Риманова связь на поверхности

В математике риманова связь на поверхности или риманово 2-многообразие относится к нескольким внутренним геометрическим структурам, открытым Туллио Леви-Чивита , Эли Картаном и Германом Вейлем в начале двадцатого века: параллельный транспорт , ковариантная производная и форма связи . В нынешнем виде с основными связками эти понятия были сформулированы лишь в 1950-х годах. Классический подход девятнадцатого века к дифференциальной геометрии поверхностей , во многом благодаря Карлу Фридриху Гауссу , был переработан в этой современной структуре, которая обеспечивает естественную основу для классической теории движущейся системы отсчета , а также римановой геометрии высших систем. -мерные римановы многообразия . Этот рассказ задуман как введение в теорию связей .

Исторический обзор

Туллио Леви-Чивита (1873–1941)

Эли Картан (1869–1951)

Герман Вейль (1885–1955)

После классической работы Гаусса по дифференциальной геометрии поверхностей и последующее появление концепции риманова многообразия, инициированной Бернхардом Риманом в середине девятнадцатого века, геометрическое понятие связи , разработанное Туллио Леви-Чивитой , Эли Картаном и Германом Вейлем в начале двадцатого века, представляло собой крупный прогресс в дифференциальной геометрии. . Введение параллельного переноса , ковариантных производных и форм связи дало более концептуальный и единый способ понимания кривизны, позволяя делать обобщения на многообразия более высокой размерности; теперь это стандартный подход в учебниках для выпускников. Это также предоставило важный инструмент для определения новых топологических инвариантов, называемых характеристическими классами, посредством гомоморфизма Черна – Вейля .

Хотя Гаусс был первым, кто изучил дифференциальную геометрию поверхностей в евклидовом пространстве E ³ , только в 1854 году, в «Habilitationsschrift» Римана было введено понятие риманова пространства. Кристоффель представил свои одноименные символы в 1869 году. Тензорное исчисление было разработано Риччи , который опубликовал систематическое исследование Леви-Чивита в 1901 году. Ковариантное дифференцирование тензоров получило геометрическую интерпретацию Леви-Чивита (1917), который ввел понятие параллельного переноса. на поверхностях. Его открытие побудило Вейля и Картана ввести различные понятия связи, в том числе, в частности, аффинную связь. Подход Картана был перефразирован на современный язык главных связок Эресманном , после чего предмет быстро принял свою нынешнюю форму после вкладов Черна , Амброуза и Зингера , Кобаяши , Номидзу , Лихнеровича и других.

Соединения на поверхности можно определить различными способами. Риманова связь или связь Леви-Чивита. возможно, легче всего понять в терминах поднятия векторных полей , рассматриваемых как дифференциальные операторы первого порядка , действующие на функции на многообразии, до дифференциальных операторов на сечениях расслоения фреймов . В случае вложенной поверхности этот подъем очень просто описывается в терминах ортогональной проекции. Действительно, все векторные расслоения, связанные с расслоением фреймов, являются подрасслоениями тривиальных расслоений, расширяющихся до окружающего евклидова пространства; дифференциальный оператор первого порядка всегда можно применить к разделу тривиального пакета, в частности к разделу исходного подрасслоения, хотя полученный раздел может больше не быть разделом подрасслоения. Это можно исправить, проецируя ортогонально.

Риманову связность можно охарактеризовать и абстрактно, независимо от вложения. Уравнения геодезических легко записать в терминах римановой связности, которую локально выражают через символы Кристоффеля. Вдоль кривой поверхности связь определяет дифференциальное уравнение первого порядка в расслоении кадров. Монодромия Леви - этого уравнения определяет параллельный транспорт для соединения - понятие, введенное в этом контексте Чивитой . Это дает эквивалентный, более геометрический способ описания связи как путей подъема в многообразии к путям в связке фреймов. Это формализует классическую теорию «движущейся системы отсчета», любимую французскими авторами. Подъемы петель вокруг точки приводят к образованию группы голономии в этой точке. Гауссова кривизна в точке может быть восстановлена ​​путем параллельного переноса по все более мелким петлям в этой точке. Эквивалентно кривизну можно вычислить непосредственно бесконечно мало в терминах скобок Ли поднятых векторных полей.

