Цепочка (алгебраическая топология)

В алгебраической k - цепь топологии является формальной линейной комбинацией k - клеток в клеточном комплексе . В симплициальных комплексах (соответственно кубических комплексах ) k -цепи представляют собой комбинации k -симплексов (соответственно k -кубов), ^[1]^[2]^[3]но не обязательно связан. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологии являются классами эквивалентности цепей.

Определение [ править ]

Для симплициального комплекса $X$ , группа $C_{n}(X)$ из $n$ -цепочки $X$ дан кем-то:

$C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}$

где $\sigma _{i}$ единичны $n$ -просто из $X$ . что любой элемент в $C_{n}(X)$ не обязательно быть связным симплициальным комплексом.

Интеграция в цепочках [ править ]

Интегрирование определяется в цепочках путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами). Совокупность всех k -цепей образует группу, и последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граничный оператор на цепях [ править ]

Граница ломаной кривой представляет собой линейную комбинацию ее узлов; в данном случае это некоторая линейная комбинация от _A1 до _A6 . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A _k до A _{k +1} ), граница равна A ₆ − A ₁ .

Границей цепочки называется линейная комбинация границ симплексов цепочки. Границей k -цепи является ( k −1)-цепь. Обратите внимание, что граница симплекса - это не симплекс, а цепочка с коэффициентами 1 или -1 - таким образом, цепи представляют собой замыкание симплексов под действием граничного оператора.

Пример 1. Границей пути является формальная разность его конечных точек: это телескопическая сумма . Для иллюстрации: если 1-цепочка $c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,$ это путь из точки $v_{1}\,$ В точку $v_{4}\,$ , где $t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,$ , $t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,$ и $t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,$ являются его составляющими 1-симплексами, то

${\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}$

Пример 2: Граница треугольника представляет собой формальную сумму его ребер со знаками, расположенными так, чтобы обеспечить обход границы против часовой стрелки.

Цепь называется циклом , если ее граница равна нулю. Цепь, являющаяся границей другой цепи, называется границей . Границы – это циклы, поэтому цепи образуют цепной комплекс , группы гомологий которого (циклы по модулю границ) называются симплициальными группами гомологий .

Пример 3: Плоскость, проколотая в начале координат, имеет нетривиальную группу 1-гомологии, поскольку единичная окружность является циклом, а не границей.

В дифференциальной геометрии двойственность между граничным оператором на цепях и внешней производной выражается общей теоремой Стокса .

Ссылки [ править ]

^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .
^ Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391 . OCLC 697506452 .
^ Качиньский, Томаш; Мишайков, Константин; Мрозек, Мариан (2004). Вычислительная гомология . Прикладные математические науки. Том. 157. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/b97315 . ISBN 0-387-40853-3 . МР 2028588 .

[1] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .

[2] Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391 . OCLC 697506452 .

[3] Качиньский, Томаш; Мишайков, Константин; Мрозек, Мариан (2004). Вычислительная гомология . Прикладные математические науки. Том. 157. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/b97315 . ISBN 0-387-40853-3 . МР 2028588 .

[1]

[2]

[3]