Группоид лжи

В математике группоид Ли — это группоид , в котором множество $\operatorname {Ob}$ предметов множества и $\operatorname {Mor}$ морфизмов многообразиями являются оба операции , все операции с категориями (исходная и целевая, композиция, тождественная карта и инверсия) являются гладкими, а исходная и целевая

$s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob}$

являются погружения .

Таким образом, группоид Ли можно рассматривать как «многообъектное обобщение» группы Ли , точно так же, как группоид является многообъектным обобщением группы . Соответственно, хотя группы Ли обеспечивают естественную модель (классических) непрерывных симметрий , группоиды Ли часто используются в качестве модели (и возникают из) обобщенных, точечно-зависимых симметрий. Расширяя соответствие между группами Ли и алгебрами Ли, группоиды Ли являются глобальными аналогами алгеброидов Ли .

Группоиды Ли были введены Чарльзом Эресманном. под названием дифференцируемые группоиды .

Определение и основные понятия

Группоид Ли состоит из

• два гладких многообразия $G$ и $M$
• два сюръективных погружения $s,t:G\to M$ (называемые соответственно исходным и целевым прогнозами)
• карта $m:G^{(2)}:=\{(g,h)\mid s(g)=t(h)\}\to G$ (называемая картой умножения или композиции), где мы используем обозначение $gh:=m(g,h)$
• карта $u:M\to G$ (называемая картой единиц или картой включения объектов), где мы используем обозначение $1_{x}:=u(x)$
• карта $i:G\to G$ (называемая инверсией ), где мы используем обозначение $g^{-1}:=i(g)$

такой, что

• состав удовлетворяет $s(gh)=s(h)$ и $t(gh)=t(g)$ для каждого $g,h\in G$ для которого определен состав
• композиция ассоциативна , т.е. $g(hl)=(gh)l$ для каждого $g,h,l\in G$ для которого определен состав
• $u$ работает как личность , т.е. $s(1_{x})=t(1_{x})=x$ для каждого $x\in M$ и $g1_{s(g)}=g$ и $1_{t(g)}g=g$ для каждого $g\in G$
• $i$ работает как инверсия , т.е. $g^{-1}g=1_{s(g)}$ и $gg^{-1}=1_{t(g)}$ для каждого $g\in G$.

Используя язык теории категорий , группоид Ли можно более компактно определить как группоид (т.е. небольшую категорию , в которой все морфизмы обратимы) такой, что множества $M$ объектов и $G$ морфизмов являются многообразиями, отображения $s$, $t$, $m$, $i$ и $u$ гладкие и $s$ и $t$ являются погружениями. Таким образом, группоид Ли — это не просто группоидный объект в категории гладких многообразий : нужно задаться вопросом о дополнительном свойстве, которое $s$ и $t$ являются погружениями.

Группоиды Ли часто обозначаются $G\rightrightarrows M$, где две стрелки обозначают источник и цель. Обозначения $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$ также часто используется, особенно при подчеркивании симплициальной структуры соответствующего нерва .

Чтобы включить больше естественных примеров, многообразие $G$ вообще не требуется, чтобы оно было Хаусдорфовым или вторым счетным (в то время как $M$ и все остальные места).

Альтернативные определения

Первоначальное определение Эресмана требовало $G$ и $M$ иметь гладкую структуру, такую, что только $m$ гладкая и карты $g\mapsto 1_{s(g)}$ и $g\mapsto 1_{t(g)}$ являются субпогружениями (т.е. имеют локально постоянный ранг ). Такое определение оказалось слишком слабым и было заменено Прадином на то, которое используется в настоящее время.

Хотя некоторые авторы ввели более слабые определения, которые не требовали $s$ и $t$ Будучи субмерсиями, эти свойства имеют фундаментальное значение для развития всей теории Ли группоидов и алгеброидов.

