Обычный комплект

В дифференциальной геометрии , области математики , нормальное расслоение — это особый вид векторного расслоения , дополнительный к касательному расслоению и возникающий в результате вложения (или погружения ).

Определение [ править ]

Риманово многообразие [ править ]

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие и $S\subset M$ риманово подмногообразие . Определить для данного $p\in S$ , вектор $n\in \mathrm {T} _{p}M$ быть нормальным , чтобы $S$ в любое время $g(n,v)=0$ для всех $v\in \mathrm {T} _{p}S$ (так что $n$ ортогонален $\mathrm {T} _{p}S$ ). Набор $\mathrm {N} _{p}S$ из всех подобных $n$ тогда называется нормальным пространством для $S$ в $p$ .

Точно так же, как общее пространство касательного расслоения к многообразию состоит из всех касательных пространств к многообразию, общее пространство нормального расслоения ^[1] $\mathrm {N} S$ к $S$ определяется как

\mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S

.

Конормальное расслоение определяется как расслоение, двойственное к нормальному расслоению. Его естественным образом можно реализовать как подрасслоение кокасательного расслоения .

Общее определение [ править ]

Более абстрактно, учитывая погружение $i:N\to M$ (например, вложение), можно определить нормальное расслоение N в M в каждой точке N , взяв фактор-пространство касательного пространства к M по касательному пространству N. к Для риманова многообразия этот фактор можно отождествить с ортогональным дополнением, но, вообще говоря, нельзя (такой выбор эквивалентен сечению проекции $V\to V/W$ ).

Таким образом, нормальное расслоение, вообще говоря, является фактором касательного расслоения объемлющего пространства, ограниченного подпространством.

Формально нормальный пучок ^[2] к N в M является факторрасслоением касательного расслоения на M имеется короткая точная последовательность векторных расслоений : на N :

0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0

где $TM\vert _{i(N)}$ есть ограничение касательного расслоения на M на N (собственно обратный образ $i^{*}TM$ касательного расслоения на M в векторное расслоение на N посредством отображения $i$ ). Волокно нормального пучка $T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N$ в $p\in N$ называется нормальным пространством в $p$ (из $N$ в $M$ ).

Конормальное расслоение [ править ]

Если $Y\subseteq X$ является гладким подмногообразием многообразия $X$ , мы можем выбрать локальные координаты $(x_{1},\dots ,x_{n})$ вокруг $p\in Y$ такой, что $Y$ локально определяется $x_{k+1}=\dots =x_{n}=0$ ; то при таком выборе координат

{\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}

а идеальный пучок локально порождается $x_{k+1},\dots ,x_{n}$ . Поэтому мы можем определить невырожденное спаривание

(I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R}

что индуцирует изоморфизм пучков $T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }$ . Мы можем перефразировать этот факт, введя конормальное расслоение $T_{X/Y}^{*}$ определяется через конормальную точную последовательность

0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0

,

затем $T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})$ , а именно. сечения конормального расслоения являются кокасательными векторами к $X$ исчезает на $TY$ .

Когда $Y=\lbrace p\rbrace$ — точка, то идеальный пучок — это пучок гладких зародышей, исчезающих в точке $p$ и изоморфизм сводится к определению касательного пространства через ростки гладких функций на $X$

T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}

.

Стабильный нормальный пакет [ править ]

Абстрактные многообразия имеют каноническое касательное расслоение, но не имеют нормального расслоения: только вложение (или погружение) одного многообразия в другое дает нормальное расслоение. Однако, поскольку любое многообразие можно вложить в $\mathbf {R} ^{N}$ , по теореме вложения Уитни , каждое многообразие допускает нормальное расслоение при таком вложении.

В общем, естественного выбора вложения не существует, но для данного M любые два вложения в $\mathbf {R} ^{N}$ для достаточно больших N являются регулярными гомотопными и, следовательно, индуцируют одно и то же нормальное расслоение. Получающийся класс нормальных расслоений (это класс расслоений, а не конкретный расслоение, поскольку N может меняться) называется стабильным нормальным расслоением .

Двойной и касательный пучок [ править ]

Нормальное расслоение двойственно касательному в смысле К-теории : по приведенной выше короткой точной последовательности,

[TN]+[T_{M/N}]=[TM]

в группе Гротендика . В случае погружения в $\mathbf {R} ^{N}$ касательное расслоение объемлющего пространства тривиально (поскольку $\mathbf {R} ^{N}$ стягиваемо, следовательно, распараллеливаемо ), поэтому $[TN]+[T_{M/N}]=0$ , и поэтому $[T_{M/N}]=-[TN]$ .

Это полезно при вычислении характеристических классов и позволяет доказать нижние оценки погружаемости и вложимости многообразий в евклидово пространство .

Для симплектических многообразий [ править ]

Предположим, что многообразие $X$ вложено в симплектическое многообразие $(M,\omega )$ , такой, что образ симплектической формы имеет постоянный ранг на $X$ . Тогда можно определить симплектическое нормальное расслоение к X как векторное расслоение над X со слоями

(T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,

где $i:X\rightarrow M$ обозначает вложение. Обратите внимание, что условие постоянного ранга гарантирует, что эти нормальные пространства соединятся вместе, образуя пучок. Более того, любой слой наследует структуру симплектического векторного пространства. ^[3]

По теореме Дарбу вложение постоянного ранга локально определяется формулой $i^{*}(TM)$ . Изоморфизм

i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },

симплектических векторных расслоений над $X$ следует, что симплектическое нормальное расслоение уже локально определяет вложение постоянного ранга. Эта особенность аналогична римановому случаю.

Ссылки [ править ]

^ Джон М. Ли, Римановы многообразия, Введение в кривизну , (1997) Springer-Verlag, Нью-Йорк, Тексты для аспирантов по математике 176 ISBN 978-0-387-98271-7
^ Таммо Том Дик , Алгебраическая топология , (2010) Учебники EMS по математике ISBN 978-3-03719-048-7
^ Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X

[1] Джон М. Ли, Римановы многообразия, Введение в кривизну , (1997) Springer-Verlag, Нью-Йорк, Тексты для аспирантов по математике 176 ISBN 978-0-387-98271-7

[2] Таммо Том Дик , Алгебраическая топология , (2010) Учебники EMS по математике ISBN 978-3-03719-048-7

[3] Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X

[1]

[2]

[3]