Толчок вперед (дифференциал)

«Если карта φ переносит каждую точку многообразия M в многообразие N, то продвижение φ переносит векторы из касательного пространства в каждой точке M в касательное пространство в каждой точке N». — Если карта φ переносит каждую точку многообразия M в многообразие N то перемещение φ переносит векторы из касательного пространства в каждой точке M в касательное пространство в каждой точке N. ,

В дифференциальной геометрии pushforward — это линейная аппроксимация гладких отображений (формулирующих многообразие) в касательных пространствах. Предположим, что $\varphi \colon M\to N$ — гладкое отображение гладких многообразий ; тогда дифференциал $\varphi$ в какой-то момент $x$ , обозначенный $\mathrm {d} \varphi _{x}$ , является в некотором смысле лучшим линейным приближением $\varphi$ около $x$ . Его можно рассматривать как обобщение полной производной обычного исчисления. Явно дифференциал представляет собой отображение касательного пространства линейное $M$ в $x$ к касательному пространству $N$ в $\varphi (x)$ , $\mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ . Следовательно, его можно использовать для перемещения касательных векторов на $M$ вперед к касательным векторам на $N$ . Дифференциал карты $\varphi$ различные авторы также называют производной или полной производной $\varphi$ .

Мотивация [ править ]

Позволять $\varphi :U\to V$ быть гладкой картой из открытого подмножества $U$ из $\mathbb {R} ^{m}$ к открытому подмножеству $V$ из $\mathbb {R} ^{n}$ . Для любой точки $x$ в $U$ , якобиан $\varphi$ в $x$ (относительно стандартных координат) — матричное представление производной полной $\varphi$ в $x$ , которое представляет собой линейное отображение

d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}

между их касательными пространствами. Обратите внимание на касательные пространства $T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}$ изоморфны $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ , соответственно. Продвижение обобщает эту конструкцию на случай, когда $\varphi$ является гладкой функцией между любыми гладкими многообразиями $M$ и $N$ .

Дифференциал гладкой карты [ править ]

Позволять $\varphi \colon M\to N$ — гладкое отображение гладких многообразий. Данный $x\in M,$ дифференциал $\varphi$ в $x$ это линейная карта

d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,

из пространства касательного $M$ в $x$ к касательному пространству $N$ в $\varphi (x).$ Изображение $d\varphi _{x}X$ касательного вектора $X\in T_{x}M$ под $d\varphi _{x}$ иногда называют вперед продвижением $X$ к $\varphi .$ Точное определение этого продвижения зависит от определения, которое используется для касательных векторов (различные определения см. В касательном пространстве ).

Если касательные векторы определены как классы эквивалентности кривых $\gamma$ для которого $\gamma (0)=x,$ тогда дифференциал определяется выражением

d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).

Здесь, $\gamma$ представляет собой кривую в $M$ с $\gamma (0)=x,$ и $\gamma '(0)$ - касательный вектор к кривой $\gamma$ в $0.$ Другими словами, продвижение касательного вектора к кривой $\gamma$ в $0$ - касательный вектор к кривой $\varphi \circ \gamma$ в $0.$

В качестве альтернативы, если касательные векторы определяются как производные , действующие на гладкие вещественные функции, то дифференциал определяется выражением

d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),

для произвольной функции $f\in C^{\infty }(N)$ и произвольный вывод $X\in T_{x}M$ в точку $x\in M$ ( вывод определяется как линейное отображение $X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R}$ удовлетворяющее правилу Лейбница , см.: определение касательного пространства посредством дифференцирований ). По определению, продвижение вперед $X$ в $T_{\varphi (x)}N$ и, следовательно, само является производным, $d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R}$ .

После выбора двух графиков вокруг $x$ и вокруг $\varphi (x),$ $\varphi$ локально определяется гладким отображением ${\widehat {\varphi }}\colon U\to V$ между открытыми наборами $\mathbb {R} ^{m}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ , и

d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},

в обозначениях суммирования Эйнштейна , где частные производные вычисляются в точке $U$ соответствующий $x$ в данном графике.

Расширение по линейности дает следующую матрицу

\left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.

Таким образом, дифференциал представляет собой линейное преобразование между касательными пространствами, связанное с гладким отображением. $\varphi$ в каждой точке. Поэтому в некоторых выбранных локальных координатах оно представляется матрицей Якоби соответствующего гладкого отображения из $\mathbb {R} ^{m}$ к $\mathbb {R} ^{n}$ . В общем, дифференциал не обязательно должен быть обратимым. Однако, если $\varphi$ является локальным диффеоморфизмом , то $d\varphi _{x}$ обратимо, а обратное откат дает $T_{\varphi (x)}N.$

Дифференциал часто выражается с использованием множества других обозначений, таких как

D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .

Из определения следует, что дифференциал композиции есть композиция дифференциалов (т. е. функториальное поведение). Это правило цепочки для гладких карт.

Кроме того, дифференциал локального диффеоморфизма является линейным изоморфизмом касательных пространств.