Первые свойства

Тот факт, что исходная и целевая карта группоида Ли $G\rightrightarrows M$ являются плавными погружениями, имеет некоторые немедленные последствия:

• тот $s$-волокна $s^{-1}(x)\subseteq G$, $t$-волокна $t^{-1}(x)\subseteq G$и множество составных морфизмов $G^{(2)}\subseteq G\times G$ являются подмногообразиями ;
• карта инверсии $i$ является диффеоморфизмом ;
• карта юнитов $u$ является гладким вложением ;
• группы изотропии $G_{x}$ являются группами Ли ;
• орбиты ${\mathcal {O}}_{x}\subseteq M$ — погруженные подмногообразия ;
• тот $s$-волокно $s^{-1}(x)$ в какой-то момент $x\in M$ является директором $G_{x}$- расслоение по орбите ${\mathcal {O}}_{x}$ в тот момент.

Подобъекты и морфизмы

Подгруппоид Ли группоида Ли $G\rightrightarrows M$ является подгруппоидом $H\rightrightarrows N$ (т.е. подкатегория категории $G$) с дополнительным требованием, чтобы $H\subseteq G$ является погруженным подмногообразием. Что касается подкатегории, то (лиевский) подгруппоид называется широким , если $N=M$. Любой группоид Лжи $G\rightrightarrows M$ имеет два канонических широких подгруппоида:

• подгруппоид единицы/идентичности Лия $u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}$;
• внутренний подгруппоид $IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}$, т.е. расслоение групп изотропии (которое, однако, вообще говоря, может не быть гладким).

Нормальный подгруппоид Ли — это широкий подгруппоид Ли. $H\subseteq G$ внутри $IG$ такой, что для каждого $h\in H,g\in G$ с $s(h)=t(h)=s(g)$, у одного есть $ghg^{-1}\in H$. Группы изотропии $H$ поэтому являются нормальными подгруппами групп изотропии $G$.

Морфизм группоида Ли между двумя группоидами Ли $G\rightrightarrows M$ и $H\rightrightarrows N$ является группоидным морфизмом $F:G\to H,f:M\to N$ (т.е. функтор между категориями $G$ и $H$), где оба $F$ и $f$ гладкие. Ядро ​ $\ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}$ морфизма между группоидами Ли над одним и тем же базовым многообразием автоматически является нормальным подгруппоидом Ли.

Частное ​ $G/\ker(F)\rightrightarrows M$ имеет естественную группоидную структуру такую, что проекция $G\to G/\ker(F)$ является группоидным морфизмом; однако, в отличие от частных групп Ли , $G/\ker(F)$ вообще может не быть группоидом Ли. Соответственно, теоремы об изоморфизме группоидов не могут быть специализированы для всей категории группоидов Ли, а только для специальных классов.

Группоид Ли называется абелевым, если его изотропные группы Ли абелевы . По тем же причинам, что и выше, хотя определение абелианизации группы распространяется на теоретико-множественные группоиды, в случае Ли аналог фактора $G^{ab}=G/(IG,IG)$ может не существовать или быть гладким.

Бисекции

Разделение пополам группоида Ли $G\rightrightarrows M$ это гладкая карта $b:M\to G$ такой, что $s\circ b=id_{M}$ и $t\circ b$ является диффеоморфизмом $M$. Чтобы преодолеть отсутствие симметрии между источником и целью, бисекцию можно эквивалентно определить как подмногообразие. $B\subseteq G$ такой, что $s_{\mid B}:B\to M$ и $t_{\mid B}:B\to M$ являются диффеоморфизмами; Связь между двумя определениями определяется выражением $B=b(M)$.

Набор биссектрис образует группу с умножением $b_{1}\cdot b_{2}$ определяется как

$$(b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).$$

и инверсия определяется как

$$b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)$$

Заметим, что определение дано таким образом, что если $t\circ b_{1}=\phi _{1}$ и $t\circ b_{2}=\phi _{2}$, затем $t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}$ и $t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}$.

Группе бисекций можно придать компактно-открытую топологию , а также (бесконечномерную) структуру многообразия Фреше , совместимую со структурой группы, что превращает ее в группу Фреше-Ли.

пополам Местное деление $b:U\subseteq M\to G$ определяется аналогично, но умножение между локальными биссекциями, конечно, определено лишь частично.

