Гомотопическая категория цепных комплексов

В гомологической алгебре в математике гомотопическая категория K(A) цепных комплексов в аддитивной категории A является основой для работы с цепными гомотопиями и гомотопическими эквивалентностями. Она занимает промежуточное положение между категорией цепных комплексов Kom(A) группы A и производной категорией D(A) группы A когда A абелева , ; в отличие от первой это триангулированная категория , и в отличие от второй для ее формирования не требуется, чтобы А было абелевой. С философской точки зрения, в то время как D(A) превращает в изоморфизмы любые отображения комплексов, которые являются квазиизоморфизмами в Kom(A) , K(A) делает это только для тех, которые являются квазиизоморфизмами по «веской причине», а именно, фактически имея обратное с точностью до гомотопической эквивалентности. Таким образом, K(A) более понятен, чем D(A) .

Определения

Пусть A — аддитивная категория . Гомотопическая категория K(A) основана на следующем определении: если у нас есть комплексы A , B и отображения f , g из A в B , то цепная гомотопия из f в g — это набор отображений $h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}$ ( не карта комплексов) такая, что

$f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},$ или просто $f-g=d_{B}h+hd_{A}.$

Это можно изобразить как:

Мы также говорим, что f и g гомотопны по цепочке или что $f-g$ является нуль-гомотопным или гомотопным 0 . Из определения ясно, что отображения нуль-гомотопных комплексов образуют группу по сложению.

Гомотопическая категория цепных комплексов K(A) тогда определяется следующим образом: ее объекты те же, что и объекты Kom(A) , а именно цепные комплексы . Его морфизмы являются «отображениями комплексов по модулю гомотопии»: то есть мы определяем отношение эквивалентности

$f\sim g\$ если f гомотопно g

и определить

$\operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim$

быть частным по этому отношению. Ясно, что это приводит к аддитивной категории, если заметить, что это то же самое, что факторизовать по подгруппе нуль-гомотопных отображений.

Также широко используются следующие варианты определения: если брать только ограниченную снизу ( A ^н =0 для n<<0 ), ограничено сверху ( A ^н =0 для n>>0 ) или ограниченный ( A ^н =0 для |n|>>0 ) комплексов вместо неограниченных говорят об ограниченной снизу гомотопической категории и т. д. Их обозначают K ⁺ (А) , К ⁻ (А) и К ^б (А) соответственно.

Морфизм $f:A\rightarrow B$ который является изоморфизмом в K(A), называется гомотопической эквивалентностью . Подробно это означает, что есть другая карта $g:B\rightarrow A$, такой, что две композиции гомотопны тождествам: $f\circ g\sim Id_{B}$ и $g\circ f\sim Id_{A}$.

Название «гомотопия» происходит от того, что гомотопические отображения топологических пространств индуцируют гомотопические (в указанном выше смысле) отображения сингулярных цепей .

Замечания

Два цепных гомотопических отображения f и g индуцируют одни и те же отображения гомологии, поскольку (f − g) отправляет циклы к границам , которые в гомологии равны нулю. В частности, гомотопическая эквивалентность — это квазиизоморфизм . (Обратное, вообще говоря, неверно.) Это показывает, что существует канонический функтор $K(A)\rightarrow D(A)$ к производной категории (если A абелева ) .

Триангулированная структура

Сдвиг представляет A[1] комплекса A собой следующий комплекс

$A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...$ (Обратите внимание, что $(A[1])^{n}=A^{n+1}$),

где дифференциал $d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}$.

В качестве конуса морфизма f возьмем конус отображения . Есть естественные карты

$A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]$

Эта диаграмма называется треугольником . Гомотопическая категория K(A) является триангулированной категорией , если определить выделенные треугольники как изоморфные (в K(A) , т.е. гомотопически эквивалентные) треугольникам, указанным выше, для произвольных A , B и f . То же справедливо и для ограниченных вариантов K ⁺ (А) , К ⁻ (А) и К ^б (А) . Хотя треугольники также имеют смысл в Kom(A) , эта категория не является триангулированной относительно этих выделенных треугольников; например,

$X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to$

не выделяется, поскольку конус тождественного отображения не изоморфен комплексу 0 (однако нулевое отображение $C(id)\to 0$ является гомотопической эквивалентностью, так что этот треугольник выделен в K(A) ). При этом вращение выделенного треугольника, очевидно, не выделяется в Kom(A) , но (менее очевидно) выделяется в K(A) . Подробности смотрите в ссылках.

Обобщение

В более общем смысле, гомотопическая категория Ho(C) дифференциальной градуированной категории C определяется как имеющая те же объекты, что и C , но морфизмы определяются формулой $\operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)$. (Это сводится к гомотопии цепных комплексов, если C — категория комплексов, морфизмы которых не обязаны соблюдать дифференциалы). Если C имеет конусы и сдвиги в подходящем смысле, то Ho(C) также является триангулированной категорией.

Ссылки

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .