Цепочка (алгебраическая топология)

Эта статья об алгебраической топологии . Чтобы узнать о термине «цепочка» в теории порядка , см. «цепочка (теория порядка)» .

В алгебраической k топологии - цепь является формальной линейной комбинацией k - клеток в клеточном комплексе . В симплициальных комплексах (соответственно кубических комплексах ) k -цепи представляют собой комбинации k -симплексов (соответственно k -кубов), но не обязательно связан. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологии являются классами эквивалентности цепей.

Определение

Для симплициального комплекса $X$, группа $C_{n}(X)$ из $n$-цепочки $X$ дается:

$C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}$

где $\sigma _{i}$ единичны ​ $n$-просто из $X$. что любой элемент в $C_{n}(X)$ не обязательно быть связным симплициальным комплексом.

Интеграция в цепочках

Интегрирование определяется в цепочках путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами).Совокупность всех k -цепей образует группу, и последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граничный оператор на цепях

Граница ломаной кривой представляет собой линейную комбинацию ее узлов; в данном случае это некоторая линейная комбинация от _A1 до _A6 . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A _k до A _{k +1} ), граница равна A ₆ − A ₁ .

Замкнутая ломаная кривая, предполагающая постоянную ориентацию, имеет нулевую границу.

Границей цепочки называется линейная комбинация границ симплексов цепочки. Границей k -цепи является ( k −1)-цепь. Обратите внимание, что граница симплекса - это не симплекс, а цепочка с коэффициентами 1 или -1 - таким образом, цепи представляют собой замыкание симплексов под действием граничного оператора.

Пример 1. Границей пути является формальная разность его конечных точек: это телескопическая сумма . Для иллюстрации: если 1-цепочка $c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,$ это путь из точки $v_{1}\,$ указывать $v_{4}\,$, где $t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,$, $t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,$ и $t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,$ являются его составляющими 1-симплексами, то

${\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}$

Пример 2: Граница треугольника представляет собой формальную сумму его ребер со знаками, расположенными так, чтобы обеспечить обход границы против часовой стрелки.

Цепь называется циклом, если ее граница равна нулю. Цепь, являющаяся границей другой цепи, называется границей . Границы – это циклы,поэтому цепи образуют цепной комплекс , группы гомологий которого (циклы по модулю границ) называются симплициальными группами гомологий .

Пример 3: Плоскость, проколотая в начале координат, имеет нетривиальную группу 1-гомологии, поскольку единичная окружность является циклом, а не границей.

В дифференциальной геометрии двойственность между граничным оператором на цепях и внешней производной выражается общей теоремой Стокса .