Примеры

Тривиальные и крайние случаи

• Группоиды лжи $G\rightrightarrows {*}$ с одним объектом — то же самое, что группы Ли.
• Учитывая любое многообразие $M$, существует группоид Ли $M\times M\rightrightarrows M$ называется парным группоидом , имеющим ровно один морфизм от любого объекта к любому другому.
• Два предыдущих примера являются частными случаями тривиального группоида. $M\times G\times M\rightrightarrows M$, со структурными картами $s(x,g,y)=y$, $t(x,g,y)=x$, $m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)$, $u(x)=(x,1,x)$ и $i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)$.
• Учитывая любое многообразие $M$, существует группоид Ли $u(M)\rightrightarrows M$ называемый единичным группоидом , с ровно одним морфизмом одного объекта в себя, а именно тождеством, и без морфизмов между различными объектами.
• В более общем смысле, группоиды Ли с $s=t$ — это то же самое, что расслоение групп Ли (не обязательно локально тривиальное). Например, любое векторное расслоение представляет собой расслоение абелевых групп, поэтому оно, в частности, является (n абелевым) группоидом Ли.

Конструкции из других группоидов Ли

• Учитывая любой группоид Лия $G\rightrightarrows M$ и сюръективное погружение $\mu :N\to M$, существует группоид Ли $\mu ^{*}G\rightrightarrows N$, называемый его обратным группоидом или индуцированным группоидом , где $\mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N$ содержит тройки $(x,g,y)$ такой, что $s(g)=\mu (y)$ и $t(g)=\mu (x)$, а умножение определяется с помощью умножения $G$. Например, откат парного группоида $M$ является парным группоидом $N$.
• Даны любые два группоида Ли. $G_{1}\rightrightarrows M_{1}$ и $G_{2}\rightrightarrows M_{2}$, существует группоид Ли $G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}$, называемые их прямым произведением , такие, что группоидные морфизмы $G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}$ и $G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}$ являются сюръективными погружениями.
• Учитывая любой группоид Лия $G\rightrightarrows M$, существует группоид Ли $TG\rightrightarrows TM$, называемый его касательным группоидом , полученный при рассмотрении касательного расслоения $G$ и $M$ и дифференциал структурных карт.
• Учитывая любой группоид Лия $G\rightrightarrows M$, существует группоид Ли $T^{*}G\rightrightarrows A^{*}$, называемый его кокасательным группоидом , полученный при рассмотрении кокасательного расслоения $G$, двойственный алгеброиду Ли $A$ (см. ниже) и подходящие структурные карты, включающие дифференциалы левого и правого переносов.
• Учитывая любой группоид Лия $G\rightrightarrows M$, существует группоид Ли $J^{k}G\rightrightarrows M$, называемый его струйным группоидом , полученный путем рассмотрения k-струй локальных биссечений $G$ (с гладкой структурой, унаследованной от пучка струйного $s:G\to M$) и настройка $s(j_{x}^{k}b)=x$, $t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))$, $m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})$, $u(x)=j_{x}^{k}u$ и $i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}$.

