Алгебраическая топология

Тор . , один из наиболее часто изучаемых объектов в алгебраической топологии

Алгебраическая топология — это раздел математики , который использует инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель состоит в том, чтобы найти алгебраические инварианты , которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма , хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности .

Хотя алгебраическая топология в основном использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда также возможно использование топологии для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет удобно доказать, что любая подгруппа снова свободной группы является свободной группой.

Основные отрасли [ править ]

Ниже приведены некоторые основные области, изучаемые в алгебраической топологии:

Гомотопические группы [ править ]

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первой и простейшей гомотопической группой является фундаментальная группа , записывающая информацию о петлях в пространстве. Интуитивно понятно, что гомотопические группы записывают информацию об основной форме или дырах топологического пространства.

Гомология [ править ]

В алгебраической топологии и абстрактной алгебре последовательность гомология (частично от греческого ὁμός homos «идентичный») — это определенная общая процедура, позволяющая связать абелевых групп или модулей с данным математическим объектом, таким как топологическое пространство или группа . ^[1]

Когомологии [ править ]

В теории гомологии и алгебраической топологии когомологии — это общий термин для обозначения последовательности определенных абелевых групп, из коцепного комплекса . То есть когомологии определяются как абстрактное исследование коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод назначения алгебраических инвариантов топологическому пространству, которое имеет более тонкую алгебраическую структуру , чем гомологии . Когомологии возникают в результате алгебраической дуализации конструкции гомологии. Говоря менее абстрактным языком, коцепи в фундаментальном смысле должны приписывать «количества» цепям теории гомологии.

Коллекторы [ править ]

Многообразие , — это топологическое пространство которое вблизи каждой точки напоминает евклидово пространство . Примеры включают плоскость , сферу и тор , которые могут быть реализованы в трех измерениях, а также бутылку Клейна и настоящую проективную плоскость , которые не могут быть вложены в три измерения, но могут быть вложены в четыре измерения. Обычно результаты в алгебраической топологии фокусируются на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; например, двойственность Пуанкаре .

Теория узлов [ править ]

Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены так, что его невозможно развязать. Говоря точным математическим языком, узел — это в трехмерное вложение окружности евклидово пространство , $\mathbb {R} ^{3}$ . Два математических узла эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации $\mathbb {R} ^{3}$ на себя (так называемая окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной веревкой, которые не предполагают перерезания веревки или пропускания ее через себя.

Комплексы [ править ]

Симплициальный комплекс — это топологическое пространство определенного вида, построенное путем «склейки» точек , отрезков прямых , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества , появляющимся в современной теории симплициальных гомотопий. Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс .

Комплекс CW — это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и имеет некоторые лучшие категориальные свойства, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторную природу, позволяющую производить вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Метод алгебраических инвариантов [ править ]

Старое название предмета — комбинаторная топология , подразумевающее акцент на том, как пространство X было построено из более простых. ^[2](современным стандартным инструментом для такого строительства является комплекс ХО ). В 1920-е и 1930-е годы возрастал акцент на исследовании топологических пространств путем нахождения в них соответствий алгебраическим группам , что привело к изменению названия на алгебраическую топологию. ^[3] Название комбинаторной топологии до сих пор иногда используется, чтобы подчеркнуть алгоритмический подход, основанный на декомпозиции пространств. ^[4]

В алгебраическом подходе находится соответствие между пространствами и группами , которое соблюдает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопии ) пространств. Это позволяет преобразовать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую управляемую структуру, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Два основных способа, которыми это можно сделать, — это фундаментальные группы или, в более общем смысле, теория гомотопий , а также группы гомологий и когомологий . Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевы , и с ними может быть сложно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса действительно имеет конечное представление .

С другой стороны, группы гомологий и когомологий абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, и с ними особенно легко работать.

Сеттинг в теории категорий [ править ]

Вообще все конструкции алгебраической топологии функториальны ; понятия категории , функтора и естественного преобразования здесь зародились . Фундаментальные группы, а также группы гомологий и когомологий являются не только инвариантами основного топологического пространства в том смысле, что два гомеоморфных топологических пространства имеют одни и те же ассоциированные группы, но также соответствуют им ассоциированные морфизмы - непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированные группы, и эти гомоморфизмы можно использовать, чтобы показать несуществование (или, что гораздо глубже, существование) отображений.

Одним из первых математиков, работавших с различными типами когомологий, был Жорж де Рам . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , когомологии Чеха или пучка, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , определенных на рассматриваемом многообразии. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью симплициальных гомологий, были теми же числами Бетти, что и числа, полученные с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы , снабженные естественными преобразованиями, подчиняющимися определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит к изоморфизму групп гомологий), проверили, что все существующие теории (ко) гомологий удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказали, что такие аксиоматизация однозначно характеризовала теорию.

