Jump to content

Цепочка (алгебраическая топология)

В алгебраической k топологии - цепь является формальной линейной комбинацией k - клеток в клеточном комплексе . В симплициальных комплексах (соответственно кубических комплексах ) k -цепи представляют собой комбинации k -симплексов (соответственно k -кубов), [1] [2] [3] но не обязательно связан. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологии являются классами эквивалентности цепей.

Определение [ править ]

Для симплициального комплекса , группа из -цепочки дается:

где единичны -просто из . что любой элемент в не обязательно быть связным симплициальным комплексом.

Интеграция в цепочках [ править ]

Интегрирование определяется в цепочках путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами).Совокупность всех k -цепей образует группу, и последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граничный оператор на цепях [ править ]

Граница ломаной кривой представляет собой линейную комбинацию ее узлов; в данном случае это некоторая линейная комбинация от A1 до A6 . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A k до A k +1 ), граница равна A 6 − A 1 .
Замкнутая ломаная кривая, предполагающая постоянную ориентацию, имеет нулевую границу.

Границей цепочки называется линейная комбинация границ симплексов цепочки. Границей k -цепи является ( k −1)-цепь. Обратите внимание, что граница симплекса - это не симплекс, а цепочка с коэффициентами 1 или -1 - таким образом, цепи представляют собой замыкание симплексов под действием граничного оператора.

Пример 1. Границей пути является формальная разность его конечных точек: это телескопическая сумма . Для иллюстрации: если 1-цепочка это путь из точки указывать , где , и являются его составляющими 1-симплексами, то

Пример 2: Граница треугольника представляет собой формальную сумму его ребер со знаками, расположенными так, чтобы обеспечить обход границы против часовой стрелки.

Цепь называется циклом, если ее граница равна нулю. Цепь, являющаяся границей другой цепи, называется границей . Границы – это циклы,поэтому цепи образуют цепной комплекс , группы гомологий которого (циклы по модулю границ) называются симплициальными группами гомологий .


Пример 3: Плоскость, проколотая в начале координат, имеет нетривиальную группу 1-гомологии, поскольку единичная окружность является циклом, а не границей.

В дифференциальной геометрии двойственность между граничным оператором на цепях и внешней производной выражается общей теоремой Стокса .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-79540-0 .
  2. ^ Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1441979391 . OCLC   697506452 .
  3. ^ Качиньский, Томаш; Мишайков Константин; Мрозек, Мариан (2004). Вычислительная гомология . Прикладные математические науки. Том. 157. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/b97315 . ISBN  0-387-40853-3 . МР   2028588 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7d1ad6ec028119c4d8a18a7078dc0fd4__1711521780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7d/d4/7d1ad6ec028119c4d8a18a7078dc0fd4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Chain (algebraic topology) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)