Примеры из дифференциальной геометрии

• Учитывая погружение $\mu :M\to N$, существует группоид Ли $M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M$, называемый субмерсионным группоидом или расслоенным парным группоидом , структурные карты которого индуцированы из парного группоида $M\times M\rightrightarrows M$ (условие, что $\mu$ погружение обеспечивает плавность $M\times _{\mu }M$). Если $N$ является точкой, восстанавливается парный группоид.
• Учитывая группу Ли $G$ действуя на многообразие $M$, существует группоид Ли $G\times M\rightrightarrows M$, называемый группоидом действия или группоидом перевода , с одним морфизмом для каждой тройки $g\in G,x,y\in M$ с $gx=y$.
• Учитывая любое векторное расслоение $E\to M$, существует группоид Ли $GL(E)\rightrightarrows M$, называемый общим линейным группоидом , с морфизмами между $x,y\in M$ являющиеся линейными изоморфизмами между слоями $E_{x}$ и $E_{y}$. Например, если $E=M\times \mathbb {R} ^{n}$ — тривиальное векторное расслоение ранга $k$, затем $GL(E)\rightrightarrows M$ является группоидом действия.
• Любой основной пакет $P\to M$ со структурной группой $G$ определяет группоид Лия $(P\times P)/G\rightrightarrows M$, где $G$ действует на пары $(p,q)\in P\times P$ покомпонентно, называемый калибровочным группоидом . Умножение определяется через совместимые представители, как в парном группоиде.
• Любое слоение ${\mathcal {F}}$ на коллекторе $M$ определяет два группоида Ли, $\mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M$ (или $\Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M$) и $\mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M$, называемые соответственно монодромией/гомотопией/фундаментальным группоидом и голономии группоидом ${\mathcal {F}}$, морфизмы которого состоят из гомотопических , соответственно голономных , классов эквивалентности путей, целиком лежащих в слое ${\mathcal {F}}$. Например, когда ${\mathcal {F}}$ является тривиальным слоением только с одним слоем, восстанавливаются соответственно фундаментальный группоид и парный группоид $M$. С другой стороны, когда ${\mathcal {F}}$ является простым слоением, т. е. слоением на (связные) слои субмерсии $\mu :M\to N$, его группоид голономии является в точности группоидом погружения $M\times _{\mu }M$ но его группоид монодромии может даже не быть Хаусдорфовым из-за общего критерия в терминах исчезающих циклов. В общем, многие элементарные слоения порождают группоиды монодромии и голономии, которые не являются хаусдорфовыми.
• Учитывая любую псевдогруппу $\Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)$, существует группоид Ли $G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M$, называемый его ростковым группоидом , наделенным пучковой топологией и структурными отображениями, аналогичными отображениям струйного группоида. Это еще один естественный пример группоида Ли, стрелочное пространство которого не является ни Хаусдорфовым, ни вторым счетным.

Важные классы группоидов Ли

Обратите внимание, что некоторые из следующих классов имеют смысл уже в категории теоретико-множественных или топологических группоидов .

Транзитивные группоиды

Группоид Ли является транзитивным (в старой литературе его также называли связным), если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• существует только одна орбита;
• между любыми двумя объектами существует по крайней мере морфизм;
• карта $(s,t):G\to M\times M$ (также известный якорь как $G\rightrightarrows M$) сюръективен.

Калибровочные группоиды представляют собой прототипические примеры транзитивных группоидов Ли: действительно, любой транзитивный группоид Ли изоморфен калибровочному группоиду некоторого главного расслоения, а именно $G_{x}$-пучок $t:s^{-1}(x)\to M$, для любой точки $x\in M$. Например:

• тривиальный группоид Ли $M\times G\times M\rightrightarrows M$ транзитивна и возникает из тривиального принципала $G$-пучок $G\times M\to M$. В частных случаях группы Ли $G\rightrightarrows {*}$ и парные группоиды $M\times M\rightrightarrows M$ тривиально транзитивны и возникают соответственно из главного $G$-пучок $G\to {*}$и от принципала $\{e\}$-пучок $M\to M$;
• группоид действия $G\times M\rightrightarrows M$ транзитивно тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно , и в этом случае оно возникает из главного расслоения $G\to M$ со структурной группой - группой изотропии (в произвольной точке);
• общий линейный группоид $E$ транзитивен и возникает из расслоения фреймов $Fr(E)\to M$;
• обратные группоиды, реактивные группоиды и касательные группоиды $G\rightrightarrows M$ транзитивны тогда и только тогда, когда $G\rightrightarrows M$ является транзитивным.

В качестве менее тривиального примера соответствия между транзитивными группоидами Ли и главными расслоениями рассмотрим фундаментальный группоид $\Pi _{1}(M)$ (связного) гладкого многообразия $M$. Это, естественно, топологический группоид, к тому же транзитивный; это можно увидеть $\Pi _{1}(M)$ изоморфен калибровочному группоиду универсального накрытия $M$. Соответственно, $\Pi _{1}(M)$ наследует гладкую структуру, которая превращает его в группоид Лия.

Группоиды погружений $M\times _{\mu }M\rightrightarrows M$ являются примером нетранзитивных группоидов Ли, орбиты которых являются в точности слоями $\mu$.