Подход Картана, использующий 1-формы связности на расслоении реперов M , дает третий способ понять риманову связность, которую особенно легко описать для вложенной поверхности. Благодаря результату Кобаяши (1956) , позже обобщенному Нарасимханом и Рамананом (1961) , риманова связность на поверхности, вложенной в евклидово пространство E ³ это просто обратный путь под отображением Гаусса римановой связности на S ² . Используя идентификацию S ² с однородным пространством SO(3)/SO(2) 1-форма связности является просто компонентой 1-формы Маурера–Картана на SO(3). Другими словами, все сводится к правильному пониманию 2-сферы.

Ковариантная производная

Основная статья: Ковариантная производная

Векторное поле на торе

Для поверхности M, вложенной в E ³ (или, в более общем смысле, многомерное евклидово пространство), существует несколько эквивалентных определений векторного поля X на M :

• гладкое отображение M в E ³ принятие значений в касательном пространстве в каждой точке;
• вектор скорости локального течения на M ;
• первого порядка дифференциальный оператор без постоянного члена в любой локальной карте на M ;
• производное ​ от C ^∞ ( М ).

Последнее условие означает, что присвоение f ↦ Xf на C ^∞ ( M ) удовлетворяет правилу Лейбница

$X(fg)=(Xf)g+f(Xg).$

Пространство всех векторных полей ${\mathcal {X}}$( M ) образует модуль над C ^∞ ( M ), замкнутый скобкой Ли

$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$

с буквой С ^∞ ( M )-значное скалярное произведение ( X , Y ), которое кодирует риманову метрику на M .

С ${\mathcal {X}}$( M ) является подмодулем C ^∞ ( МНЕ ​ ​ ³ )= С ^∞ ( М ) $\otimes$ И ³ , оператор X $\otimes$ Я определен на ${\mathcal {X}}$( M ), принимая значения в C ^∞ ( МНЕ ​ ​ ³ ).

Пусть P гладкое отображение M в M3 ₎ ( R ) такое, что ( p — — ортогональная проекция E P ³ на касательное пространство в точке p . Таким образом, для единичного вектора нормали n _p в точке p , однозначно определенного с точностью до знака, и v в E ³ проекция задается формулой P ( p )( v ) знак равно v - ( v · n _p ) n _p .

Поточечное умножение на P дает C ^∞ ( M )-модульное отображение C ^∞ ( МНЕ ​ ​ ³ ) на ${\mathcal {X}}$( М ) . Задание

$\nabla _{X}Y=P((X\otimes I)Y)$

определяет оператор $\nabla _{X}$ на ${\mathcal {X}}$( M ) называется ковариантной производной , удовлетворяющей следующим свойствам

1. $\nabla _{X}$ это С ^∞ ( M )-линейный по X
2. $\nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y$ (Правило Лейбница для вывода модуля)
3. $X(Y,Z)=(\nabla _{X}Y,Z)+(Y,\nabla _{X}Z)$ ( совместимость с метрикой )
4. $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ (свойство симметрии).

Первые три свойства утверждают, что $\nabla$ — аффинная связность , совместимая с метрикой, иногда также называемая эрмитовой или метрической связностью . Последнее свойство симметрии гласит, что тензор кручения

$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

тождественно исчезает, так что аффинная связность не имеет кручения .

Задание $\nabla$ однозначно определяется этими четырьмя условиями и называется Риманова связность или связность Леви-Чивита .

Хотя риманова связность была определена с помощью вложения в евклидово пространство, это свойство единственности означает, что на самом деле она является внутренним инвариантом поверхности.

