Риманова геометрия
| Геометрия |
|---|
 |
|
| Геометры |
Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии , изучающий римановы многообразия , определяемые как гладкие многообразия с римановой метрикой ( скалярным произведением в касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке). Это дает, в частности, локальные понятия угла , длины кривых , площади поверхности и объема . Из них можно получить некоторые другие глобальные величины путем интегрирования местных вкладов.
Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grundeliegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). [1] Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальной геометрии поверхностей в R. 3 . Развитие римановой геометрии привело к синтезу разнообразных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них, с методами, которые можно применить к изучению дифференцируемых многообразий более высоких размерностей. Это позволило сформулировать Эйнштейна общую теорию относительности , оказало глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений , а также анализ и стимулировало развитие алгебраической и дифференциальной топологии .
Введение [ править ]
Риманова геометрия была впервые выдвинута в общих чертах Бернхардом Риманом в 19 веке. Он имеет дело с широким диапазоном геометрий, метрические свойства которых изменяются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидовой геометрии .
Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику , которая часто помогает решать задачи дифференциальной топологии . Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановых многообразий , которые (в четырёх измерениях) являются основными объектами теории общей относительности . Другие обобщения римановой геометрии включают геометрию Финслера .
Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Дислокации и дисклинации вызывают кручение и искривление. [2] [3]
Следующие статьи содержат полезный вводный материал:
- Метрический тензор
- Риманово многообразие
- Связь Леви-Чивита
- Кривизна
- Тензор кривизны Римана
- Список тем дифференциальной геометрии
- Глоссарий римановой и метрической геометрии
Классические теоремы
Далее следует неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большую часть результатов можно найти в классической монографии Джеффа Чигера и Д. Эбина (см. ниже).
Приведенные формулировки далеко не являются ни очень точными, ни наиболее общими. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.
Общие теоремы
- Теорема Гаусса–Бонне Интеграл от кривизны Гаусса на компактном двумерном римановом многообразии равен 2πχ( M где χ( M ) обозначает эйлерову характеристику M ) , . Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. обобщенную теорему Гаусса-Бонне .
- Теоремы Нэша вложения . Они утверждают, что каждое риманово многообразие можно изометрически вложить в евклидово пространство R. н .
Геометрия в большом масштабе [ править ]
Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения кривизны), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая некоторую информацию о топологическом типе многообразия или о поведении точек. на «достаточно больших» расстояниях.
Сжатая кривизна сечения [ править ]
- Теорема о сфере . Если M — односвязное компактное n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго зажатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфно сфере.
- Теорема Чигера о конечности. Учитывая константы C , D и V , существует лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной | К | ≤ C , диаметр ≤ D и объем V. ≥
- Почти плоские многообразия Громова . Существует ε n > 0 такое, что если n -мерное риманово многообразие имеет метрику секционной кривизны | К | ⩽ εn и диаметр ⩽ 1, то его конечное накрытие диффеоморфно ниль-многообразию .
Секционная кривизна ограничена снизу [ править ]
- Чигера-Громолла о Теорема душе . Если M — некомпактное полное n -мерное риманово многообразие неотрицательной кривизны, то M содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие S такое, что диффеоморфно нормальному расслоению S ( S называется душой M M ). в частности, если M оно диффеоморфно R всюду имеет строго положительную кривизну, то н . Г. Перельман в 1994 году дал удивительно элегантное и краткое доказательство гипотезы души: M диффеоморфно R. н если он имеет положительную кривизну только в одной точке.
- Теорема Громова о числах Бетти. Существует константа C = C ( n ) такая, что если — компактное связное n -мерное риманово многообразие с положительной секционной кривизной, то сумма его чисел Бетти не превосходит C. M
- Теорема Гроува – Петерсена о конечности. Учитывая константы C , D и V , существует только конечное число гомотопических типов компактных n -мерных римановых многообразий с секционной кривизной K ≥ C , диаметром ≤ D и объемом V. ≥
Секционная кривизна, ограниченная сверху [ править ]
- Теорема Картана –Адамара утверждает, что полное односвязное риманово многообразие M с неположительной секционной кривизной диффеоморфно евклидову пространству R. н с n = dim M через экспоненциальное отображение в любой точке. Это означает, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны соединены единственной геодезической.
- Геодезический поток любого компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны эргодичен .
- Если M — полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k, то это пространство CAT( k ) . Следовательно, ее фундаментальная группа Γ = π 1 ( M ) является гиперболической по Громову . Это имеет множество последствий для структуры фундаментальной группы:
- оно конечно представлено ;
- проблема слов для Γ имеет положительное решение;
- группа Γ имеет конечную виртуальную когомологическую размерность ;
- он содержит лишь конечное число классов сопряженности элементов конечного порядка ;
- абелевы изоморфной подгруппы группы Γ практически цикличны так что она не содержит подгруппы, Z × Z. ,
Кривизна Риччи ограничена снизу [ править ]
- Теорема Майерса . Если полное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечна.
- Формула Бохнера . Если компактное риманово n -многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превосходит n , причем равенство тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
- Теорема о расщеплении . Если полное n -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. е. геодезическую, минимизирующую расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению вещественной линии и полного ( n -1)-мерного риманова многообразия. многообразие, имеющее неотрицательную кривизну Риччи.
- Неравенство Бишопа–Громова . Объем метрического шара радиуса r в полном n -мерном римановом многообразии с положительной кривизной Риччи не превосходит объема шара того же радиуса r в евклидовом пространстве.
- Теорема Громова о компактности . Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром не более в метрике D предкомпактно Громова -Хаусдорфа .
Отрицательная Риччи кривизна
- компактного Группа изометрий риманова многообразия отрицательной кривизны Риччи дискретна .
- Любое гладкое многообразие размерности n ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. [4] ( Это не относится к поверхностям .)
скалярная кривизна Положительная
- n -мерный тор не допускает метрики положительной скалярной кривизны.
- Если радиус инъективности компактного n -мерного риманова многообразия ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превосходит n ( n -1).
См. также [ править ]
- Форма Вселенной
- Введение в математику общей теории относительности
- Нормальные координаты
- Систолическая геометрия
- Геометрия Римана–Картана в теории Эйнштейна–Картана (мотивация)
- Минимальная поверхность Римана
- Формула Рейли
Примечания [ править ]
- ^ maths.tcd.ie
- ^ Кляйнерт, Хаген (1989), Калибровочные поля в конденсированном состоянии, том II , World Scientific, стр. 743–1440.
- ^ Кляйнерт, Хаген (2008), Многозначные поля в конденсированном веществе, электромагнетизме и гравитации (PDF) , World Scientific, стр. 1–496, Bibcode : 2008mfcm.book.....K
- ^ Иоахим Локамп показал (Анналы математики, 1994), что любое многообразие размерности больше двух допускает метрику отрицательной кривизны Риччи.
Ссылки [ править ]
- Книги
- Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия во второй половине двадцатого века , Серия университетских лекций, том. 17, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-2052-4 . (Содержит исторический обзор и обзор, включая сотни ссылок.)
- Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing ; Переработанное переиздание оригинала 1975 года.
- Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия , Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag .
- Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2 .
- Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4
- От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Лижен Цзи, Атанасе Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 стр. ISBN 978-3-319-60039-0
- Статьи
- Брендл, Саймон ; Шон, Ричард М. (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленной кривизной 1/4», Acta Math , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B , doi : 10.1007/s11511-008- 0022-7 , S2CID 15463483
Внешние ссылки [ править ]
- Риманова геометрия В. А. Топоногова в Математической энциклопедии
- Вайсштейн, Эрик В. , «Риманова геометрия» , MathWorld