Более сильное понятие транзитивности требует якоря $(s,t):G\to M\times M$ быть сюръективным погружением. Такое условие еще называют локальной тривиальностью , поскольку $G$ становится локально изоморфным (как группоид Ли) тривиальному группоиду над любым открытым $U\subseteq M$ (как следствие локальной тривиальности главных расслоений).

Когда пространство $G$ является второй счетной, из транзитивности следует локальная тривиальность. Соответственно, эти два условия эквивалентны для многих примеров, но не для всех: например, если $\Gamma$ — транзитивная псевдогруппа, ее ростковый группоид $\mathrm {Germ} (\Gamma )$ транзитивно, но не локально тривиально.

Правильные группоиды

Группоид Ли называется собственным, если $(s,t):G\to M\times M$ это правильная карта. Как следствие

• все изотропные группы $G$ компактны ​ ;
• все орбиты $G$ являются замкнутыми подмногообразиями;
• орбитальное пространство $M/G$ является Хаусдорф .

Например:

• группа Ли является собственной тогда и только тогда, когда она компактна;
• парные группоиды всегда собственные;
• единичные группоиды всегда правильные;
• группоид действия является правильным тогда и только тогда, когда действие является правильным ;
• фундаментальный группоид является собственным тогда и только тогда, когда фундаментальные группы конечны .

Как видно выше, правильность группоидов Ли является «правильным» аналогом компактности для групп Ли. Можно также рассмотреть более «естественные» условия, например, попросить, чтобы исходная карта $s:G\to M$ правильно (тогда $G\rightrightarrows M$ называется s-собственным ), или что все пространство $G$ компактен (тогда $G\rightrightarrows M$ называется компактным ), но эти требования оказываются слишком строгими для многих примеров и приложений.

группоидов

Группоид Ли называется этальным , если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• размеры $G$ и $M$ равны;
• $s$ — локальный диффеоморфизм ;
• все $s$-волокна дискретны

Как следствие, также $t$-слоев, группы изотропии и орбиты становятся дискретными.

Например:

• группа Ли этальна тогда и только тогда, когда она дискретна;
• парные группоиды никогда не растекаются;
• единичные группоиды всегда плоские;
• группоид действия является этальным тогда и только тогда, когда $G$ дискретен;
• ростковые группоиды псевдогрупп всегда этальные.

Эффективные группоиды

Этальный группоид называется эффективным , если для любых двух локальных биссектрис $b_{1},b_{2}$, состояние $t\circ b_{1}=t\circ b_{2}$ подразумевает $b_{1}=b_{2}$. Например:

• Группы Ли эффективны тогда и только тогда, когда они тривиальны;
• единичные группоиды всегда эффективны;
• группоид действия эффективен, если $G$- действие бесплатное и $G$ является дискретным.

В общем случае любой эффективный этальный группоид возникает как ростковый группоид некоторой псевдогруппы. Однако можно дать и более сложное определение эффективности, не предполагающее этального свойства.

с источником

Группоид Ли называется $s$-подключено, если все это $s$-волокна соединены . Аналогично говорят о $s$-односвязные группоиды (когда $s$-волокна просто соединены ) или истоко-k-связные группоиды (когда $s$-волокна k-связны , т.е. первые $k$ гомотопические группы тривиальны).

Обратите внимание, что все пространство стрелок $G$ не требуется удовлетворять какой-либо гипотезе связности. Однако, если $G$ является источником- $k$-связный группоид Ли над $k$-связное многообразие, то $G$ само по себе автоматически $k$- связан.

Например

• Группы лжи являются источником $k$-связны тогда и только тогда, когда они $k$-связной;
• парный группоид является источником $k$-связно тогда и только тогда, когда $M$ является $k$-связной;
• единичные группоиды всегда являются источником $k$-связной;
• группоиды действий являются источником $k$-связно тогда и только тогда, когда $G$ является $k$-связной;
• монодромные группоиды (следовательно, также фундаментальные группоиды) являются исходно-односвязными;
• калибровочный группоид, ассоциированный с главным расслоением $P\to M$ является источником $k$-связно тогда и только тогда, когда все пространство $P$ является.

