Задача Римана

Задача Римана , названная в честь Бернхарда Римана , представляет собой конкретную задачу начального значения , состоящую из уравнения сохранения вместе с кусочно -постоянными начальными данными, которые имеют единственный разрыв в интересующей области. Задача Римана очень полезна для понимания таких уравнений, как уравнения сохранения Эйлера, поскольку все свойства, такие как ударные волны и волны разрежения, выступают в качестве характеристик в решении. Он также дает точное решение некоторых сложных нелинейных уравнений, таких как уравнения Эйлера .

В численном анализе проблемы Римана естественным образом возникают в методах конечных объемов решения уравнений закона сохранения из-за дискретности сетки. Для этого он широко используется в вычислительной гидродинамике и в вычислительном моделировании магнитной гидродинамики. В этих областях задачи Римана вычисляются с использованием решателей Римана .

Задача Римана в линеаризованной газовой динамике

В качестве простого примера исследуем свойства одномерной задачи Римана в газовой динамике (Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики, стр. 44, пример 2.5)

Начальные условия определяются выражением

{\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x\leq 0\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ for }}x>0

где x = 0 разделяет два разных состояния вместе с линеаризованными уравнениями газовой динамики (вывод см. В газовой динамике ).

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}

где мы можем без ограничения общности предположить $a\geq 0$ .Теперь мы можем переписать приведенные выше уравнения в консервативной форме:

U_{t}+A\cdot U_{x}=0

:

где

U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}

и индекс обозначает частную производную по соответствующей переменной (т. е. x или t).

Собственные значения системы являются характеристиками системы. $\lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a$ . Они дают скорость распространения среды, включая скорость любого разрыва, которая здесь является скоростью звука. Соответствующие собственные векторы

\mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.

Разлагая левое состояние $u_{L}$ в терминах собственных векторов мы получаем для некоторых $\alpha _{1},\alpha _{2}$

U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.

Теперь мы можем решить $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$ :

{\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}

Аналогично

U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}

для

{\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}

Используя это, в области между двумя характеристиками $t=|x|/a$ ,мы получаем окончательное постоянное решение:

U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}

и (кусочно-постоянное) решение во всей области $t>0$ :

U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}

Хотя это простой пример, он все же показывает основные свойства. В частности, характеристики разлагают решение на три области. Скорость распространенияиз этих двух уравнений эквивалентна скорости распространения звука.

Самая быстрая характеристика определяет условие Куранта – Фридрихса – Леви (CFL), которое устанавливает ограничение на максимальный шаг по времени, для которого явный численный метод устойчив. Обычно чем больше уравнений сохранения используется, тем больше характеристик задействуется.

Ссылки

Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Берлин: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8 .
ЛеВек, Рэндалл Дж. (2004). Методы конечного объема для решения гиперболических задач . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81087-6 .

См. также