Инвариант Римана

Инварианты Римана — это математические преобразования, выполняемые в системе уравнений сохранения для облегчения ее решения. Инварианты Римана постоянны вдоль характеристических кривых уравнений в частных производных, где они получают название инварианта . Впервые они были получены Бернхардом Риманом в его работах о плоских волнах в газовой динамике.

Математическая теория

Рассмотрим систему уравнений сохранения :

$l_{i}\left(A_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0$

где $A_{ij}$ и $a_{ij}$ являются элементами матриц ​ $\mathbf {A}$ и $\mathbf {a}$ где $l_{i}$ и $b_{i}$ являются элементами векторов . Будет задан вопрос, можно ли переписать это уравнение в виде

$m_{j}\left(\beta {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0$

Для этого вводятся кривые $(x,t)$ плоскость, определяемая векторным полем $(\alpha ,\beta )$. Член в скобках перепишем через полную производную, где $x,t$ параметризуются как $x=X(\eta ),t=T(\eta )$

${\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+X'{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}$

сравнивая последние два уравнения, находим

$\alpha =X'(\eta ),\beta =T'(\eta )$

которое теперь можно записать в характерной форме

$m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}+l_{j}b_{j}=0$

где у нас должны быть условия

$l_{i}A_{ij}=m_{j}T'$

$l_{i}a_{ij}=m_{j}X'$

где $m_{j}$ можно исключить, чтобы получить необходимое условие

$l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij}T')=0$

поэтому для нетривиального решения является определителем

$|A_{ij}X'-a_{ij}T'|=0$

Для инвариантов Римана нас интересует случай, когда матрица $\mathbf {A}$ представляет собой единичную матрицу для формирования

${\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}=0$

обратите внимание, что это однородно из-за вектора $\mathbf {n}$ быть нулевым. В характеристической форме система имеет вид

$l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}=0$ с ${\frac {dx}{dt}}=\lambda$

Где $l$ — левый собственный вектор матрицы $\mathbf {A}$ и $\lambda 's$ – характерные скорости собственных значений матрицы $\mathbf {A}$ которые удовлетворяют

$|A-\lambda \delta _{ij}|=0$

Чтобы упростить эти характеристические уравнения, мы можем сделать преобразования так, что ${\frac {dr}{dt}}=l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}$

какая форма

$\mu l_{i}du_{i}=dr$

Интегрирующий фактор $\mu$ может быть умножено, чтобы помочь интегрировать это. Таким образом, теперь система имеет характерный вид

${\frac {dr}{dt}}=0$ на ${\frac {dx}{dt}}=\lambda _{i}$

что эквивалентно диагональной системе

$r_{t}^{k}+\lambda _{k}r_{x}^{k}=0,$ $k=1,...,N.$

Решение этой системы можно дать обобщенным методом годографа .

Пример

Рассмотрим одномерные уравнения Эйлера, записанные в терминах плотности $\rho$ и скорость $u$ являются

$\rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0$

$u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0$

с $c$ скорость звука вводится из-за предположения об изэнтропии. Запишите эту систему в матричной форме.

$\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)$

где матрица $\mathbf {a}$ Из приведенного выше анализа необходимо найти собственные значения и собственные векторы. Найдено, что собственные значения удовлетворяют

$\lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0$

дать

$\lambda =u\pm c$

и собственные векторы оказываются

$\left({\begin{matrix}1\\{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\-{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right)$

где инварианты Римана равны

$r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,$

$r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,$

( $J_{+}$ и $J_{-}$ — широко используемые обозначения в газовой динамике ). Для идеального газа с постоянной теплоемкостью существует соотношение $c^{2}={\text{const}}\,\gamma \rho ^{\gamma -1}$, где $\gamma$ — коэффициент удельной теплоемкости , дающий инварианты Римана.

$J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}}c,$

$J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}}c,$

дать уравнения

${\frac {\partial J_{+}}{\partial t}}+(u+c){\frac {\partial J_{+}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial J_{-}}{\partial t}}+(u-c){\frac {\partial J_{-}}{\partial x}}=0$

Другими словами,

${\begin{aligned}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}$

где $C_{+}$ и $C_{-}$ являются характеристическими кривыми. Эту проблему можно решить преобразованием годографа . В годографической плоскости, если все характеристики схлопываются в одну кривую, то мы получаем простые волны . Если матричная форма системы PDE имеет вид

$A{\frac {\partial v}{\partial t}}+B{\frac {\partial v}{\partial x}}=0$

Тогда можно будет умножить на обратную матрицу $A^{-1}$ матрицы определитель до тех пор, пока $\mathbf {A}$ не равен нулю.

См. также

• Простая волна