Другие связанные понятия

Действия и основные пакеты

Напомним, что действие группоида $G\rightrightarrows M$ на съемочной площадке $P$ вдоль функции $\mu :P\rightrightarrows M$ определяется через набор карт $\mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p$ для каждого морфизма $g\in G$ между $x,y\in M$. Соответственно, действие группоида Ли $G\rightrightarrows M$ на коллекторе $P$ по гладкой карте $\mu :P\rightrightarrows M$ состоит из группоидного действия, в котором отображения $\mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)$ гладкие. Конечно, для каждого $x\in M$ имеет место индуцированное гладкое действие группы изотропии $G_{x}$ на волокне $\mu ^{-1}(x)$.

Учитывая группоид Ли $G\rightrightarrows M$, директор $G$- пучок состоит из $G$-космос $P$ и $G$-инвариантное сюръективное погружение $\pi :P\to N$ такой, что

$$P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)$$

является диффеоморфизмом. Эквивалентные (но более сложные) определения можно дать, используя $G$-значные коциклы или локальные тривиализации.

Когда $G$ является группоидом Ли над точкой, восстанавливаются соответственно стандартные действия группы Ли и главные расслоения .

Представления

Представление группоида Ли $G\rightrightarrows M$ состоит из группоидного действия Ли на векторном расслоении $\pi :E\to M$, такое что действие послойно линейно, т. е. каждая биекция $\pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)$ является линейным изоморфизмом. Аналогично, представление $G$ на $E$ можно описать как морфизм группоида Ли из $G$ к общему линейному группоиду $GL(E)$.

Конечно, любое волокно $E_{x}$ становится представлением группы изотропии $G_{x}$. В более общем смысле, представления транзитивных группоидов Ли однозначно определяются представлениями их групп изотропии посредством построения соответствующего векторного расслоения .

Примеры представлений группоидов Ли включают следующее:

• представления групп Ли $G\rightrightarrows {*}$ восстановить стандартные представления группы Ли
• представления парных группоидов $M\times M\rightrightarrows M$ являются тривиальными векторными расслоениями
• представления единичных группоидов $M\rightrightarrows M$ векторные расслоения
• представления группоида действия $G\times M\rightrightarrows M$ являются $G$- эквивариантные векторные расслоения
• представления фундаментальных группоидов $\Pi _{1}(M)$ представляют собой векторные расслоения, наделенные плоскими связностями

Набор $\mathrm {Rep} (G)$ классов изоморфизма представлений группоида Ли $G\rightrightarrows M$ имеет естественную структуру полукольца с прямыми суммами и тензорными произведениями векторных расслоений.

когомологии

Понятие дифференцируемых когомологий для групп Ли естественным образом обобщается и на группоиды Ли: определение опирается на симплициальную структуру нерва . $N(G)_{n}=G^{(n)}$ из $G\rightrightarrows M$, рассматриваемый как категория.

Точнее, напомним, что пространство $G^{(n)}$ состоит из цепочек $n$ составные морфизмы, т.е.

$G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},$

и рассмотрим карту $t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})$.

Дифференцируемый ​ $n$-коцепь ​ $G\rightrightarrows M$ с коэффициентами в некотором представлении $E\to M$ представляет собой гладкое сечение векторного расслоения обратного образа $(t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}$. Один обозначает $C^{n}(G,E)$ пространство такого $n$-коцепи, и учитывает дифференциал $d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)$, определяемый как

$d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).$

Затем $(C^{n}(G,E),d^{n})$ становится коцепным комплексом и его когомологиями, обозначаемыми $H_{d}^{n}(G,E)$, называется дифференцируемыми когомологиями $G\rightrightarrows M$ с коэффициентами в $E\to M$. Обратите внимание, что, поскольку дифференциал в нулевой степени равен $d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))$, человек всегда $H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}$.

Разумеется, дифференцируемые когомологии $G\rightrightarrows {*}$ поскольку группоид Ли совпадает со стандартными дифференцируемыми когомологиями $G$ как группа Ли (в частности, для дискретных групп восстанавливаются обычные групповые когомологии ). С другой стороны, для любого собственного группоида Ли $G\rightrightarrows M$, можно доказать, что $H_{d}^{n}(G,E)=0$ для каждого $n>0$.

