Риманово подмногообразие

Сфера ​ $S^{n}$ с круглой метрикой является римановым подмногообразием $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Риманово подмногообразие $N$ многообразия риманова $M$ является подмногообразием $N$ из $M$ оснащен римановой метрикой, унаследованной от $M$.

В частности, если $(M,g)$ является римановым многообразием (с краем или без него) и $i:N\to M$ — погруженное подмногообразие или вложенное подмногообразие (с краем или без него), обратный образ $i^{*}g$ из $g$ является римановой метрикой на $N$, и $(N,i^{*}g)$ называется римановым подмногообразием $(M,g)$. С другой стороны, если $N$ уже есть риманова метрика ${\tilde {g}}$, то погружение (или вложение) $i:N\to M$ называется изометрическим погружением (или изометрическим вложением ), если ${\tilde {g}}=i^{*}g$. Следовательно, изометрические погружения и изометрические вложения являются римановыми подмногообразиями.

Например, n-сфера $S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\lVert x\rVert =1\}$ является вложенным римановым подмногообразием $\mathbb {R} ^{n+1}$ через карту включения $S^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}$ это требует точки $S^{n}$ в соответствующую точку надмножества $\mathbb {R} ^{n+1}$. Индуцированная метрика на $S^{n}$ называется круглой метрикой.