Категория коллекторов

В математике категория многообразий , часто обозначаемая Человеком. ^п , — категория которой , объектами являются многообразия гладкости класса C ^п и чьи морфизмы являются p -раз непрерывно дифференцируемыми отображениями . Это категория, потому что композиция двух C ^п карты снова непрерывны и относятся к классу C ^п .

Часто интересует только C ^п -многообразия, моделируемые на пространствах фиксированной категории A , и категория таких многообразий обозначается Man ^п ( А ). Аналогично, категория C ^п -многообразия, моделируемые на фиксированном пространстве E, обозначаются Man ^п ( Э ).

Можно также говорить о категории гладких . многообразий ^∞ , или категория аналитических многообразий Man ^ой .

Мужчина ^п это конкретная категория

Как и многие категории, категория Мужчина ^п это конкретная категория , то есть ее объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (т. е. топологией и классом эквивалентности атласов карт , — определяющих C ^п -дифференцируемая структура) и его морфизмы являются функциями, сохраняющими эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости.

У : Мужчина ^п → Топ

к категории топологических пространств , которая присваивает каждому многообразию лежащее в основе топологическое пространство и каждой p -кратно непрерывно дифференцируемой функции основную непрерывную функцию топологических пространств. Аналогично существует естественный функтор забывания

У ’: Мужчина ^п → Установить

к категории множеств , которая присваивает каждому многообразию основное множество и каждой p -кратно непрерывно дифференцируемой функции основную функцию.

и функтор касательного

Часто бывает удобно или необходимо работать с категорией многообразий вместе с выделенным пунктом: Человек _• ^п аналог Top _• — категории точечных пространств . Объекты Человека _• ^п пары $(M,p_{0}),$ где $M$ это $C^{p}$многообразие вместе с базовой точкой $p_{0}\in M,$ и его морфизмы являются сохраняющими базовую точку p -раз непрерывно дифференцируемыми отображениями: например $F:(M,p_{0})\to (N,q_{0}),$ такой, что $F(p_{0})=q_{0}.$ Категория остроконечных многообразий является примером категории запятой — Человек _• ^п это точно $\scriptstyle {(\{\bullet \}\downarrow \mathbf {Man^{p}} )},$ где $\{\bullet \}$ представляет собой произвольный одноэлементный набор, а $\downarrow$представляет собой карту от этого синглтона до элемента Man ^п , выбирая базовую точку.

Конструкцию касательного пространства можно рассматривать как функтор из Man _• ^п к Vect _R следующим образом: заданы точечные многообразия $(M,p_{0})$и $(N,F(p_{0})),$ с $C^{p}$карта $F:(M,p_{0})\to (N,F(p_{0}))$ между ними мы можем назначить векторные пространства $T_{p_{0}}M$и $T_{F(p_{0})}N,$ с линейной картой между ними, заданной форвардом (дифференциалом) : $F_{*,p}:T_{p_{0}}M\to T_{F(p_{0})}N.$ Эта конструкция является настоящим функтором, поскольку продвижение тождественной карты $\mathbb {1} _{M}:M\to M$ — изоморфизм векторного пространства $(\mathbb {1} _{M})_{*,p_{0}}:T_{p_{0}}M\to T_{p_{0}}M,$ и правило цепочки гарантирует, что $(f\circ g)_{*,p_{0}}=f_{*,g(p_{0})}\circ g_{*,p_{0}}.$

Ссылки

• Ланг, Серж (2012) [1972]. Дифференциальные многообразия . Спрингер. ISBN  978-1-4684-0265-0 .
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9781441974006 . OCLC   682907530 .