группоида

Смотрите также: алгеброид Ли § соответствие группоида Ли-алгеброида Ли

Любой группоид Лжи $G\rightrightarrows M$ имеет связанный алгеброид Ли $A\to M$, полученный с помощью конструкции, аналогичной той, которая сопоставляет алгебру Ли любой группе Лиː

• векторное расслоение $A\to M$ является вертикальным расслоением по отношению к исходной карте, ограниченным элементами, касающимися тождеств, т.е. $A:=\ker(ds)_{\mid M}$;
• скобка Ли получается путем отождествления $\Gamma (A)$ с левоинвариантными векторными полями на $G$и перенеся их скобку Ли в $A$;
• карта привязки $A\to TM$ это дифференциал целевой карты $t:G\to M$ ограничено $A$.

Соответствие группа Ли и алгебра Ли обобщается на некоторые группы, а также на группоиды Ли: первые две теоремы Ли (также известные как теорема о подгруппах-подалгебрах и теорема о гомоморфизмах) действительно могут быть легко адаптированы к этому случаю.

В частности, как и в стандартной теории Ли, для любого s-связного группоида Ли $G$ существует единственный (с точностью до изоморфизма) s-односвязный группоид Ли ${\tilde {G}}$ с тем же алгеброидом Ли $G$и локальный диффеоморфизм ${\tilde {G}}\to G$ который является группоидным морфизмом. Например,

• учитывая любое связное многообразие $M$ его парный группоид $M\times M$ является s-связным, но не s-односвязным, а его фундаментальный группоид $\Pi _{1}(M)$ является. Они оба имеют один и тот же алгеброид Ли, а именно касательное расслоение. $TM\to M$и локальный диффеоморфизм $\Pi _{1}(M)\to M\times M$ дается $[\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))$.
• учитывая любое слоение ${\mathcal {F}}$ на $M$, его группоид голономии $\mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})$ является s-связным, но не s-односвязным, а его группоид монодромии $\mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})$ является. Оба они имеют один и тот же алгеброид Ли, а именно алгеброид слоения. ${\mathcal {F}}\to M$и локальный диффеоморфизм $\mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})$ дается $[\gamma ]\mapsto [\gamma ]$ (поскольку гомотопические классы меньше голономных).

не существует Однако аналога третьей теоремы Ли ː хотя некоторые классы алгеброидов Ли интегрируемы, существуют примеры алгеброидов Ли, например, связанные с теорией слоений , которые не допускают интегрирующего группоида Ли. Общие препятствия на пути существования такой интеграции зависят от топологии $G$.

Эквивалент Морита

Как обсуждалось выше, стандартное понятие (изо)морфизма группоидов (рассматриваемых как функторы между категориями ) естественным образом ограничивается группоидами Ли. Однако существует более грубое понятие эквивалентности, называемое эквивалентностью Морита, которое более гибко и полезно в приложениях.

Во-первых, отображение Мориты (также известное как слабая эквивалентность или существенная эквивалентность) между двумя группоидами Ли. $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$ и $H_{1}\rightrightarrows H_{0}$ состоит из морфизма группоида Ли из G в H, который, кроме того, полностью точен и по существу сюръективен (адаптируя эти категориальные понятия к гладкому контексту). Мы говорим, что два группоида Ли $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$ и $H_{1}\rightrightarrows H_{0}$ эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда существует третий группоид Ли $K_{1}\rightrightarrows K_{0}$ вместе с двумя картами Мориты от до K и от H до K. G

Более явное описание эквивалентности Морита (например, полезное для проверки того, что это отношение эквивалентности ) требует существования двух сюръективных субмерсий. $P\to G_{0}$ и $P\to H_{0}$ вместе с левым $G$- действие и право $H$-действовать, ездить друг с другом и делать $P$ в главный бирасслоение.

Инвариантность Морита

Многие свойства группоидов Ли, например, собственные, хаусдорфовые или транзитивные, являются инвариантами Морита. С другой стороны, этальность не является инвариантом Мориты.

