцирует изоморфизм относительных гомологий:

$H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)$

Теорема утверждает, что замыкание если $U$ содержится внутри ​ $A$, затем $U$ можно иссечь.

Часто подпространства, которые не удовлетворяют этому критерию вмещения, все же можно вырезать — достаточно найти деформационный ретракт подпространств на подпространства, которые ему удовлетворяют.

Эскиз доказательства

Доказательство теоремы об вырезании вполне интуитивно понятно, хотя детали довольно сложны. Идея состоит в том, чтобы разделить симплексы в относительном цикле в $(X,A)$ получить другую цепочку, состоящую из «меньших» симплексов, и продолжать процесс до тех пор, пока каждый симплекс в цепочке не будет полностью лежать внутри $A$ или внутренняя часть $X\setminus U$. Поскольку они образуют открытую крышку для $X$ и симплексы компактны , то в конечном итоге мы сможем сделать это за конечное число шагов. Этот процесс оставляет исходный класс гомологии цепи неизменным (это говорит о том, что оператор подразделения гомотопен цепи тождественному отображению гомологии).В относительной гомологии $H_{n}(X,A)$, то это говорит о том, что все члены целиком содержатся внутри $U$ можно отбросить, не затрагивая класс гомологии цикла. Это позволяет нам показать, что отображение включения является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен тому, который избегает $U$ полностью.

Приложения

-

Теорема об вырезании считается одной из аксиом Эйленберга – Стинрода.

Последовательности Майера-Виеториса

Последовательность Майера-Виеториса может быть получена с помощью комбинации теоремы об вырезании и длинной точной последовательности.

подвеске для

Теорему об вырезании можно использовать для вывода теоремы о подвеске для гомологии, которая гласит: ${\tilde {H}}_{n}(X)\cong {\tilde {H}}_{n+1}(SX)$ для всех $n$, где $SX$ это приостановка ​ $X$.

Инвариантность размеров

Если непустые открытые множества $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ и $V\subset \mathbb {R} ^{m}$гомеоморфны, то m = n. Это следует из теоремы вырезания — длинной точной последовательности для пары $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-x)$, и тот факт, что $\mathbb {R} ^{n}-x$ деформация стягивается на сферу.В частности, $\mathbb {R} ^{n}$ не гомеоморфен $\mathbb {R} ^{m}$ если $m\neq n$.

См. также

• Теорема гомотопического вырезания

Библиография

• Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN   0-387-96678-1
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002.