Приложения [ править ]

Классические приложения алгебраической топологии включают:

Теорема Брауэра о неподвижной точке : каждое непрерывное отображение единицы n -диска в себя имеет неподвижную точку.
Свободный ранг n- й группы гомологий симплициального комплекса — это n- е число Бетти , позволяющее вычислить характеристику Эйлера–Пуанкаре .
Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , когомологии Чеха или пучка, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , определенных на рассматриваемом многообразии.
Многообразие является ориентируемым, если целочисленная группа гомологии верхнего измерения является целыми числами, и неориентируемым, если она равна 0.
n -сфера n допускает никуда не исчезающее непрерывное поле единичного вектора тогда и только тогда, когда нечетно . (Для n = 2 это иногда называют « теоремой о волосатом шаре ».)
Теорема Борсука -Улама : любое непрерывное отображение n -сферы в евклидово n -пространство идентифицирует хотя бы одну пару антиподальных точек.
Любая подгруппа свободной группы свободна. Этот результат весьма интересен, поскольку утверждение является чисто алгебраическим, однако самое простое известное доказательство является топологическим. А именно, любая свободная группа G может быть реализована как фундаментальная группа графа X . Основная теорема о накрывающих пространствах говорит нам, что каждая подгруппа H группы G является фундаментальной группой некоторого накрывающего пространства Y группы X ; но каждый такой Y снова является графом. Следовательно, его фундаментальная группа H свободна. С другой стороны, этот тип приложений также проще решается за счет использования накрывающих морфизмов группоидов , и этот метод позволил получить теоремы о подгруппах, еще не доказанные методами алгебраической топологии; см. Хиггинс (1971) .
Топологическая комбинаторика .

Известные люди [ править ]

Важные теоремы

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Фрэли (1976 , стр. 163)
^ Фреше, Морис ; Фан, Кай (2012), Приглашение к комбинаторной топологии , Courier Dover Publications, стр. 101, ISBN 9780486147888 .
^ Хенле, Майкл (1994), Комбинаторное введение в топологию , Courier Dover Publications, стр. 221, ISBN 9780486679662 .
^ Шпреер, Джонатан (2011), Раздутия, срезы и группы перестановок в комбинаторной топологии , Logos Verlag Berlin GmbH, стр. 23, ISBN 9783832529833 .

Ссылки [ править ]

Аллегретти, Дилан Г.Л. (2008), Симплициальные множества и теорема ван Кампена (обсуждаются обобщенные версии теоремы ван Кампена, применимые к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 139, Спрингер, ISBN 0-387-97926-3 .
Браун, Р. (2007), Теория групп более высокой размерности , заархивировано из оригинала 14 мая 2016 г. , получено 17 августа 2022 г. (дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие множественные группоиды) .
Браун, Р.; Разак, А. (1984), «Теорема Ван Кампена для объединений несвязных пространств», Arch. Математика. , 42 : 85–88, doi : 10.1007/BF01198133 , S2CID 122228464 . «Дает общую теорему о фундаментальном группоиде с набором базовых точек пространства, которое представляет собой объединение открытых множеств».
Браун, Р.; Харди, К.; Кампс, Х.; Портер, Т. (2002), «Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства» , Theory Appl. Категории , 10 (2): 71–93 .
Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж. (1978), «О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств», Proc. Лондонская математика. Соц. , S3-36 (2): 193–212, doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193 . «Первая двумерная версия теоремы Ван Кампена».
Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж.; Сивера, Рафаэль (2011), Нонабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , Трактаты Европейского математического общества по математике, том. 15, Европейское математическое общество, arXiv : math/0407275 , ISBN. 978-3-03719-083-8 , заархивировано из оригинала 4 июня 2009 г. Это обеспечивает теоретико-гомотопический подход к базовой алгебраической топологии без необходимости использования базиса в сингулярных гомологиях или метода симплициальной аппроксимации. Содержит много материала по скрещенным модулям .
Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология: первый курс, исправленное издание , серия лекций по математике, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576 . Функториальный, алгебраический подход, первоначально предложенный Гринбергом, с геометрической приправой, добавленной Харпером.
Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0 . Современное введение в алгебраическую топологию с геометрическим акцентом.
Хиггинс, Филип Дж. (1971), Заметки о категориях и группоидах , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 9780442034061
Маундер, CRF (1970), Алгебраическая топология , Лондон: Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 0-486-69131-4 .
Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество, ISBN 978-3-03719-048-7
ван Кампен, Эгберт (1933), «О связи между фундаментальными группами некоторых связанных пространств», American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091.

Дальнейшее чтение [ править ]

Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79160-Х . и ISBN 0-521-79540-0 .
«Алгебраическая топология» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Мэй Дж. П. (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 27 сентября 2008 г. В разделе 2.7 представлено теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов.

[1] Фрэли (1976 , стр. 163)

[2] Фреше, Морис ; Фан, Кай (2012), Приглашение к комбинаторной топологии , Courier Dover Publications, стр. 101, ISBN 9780486147888 .

[3] Хенле, Майкл (1994), Комбинаторное введение в топологию , Courier Dover Publications, стр. 221, ISBN 9780486679662 .

[4] Шпреер, Джонатан (2011), Раздутия, срезы и группы перестановок в комбинаторной топологии , Logos Verlag Berlin GmbH, стр. 23, ISBN 9783832529833 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это Топология
Поля	Общий (набор точек) алгебраический комбинаторный Континуум Дифференциал Геометрический низкоразмерный Гомология когомологии теоретико-множественный Цифровой
Ключевые идеи	Открытый набор / Закрытый набор Интерьер Непрерывность Космос компактный связанный Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс комплекс ХО Полиэдрический комплекс Многообразие Связка (математика) Второе счетное пространство Кобордизм
Метрики и свойства	Эйлерова характеристика Номер Бетти Номер обмотки Число Черна Ориентируемость
Ключевые результаты	Банахова теорема о неподвижной точке Когомологии Де Рама Инвариантность домена Гипотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лемма Урысона
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы общий алгебраический геометрический Публикации