Кроме того, эквивалентность Морита между $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$ и $H_{1}\rightrightarrows H_{0}$ сохраняет их поперечную геометрию , т. е. вызывает:

• гомеоморфизм между пространствами орбит $G_{0}/G_{1}$ и $H_{0}/H_{1}$;
• изоморфизм $G_{x}\cong H_{y}$ между группами изотропии в соответствующих точках $x\in G_{0}$ и $y\in H_{0}$;
• изоморфизм ${\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}$ между нормальными представлениями групп изотропии в соответствующих точках $x\in G_{0}$ и $y\in H_{0}$.

Наконец, дифференцируемые когомологии двух Морита-эквивалентных группоидов Ли изоморфны.

Примеры

• Изоморфные группоиды Ли тривиально эквивалентны Морите.
• Две группы Ли эквивалентны по Морита тогда и только тогда, когда они изоморфны как группы Ли.
• Два единичных группоида эквивалентны по Морите тогда и только тогда, когда базовые многообразия диффеоморфны.
• Любой транзитивный группоид Ли является Морита-эквивалентным своим группам изотропии.
• Учитывая группоид Ли $G\rightrightarrows M$ и сюръективное погружение $\mu :N\to M$, обратный группоид $\mu ^{*}G\rightrightarrows N$ эквивалентен ли Морита $G\rightrightarrows M$.
• Учитывая свободное и правильное действие группы Ли $G$ на $M$ (следовательно, частное $M/G$ является многообразием), группоид действия $G\times M\rightrightarrows M$ эквивалентен ли Морита единичному группоиду $u(M/G)\rightrightarrows M/G$.
• Группоид Лжи $G$ эквивалентен Морита этальному группоиду тогда и только тогда, когда все группы изотропии $G$ являются дискретными.

Конкретный пример последнего примера выглядит следующим образом. Пусть M — гладкое многообразие и $\{U_{\alpha }\}$ открытая крышка $M$. Это чешский группоид $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$ определяется непересекающимися объединениями $G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }$ и $G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }$, где $U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M$. Исходная и целевая карта определяются как вложения $s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }$ и $t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }$, а умножение является очевидным, если мы прочитаем $U_{\alpha \beta }$ как подмножества M (совместные точки в $U_{\alpha \beta }$ и $U_{\beta \gamma }$ на самом деле они одинаковы в $M$ а также лежать $U_{\alpha \gamma }$). Группоид Чеха на самом деле является группоидом обратного движения при очевидном погружении. $p:G_{0}\to M$, единичного группоида $M\rightrightarrows M$. Таким образом, группоиды Чеха ассоциировались с различными открытыми оболочками $M$ эквивалентны Морите.

Гладкие стеки

См. также: дифференцируемый стек

Исследование структуры пространства орбит группоида Ли приводит к понятию гладкого стека. Например, пространство орбит является гладким многообразием, если группы изотропии тривиальны (как в примере группоида Чеха), но в целом оно не является гладким. Решение состоит в том, чтобы вернуться к проблеме и определить гладкий стек как класс Морита-эквивалентности группоидов Ли. Естественными геометрическими объектами, живущими в стеке, являются геометрические объекты на группоидах Ли, инвариантные относительно Морита-эквивалентности: примером являются когомологии группоидов Ли.

Поскольку понятие гладкого стека весьма общее, очевидно, что все гладкие многообразия являются гладкими стопками. Другие классы примеров включают орбифолды , которые являются (классами эквивалентности) собственных этальных группоидов Ли, и пространства орбит слоений.

Книги

• Вайнштейн, А. (1996). «Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 43 : 744–752. arXiv : математика/9602220 .
• Маккензи, К. (1987). Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511661839 . ISBN  9780521348829 .
• Маккензи, KCH (2005). Общая теория группоидов и алгеброидов Ли . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9781107325883 . ISBN  9781107325883 .
• Крайник, М.; Фернандес, РЛ (2011). «Лекции по интегрируемости скобок Лия» (PDF) . Монографии по геометрии и топологии . 17 :1–107. arXiv : math/0611259 .
• Мурдейк, И.; Мркун, Дж. (2003). Введение в слоения и группоиды Ли . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511615450 . ISBN  9780521831970 .