Его существование можно доказать непосредственно для общей поверхности, заметив, что из четырех свойств следует формула Кошуля

$2(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot (Y,Z)+Y\cdot (X,Z)-Z\cdot (X,Y)+([X,Y],Z)+([Z,X],Y)+(X,[Z,Y]),$

так что $\nabla _{X}Y$ зависит только от метрики и единственна. С другой стороны, если это использовать в качестве определения $\nabla _{X}Y$, легко проверить, что четыре вышеуказанных свойства удовлетворяются.

Для u изометрическое вложение M в E ³ , касательные векторы $u_{1}=\partial _{x}$ и $u_{2}=\partial _{y}u$ дать $2\times 2$ матрица $g_{ij}=u_{i}\cdot u_{j}$ Это положительно определенная матрица. Его инверсия также является положительно определенной симметричной с матрицей $g^{ij}$. Обратное также имеет уникальный положительно определенный квадратный корень с матрицей $h_{ij}$. Это обычное дело проверять $e_{i}=\sum _{j}h_{ij}u_{j}$ образуют ортонормированный базис касательного пространства. В этом случае проекция на касательное пространство имеет вид $P(p)(v)=\sum (v,e_{i})e_{i}$ так что

$\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}u=P(p)(\partial _{i}\partial _{i}u)=\sum _{k}(\partial _{i}\partial _{j}u,e_{k})e_{k}=\sum _{k,\ell ,m}(\partial _{i}\partial _{j}u)\cdot (\partial _{\ell }u)h_{k\ell }h_{km}\partial _{m}u=\sum _{\ell ,m}(\partial _{i}\partial _{j}u)\cdot (\partial _{\ell }u)g^{\ell m}\partial _{m}u.$

Таким образом $\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}$, где

$\Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}\sum _{\ell }g^{k\ell }\left(\partial _{i}(\partial _{j}u\cdot \partial _{\ell }u)+\partial _{j}(\partial _{i}u\cdot \partial _{\ell }u)-\partial _{\ell }(\partial _{i}u\cdot \partial _{j}u)\right.$

С $g_{ij}=u_{i}\cdot u_{j}$, это дает другой способ получения символов Кристоффеля :

$\Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}\sum _{\ell }g^{k\ell }(\partial _{i}g_{j\ell }+\partial _{j}g_{i\ell }-\partial _{\ell }g_{ij}).$

Формулы для ковариантной производной также могут быть получены из локальных координат ( x , y ) без использования изометрических вложений. принимая $\partial _{x}$ и ' $\partial _{y}$ как векторные поля, связь $\nabla$ может быть выражено чисто через метрику с использованием символов Кристоффеля:

$\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.$

Чтобы вывести формулу, можно применить формулу Кошуля с X , Y и Z, установленными в значения $\partial _{i}$х; в этом случае все скобки Ли коммутируют.

Оператор кривизны

Смотрите также: тензор римановой кривизны

Тензор кривизны Римана можно определить с помощью ковариантных производных с использованием оператора кривизны :

$R(X,Y)=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}.$

С момента назначения $(X,Y,Z)\mapsto R(X,Y)Z$ это С ^∞ ( M )-линейно по каждой переменной, отсюда следует, что R ( x , Y ) _p является эндоморфизмом в точке p . Для X и Y линейно независимых касательных векторов в точке p ,

$K={(R(X,Y)Y,X) \over (X,X)(Y,Y)-(X,Y)^{2}}$

не зависит от выбора базиса и называется гауссовой кривизной в точке p . Тензор кривизны Римана имеет вид

$R(X,Y,Z,W)=(R(X,Y)Z,W).$

Чтобы проверить независимость K, достаточно заметить, что он не меняется при элементарных преобразованиях, переводящих ( X , Y ) в ( Y , X ), ( λ X , Y ) и ( X + Y , Y ). Это, в свою очередь, зависит от того, что оператор R ( X , Y ) является кососопряженным . Кососопряженность означает, что ( R ( X , Y ) Z , Z ) = 0 для всех Z , что следует из того, что

$(R(X,Y)Z,Z)=X(\nabla _{Y}Z,Z)-Y(\nabla _{X}Z,Z)-(\nabla _{[X,Y]}Z,Z)={1 \over 2}(XY(Z,Z)-YX(Z,Z)-[X,Y](Z,Z))=0.$

Параллельная транспортировка

См. Также: Параллельный транспорт и геодезия.