Дифференциал на касательном расслоении [ править ]

Дифференциал гладкого отображения $\varphi$ очевидным образом индуцирует отображение расслоения (фактически гомоморфизм векторного расслоения ) из касательного расслоения $M$ к касательному расслоению $N$ , обозначенный $d\varphi$ , что укладывается в следующую коммутативную диаграмму :

где $\pi _{M}$ и $\pi _{N}$ обозначают проекции касательных расслоений $M$ и $N$ соответственно.

$\operatorname {d} \!\varphi$ вызывает карту расслоения из $TM$ к расслоению обратного образа φ ^∗ТН закончился $M$ с помощью

(m,v_{m})\mapsto (\varphi (m),\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),

где $m\in M$ и $v_{m}\in T_{m}M.$ Последнее отображение, в свою очередь, можно рассматривать как сечение векторного расслоения Hom( TM , φ ^∗ТН ) над М. Карта пакета $\operatorname {d} \!\varphi$ также обозначается $T\varphi$ и называется касательной картой . Таким образом, $T$ это функционер

Продвижение векторных полей [ править ]

Учитывая гладкое отображение φ : M → N и векторное поле X на M , обычно невозможно отождествить продвижение X с некоторым векторным полем Y на N. по φ Например, если карта φ не является сюръективной, не существует естественного способа определить такое продвижение вне образа φ . Кроме того, если φ не инъективен, в данной точке может быть более одного выбора продвижения вперед. Тем не менее, эту трудность можно уточнить, используя понятие векторного поля вдоль карты.

Часть φ ^∗TN над M называется векторным полем вдоль φ . Например, если M — подмногообразие N и φ — включение, то векторное поле вдоль φ — это просто сечение касательного расслоения N вдоль M ; в частности, векторное поле на M определяет такое сечение посредством включения TM внутри TN . Эта идея распространяется на произвольные гладкие карты.

Предположим, что X — векторное поле на M , т. е. сечение TM . Затем, $\operatorname {d} \!\phi \circ X$ дает в указанном выше смысле прямое движение φ _∗ X , которое является векторным полем вдоль φ , т. е. сечением φ ^∗ТН над М.

Любое векторное поле Y на N определяет сечение обратного образа φ ^∗Y от φ ^∗TN с ( φ ^∗Y ) _{Икс знак} равно Y _{φ ( Икс )} . Векторное поле X на M и векторное поле Y на N называются φ -связанными, если φ _∗ X = φ ^∗Y как векторные поля вдоль φ . Другими словами, для всех в M dφ x x ₍ X ) = Y _{φ ( x )} .

В некоторых ситуациях, учитывая векторное поле X на M , существует уникальное векторное поле Y на N которое φ -связано с X. , Это верно, в частности, когда ф — диффеоморфизм . В этом случае pushforward определяет векторное поле Y на N , заданное формулой

Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).

Более общая ситуация возникает, когда φ сюръективен (например, проекция расслоения расслоения). Тогда векторное поле X на M называется проектируемым, если всех y в N для dφ _x ( X _x ) не зависит от выбора x в φ ⁻¹({ у }). Это именно то условие, которое гарантирует, что продвижение X как векторного поля на N корректно определено.

Примеры [ править ]

Отказ от умножения на группах Ли [ править ]

Учитывая группу Ли $G$ , мы можем использовать карту умножения $m(-,-):G\times G\to G$ чтобы получить левое умножение $L_{g}=m(g,-)$ и правильное умножение $R_{g}=m(-,g)$ карты $G\to G$ . Эти карты можно использовать для построения левых или правых инвариантных векторных полей на $G$ из его касательного пространства в начале координат ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ (которая является ассоциированной с ней алгеброй Ли ). Например, учитывая $X\in {\mathfrak {g}}$ мы получаем связанное векторное поле ${\mathfrak {X}}$ на $G$ определяется

{\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G

для каждого

g\in G

. Это можно легко вычислить, используя определение кривых карт прямого продвижения. Если у нас есть кривая

\gamma :(-1,1)\to G

где

\gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X

мы получаем

{\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}

с

L_{g}

является постоянным относительно

\gamma

. Это означает, что мы можем интерпретировать касательные пространства

T_{g}G

как

T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}

.

некоторых Лжи Продвижение групп

Например, если $G$ — группа Гейзенберга, заданная матрицами

H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}

он имеет алгебру Ли, заданную набором матриц

{\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}

так как мы можем найти путь

\gamma :(-1,1)\to H

давая любое действительное число в одной из верхних записей матрицы с

i<j

(i-я строка и j-й столбец). Тогда для

g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}

у нас есть

T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}

что равно исходному набору матриц. Это не всегда так, например, в группе

G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}

мы имеем ее алгебру Ли как набор матриц

{\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}

следовательно, для некоторой матрицы

g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}

у нас есть

T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}

это не тот же набор матриц.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218.
Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2 . См. раздел 1.6 .
Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х . См. разделы 1.7 и 2.3 .