Параллельный перенос вектора вокруг геодезического треугольника на сфере. Длина переносимого вектора и угол, образуемый им с каждой стороной, остаются постоянными.

Учитывая кривую в евклидовой плоскости и вектор в начальной точке, вектор можно транспортировать вдоль кривой, потребовав, чтобы движущийся вектор оставался параллельным исходному и имел ту же длину, т. е. он должен оставаться постоянным вдоль кривой. Если кривая замкнута, вектор не изменится при повторном достижении начальной точки. Хорошо известно, что это невозможно на общей поверхности, причем сфера является наиболее знакомым случаем. На самом деле обычно невозможно одновременно идентифицировать или «распараллелить» все касательные плоскости такой поверхности: единственными параллелизуемыми замкнутыми поверхностями являются те, которые гомеоморфны тору.

Параллельный транспорт всегда можно определить вдоль кривых на поверхности, используя только метрику на поверхности. Таким образом, касательные плоскости вдоль кривой можно идентифицировать с помощью внутренней геометрии, даже если сама поверхность не является распараллеливаемой.

Уравнения Эйлера для геодезической c ( f ) можно записать более компактно как

$\nabla _{\dot {c}}{\dot {c}}=0.$

Параллельный перенос по геодезическим, «прямым линиям» поверхности, определить легко. Вектор в касательной плоскости транспортируется по геодезической как единственное векторное поле постоянной длины, составляющее постоянный угол с вектором скорости геодезической.

Для общей кривой ее геодезическая кривизна измеряет, насколько кривая отклоняется от геодезической; он определяется как скорость, с которой вектор скорости кривой вращается на поверхности. В свою очередь, геодезическая кривизна определяет, как должны вращаться векторы в касательных плоскостях вдоль кривой во время параллельного переноса.

Векторное поле v ( t ) вдоль кривой единичной скорости c ( t ) с геодезической кривизной k _g ( t ) называется параллельным вдоль кривой, если

• он имеет постоянную длину
• угол θ( t ), который он образует с вектором скорости ${\dot {c}}(t)$ удовлетворяет

${\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)$

Это дает предыдущее правило для параллельного переноса вдоль геодезической, поскольку в этом случае k _g = 0, поэтому угол θ( t ) должен оставаться постоянным. Существование параллельного переноса следует из стандартных теорем существования обыкновенных дифференциальных уравнений . Приведенное выше дифференциальное уравнение можно переписать в терминах ковариантной производной как

$\nabla _{\dot {c}}v=0$

Это уравнение еще раз показывает, что параллельный перенос зависит только от метрической структуры и является внутренним инвариантом поверхности. Параллельный транспорт можно сразу распространить на кусочный C. ¹ кривые.

Когда M — поверхность, вложенная в E ³ , это последнее условие можно записать через проекционнозначную функцию P как

$P(c(t)){\dot {v}}(t)=0$

или другими словами:

Вектор скорости v должен быть нормален к поверхности.

Арнольд предложил что, поскольку параллельный транспорт на геодезическом сегменте легко описать, параллельный транспорт на произвольном C ¹ Кривая может быть построена как предел параллельного переноса на аппроксимирующем семействе кусочных геодезических кривых.

Это уравнение еще раз показывает, что параллельный перенос зависит только от метрической структуры и является внутренним инвариантом поверхности; это другой способ записи обыкновенного дифференциального уравнения, включающего геодезическую кривизну c . Параллельный транспорт можно сразу распространить на кусочный C. ¹ кривые.

Ковариантная производная, в свою очередь, может быть восстановлена ​​из параллельного транспорта. Фактически $\nabla _{X}Y$ можно вычислить в точке p , проведя кривую c через p с касательной X , используя параллельный транспорт для просмотра ограничения Y на c как функцию в касательном пространстве в точке p , а затем взяв производную.

Пакет ортонормированных рамок

См. также: Подключение (основной пакет)

Пусть M — поверхность, вложенная в E ³ . Ориентация , направленный наружу , на поверхности означает, что нормальный единичный вектор n определен в каждой точке поверхности и, следовательно, определитель может быть определен для касательных векторов v и w в этой точке:

$\mathrm {det} ({\mathbf {v} },{\mathbf {w} })=({\mathbf {v} }\times {\mathbf {w} })\cdot {\mathbf {n} },$

используя обычное скалярное тройное произведение на E ³ (сам по себе является определителем).

Упорядоченный базис или шкала v , w в касательном пространстве называется ориентированным, если det( v , w ) положителен.

• Касательное расслоение к M состоит из пар ( p , v ) в M x E ³ такой, что v лежит в касательной плоскости к M в точке p .
• Расслоение реперов F группы M троек ( , e1 , _— e2 ) _e2 с e1 _p , состоит из _точке ориентированным ортонормированным базисом касательной плоскости в p .
• Расслоение кругов M p состоит из пар ( ) , v с || в || = 1. Он идентичен расслоению кадров, потому что для каждого единичного касательного вектора v существует уникальный касательный вектор w с det( v , w ) = 1.

Поскольку группа вращений в плоскости SO(2) действует просто транзитивно на ориентированных ортонормированных реперах в плоскости, отсюда следует, что она действует также на репере или расслоениях окружностей M . Определения касательного расслоения , единичного касательного расслоения и (ориентированного ортонормированного) реперного расслоения F могут быть распространены на произвольные поверхности обычным способом. Аналогичное отождествление происходит и между двумя последними, которые снова становятся основными SO(2)-расслоениями. Другими словами:

Пакет кадров является основным пакетом со структурной группой SO(2).

Существует также соответствующее понятие параллельной транспортировки в настройке пакетов кадров:

Любую непрерывно дифференцируемую кривую из M можно поднять до кривой из F таким образом, что касательное векторное поле поднятой кривой является подъемом касательного векторного поля исходной кривой.

Это утверждение означает, что любой кадр на кривой можно параллельно транспортировать по кривой. В этом и заключается идея «движущихся кадров». Поскольку любой единичный касательный вектор может быть завершен однозначно к ориентированному кадру, параллельная транспортировка касательных векторов подразумевает (и эквивалентна) параллельную транспортировку кадров. Лифт геодезической в ​​M оказывается геодезической в ​​F для метрики Сасаки (см. ниже). Более того, отображение Гаусса M в S ² индуцирует естественное отображение между соответствующими расслоениями фреймов, которое эквивариантно для действий SO(2).

Идея Картана о введении связки кадров в качестве центрального объекта стала естественной кульминацией теории движущихся систем отсчета , разработанной во Франции Дарбу и Гурса . Это также отражало параллельное развитие Альберта Эйнштейна теории относительности . Объектам, появляющимся в формулах Гаусса, таким как символы Кристоффеля, в этой структуре можно дать естественную геометрическую интерпретацию. В отличие от более интуитивно понятного нормального расслоения , которое легко представить как трубчатую окрестность вложенной поверхности в E ³ , пакет фреймов является внутренним инвариантом, который может быть определен независимо от вложения. Когда есть вложение, его также можно визуализировать как подрасслоение евклидова расслоения фреймов E ³ x SO(3), которое само подмногообразием является E ³ x M ₃ ( R ).

Основное соединение

См. также: Форма подключения и Подключение (основной пакет)

Теория связей, согласно Эли Картану , а затем Чарльзу Эресманну , вращается вокруг:

• главное расслоение F (в данном случае расслоение ортонормированных реперов);
• внешнее дифференциальное исчисление дифференциальных форм на F .

Все «естественные» векторные расслоения , связанные с многообразием M , такие как касательное расслоение , кокасательное расслоение или внешние расслоения , могут быть построены из расслоения фреймов с использованием теории представлений структурной группы K = SO(2), компакта матричная группа .

Определение связности, данное Картаном, можно понимать как способ поднятия векторных полей на M до векторных полей на расслоении реперов F, инвариантных относительно действия структурной группы K . Поскольку параллельный транспорт был определен как способ кусочного подъема C ¹ пути из M в F , это автоматически вызывает бесконечно малый способ поднять векторные поля или касательные векторы M в F. из В какой-то точке выберите путь с заданным касательным вектором, а затем сопоставьте его с касательным вектором поднятого пути. (Для векторных полей кривые можно рассматривать как интегральные кривые локального потока.) Таким образом, любое векторное поле X на M можно поднять до векторного поля X * на F, удовлетворяющего условиям

• X * — векторное поле на F ;
• отображение X ↦ X * есть C ^∞ ( М )-линейная;
• X * является K -инвариантом и индуцирует векторное поле X на C ^∞ ( М ) $\subset$ С ^∞ ( Ф ).

Здесь K действует как периодический поток на F , поэтому канонический генератор A его алгебры Ли действует как соответствующее векторное поле, называемое вертикальным векторным полем A *. Из приведенных выше условий следует, что в касательном пространстве произвольной точки из F лифты X * охватывают двумерное подпространство горизонтальных векторов, образуя дополнительное подпространство к вертикальным векторам. Каноническая риманова метрика на F Сигео Сасаки определяется путем ортогонализации горизонтального и вертикального подпространств, придавая каждому подпространству свой естественный внутренний продукт.

Горизонтальные векторные поля допускают следующую характеристику:

• Каждое K -инвариантное горизонтальное векторное поле на F имеет вид X * для единственного векторного поля X на M .

Этот «универсальный лифт» затем немедленно вызывает подъемы векторных расслоений, связанных с F , и, следовательно, позволяет восстановить ковариантную производную и ее обобщение на формы.

Если σ — представление K в конечномерном векторном пространстве V , то ассоциированное векторное расслоение F x _K V над M имеет C ^∞ ( M )-модуль сечений, которые можно отождествить с

$C^{\infty }(E,V)^{K},$

пространство всех гладких функций ξ : F → V , K -эквивариантных в том смысле, что

$\xi (x\cdot g)=\sigma (g^{-1})\xi (x)$

для x ∈ F и g ∈ K. всех

Тождественное представление SO(2) на R ² соответствует касательному расслоению к M .

Ковариантная производная $\nabla _{X}$ определяется на инвариантном сечении ξ по формуле

$\nabla _{X}\xi =(X^{*}\otimes I)\xi .$

Связность на расслоении фреймов также можно описать с помощью K -инвариантных дифференциальных 1-форм на F .

Ортонормированное расслоение реперов F является 3-многообразием . Одним из ключевых фактов о F является то, что он (абсолютно или полностью) распараллеливаем , т.е.
n = dim F имеется n , на F векторных полей , которые образуют базис в каждой точке. В результате ее алгебру Ли легко понять; а двойственные 1-формы на F имеют особенно простую структуру, описываемую структурными уравнениями Картана, обсуждаемыми ниже. известно В общем, из Милнора и Сташеффа (1974) , что любое ориентируемое компактное 3-многообразие распараллеливаемо, хотя доказательство не является элементарным. Однако для связок фреймов это является прямым следствием формализма матриц перехода между локальными тривиализирующими картами.

Пространство p -форм на F обозначается Λ ^п ( Ф ). допускает естественное действие структурной группы K. Он

Учитывая связность на главном расслоении F, соответствующую подъему X ↦ X * векторных полей на M , существует единственная форма связности ω в

$\Lambda ^{1}(F)^{K}$,

пространство K -инвариантных 1-форм на F таких, что

$\omega (X^{*})=0$

для всех векторных полей X на M и

$\omega (A^{*})=1,$

для векторного поля A * на F, соответствующего каноническому A генератору ${\mathfrak {k}}$.

Обратно, лифт X * однозначно характеризуется следующими свойствами:

• X * K -инвариантен и индуцирует X на M ;
• ω( Х *)=0.

Структурные уравнения Картана

См. Также: Форма кривизны.

На ортонормированном расслоении реперов F поверхности M существуют три канонические 1-формы:

• Форма связи ω, инвариантная относительно структурной группы K = SO(2)
• Две тавтологичные 1-формы θ ₁ и θ ₂ , преобразующиеся согласно базисным векторам тождественного представления K

Если π: F $\rightarrow$ M — естественная проекция, 1-формы θ ₁ и θ ₂ определяются формулами

$\theta _{i}(Y)=(d\pi (Y),e_{i})$

где Y — векторное поле на F а e1 _. , e2 _, — касательные векторы к M ортонормированной системы отсчета

Эти 1-формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям , причитающимся в этой формулировке Картану:

$d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2}+h_{1}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2},\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}+h_{2}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2}$

( Первые структурные уравнения )

$d\omega =-(K\circ \pi )\theta _{1}\wedge \theta _{2}$

( Второе структурное уравнение )

где h ₁ и h ₂ — гладкие функции на расслоении реперов F , а K — гладкая функция на M .

В случае риманова 2-многообразия фундаментальную теорему римановой геометрии можно перефразировать в терминах канонических 1-форм Картана:

Теорема. На ориентированном римановом 2-многообразии M существует единственная связность ω на расслоении реперов, удовлетворяющая

$d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2},\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}$

В этом случае ω называется римановой связностью , а K — гауссовой кривизной .

Доказательство элементарно: если ω' — вторая 1-форма связности, то

$d\theta _{1}=\omega ^{\prime }\wedge \theta _{1}+g_{1}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2},\,\,\,\,d\theta _{2}=-\omega ^{\prime }\wedge \theta _{2}+g_{2}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2}$

для функций g _i ; и их разницу можно записать

$\omega ^{\prime }-\omega =f_{1}\theta _{1}+f_{2}\theta _{2}$

для функций f _i . Но тогда

$d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2}+(f_{1}+g_{1})\,\theta _{1}\wedge \theta _{2},\,\,\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}+(f_{2}+g_{2})\,\theta _{1}\wedge \theta _{2}.$

Следовательно

$d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2},\,\,\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}$

тогда и только тогда, когда ж _я = - г _я . Это доказывает и существование, и уникальность.

Голономия и кривизна

Основная статья: Голономия

Параллельная транспортировка в пакете кадров может использоваться, чтобы показать, что гауссова кривизна поверхности M измеряет величину вращения, полученную путем перемещения векторов вокруг небольших кривых в M . Голономия — это именно то явление, которое возникает, когда касательный вектор (или ортонормированная система отсчета) параллельно перемещается по замкнутой кривой. Вектор, достигнутый при замыкании цикла, будет поворотом исходного вектора, т.е. он будет соответствовать элементу группы вращений SO(2), другими словами, углу по модулю 2π. Это голономность петли , поскольку угол не зависит от выбора стартового вектора.

Геометрическая интерпретация скобки Ли двух векторных полей

Эта геометрическая интерпретация кривизны опирается на аналогичную геометрическую скобку Ли двух векторных полей на F . Пусть U ₁ и U ₂ — векторные поля на F с соответствующими локальными потоками α _t и β _t .

• Начиная с точки A, соответствующей x в F , путешествуйте ${\sqrt {s}}$ по интегральной кривой для U ₁ до точки B в точке $\alpha _{\sqrt {s}}(x)$.
• Путешествуйте из B , пройдя ${\sqrt {s}}$ по интегральной кривой для U ₂ до точки С при $\beta _{\sqrt {s}}\alpha _{\sqrt {s}}(x)$.
• Путешествуйте из C , пройдя $-{\sqrt {s}}$ по интегральной кривой для U ₁ до точки D в точке $\alpha _{-{\sqrt {s}}}\beta _{\sqrt {s}}\alpha _{\sqrt {s}}(x)$.
• Путешествуйте из D , пройдя $-{\sqrt {s}}$ по интегральной кривой для U ₂ до точки E в точке $\beta _{-{\sqrt {s}}}\alpha _{-{\sqrt {s}}}\beta _{\sqrt {s}}\alpha _{\sqrt {s}}(x)$.

Обычно конечная точка E будет отличаться от начальной A. точки Как с $\rightarrow$ , конечная точка E проведет кривую через A. 0 Скобка Ли [ U1 _, в U2 _x ] в точке является точности касательным вектором к этой кривой в A. точке

Чтобы применить эту теорию, введем векторные поля U ₁ , U ₂ и V на расслоении реперов F , двойственные 1-формам. θ ₁ , θ ₂ и ω в каждой точке. Таким образом

$\omega (U_{i})=0,\,\theta _{i}(V)=0,\,\omega (V)=1,\,\theta _{i}(U_{j})=\delta _{ij}.$

Более того, V инвариантен относительно K , а U ₁ , U ₂ преобразуются в соответствии с тождественным представлением K .

Структурные уравнения Картана предполагают следующие соотношения в скобках Ли:

$[V,U_{1}]=U_{2},\,\,\,\,[V,U_{2}]=-U_{1},\,\,\,\,[U_{1},U_{2}]=(K\circ \pi )V$

К последнему из этих уравнений можно применить геометрическую интерпретацию скобки Ли. Поскольку ω( U _i )=0, потоки α _t и β _t в F являются лифтами путем параллельного переноса их проекций в M .

Неформально идея заключается в следующем. Начальная точка A и конечная точка E существенно различаются элементом SO (2), то есть углом поворота. Площадь, ограниченная проецируемой траекторией в M, составляет примерно ${\sqrt {s}}\cdot {\sqrt {s}}=s$. Итак, в пределе как s $\rightarrow$ 0, угол поворота, разделенный на эту площадь, стремится к коэффициенту V , т.е. к кривизне.

Это рассуждение уточняется в следующем результате.

Пусть f — диффеоморфизм открытого диска на плоскости в M и ∆ — треугольник в этом диске. Тогда угол голономии петлиобразованное изображением под f периметра треугольника, задаётся интегралом от гауссовой кривизны изображения под f внутренней части треугольника.

В символах угол голономии по модулю 2π определяется выражением

$\theta =\int _{f(\Delta )}K$

где интеграл по форме площади на M .

Этот результат подразумевает связь между гауссовой кривизной, поскольку по мере того, как треугольник сжимается в размере до точки, отношение этого угла к площади стремится к гауссовой кривизне в этой точке. Результат может быть доказан с помощью комбинации теоремы Стокса и структурных уравнений Картана и, в свою очередь, может быть использован для получения обобщения теоремы Гаусса о геодезических треугольниках на более общие треугольники.

Один из других стандартных подходов к кривизне с помощью ковариантной производной. $\nabla _{X}$, определяет разницу

$R(X,Y)=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}$

как поле эндоморфизмов касательного расслоения — тензор кривизны Римана . С $\nabla _{X}$ индуцируется поднятым векторным полем X * на F , использование векторных полей U _i и V и их скобок Ли более или менее эквивалентно этому подходу. Вертикальное векторное поле W = A *, соответствующее каноническому A генератору ${\mathfrak {k}}$ поскольку оно коммутирует с V и удовлетворяет условиям [ U1 ] = _{также может быть добавлено ,} U2 и _W [ W , U2 _, ] = U1 _— .

Пример: 2-сфера

См. Также: Неголономная система и геометрическая фаза.

К дифференциальной геометрии двумерной сферы можно подойти с трех разных точек зрения:

• аналитическая геометрия , поскольку 2-сфера подмногообразием E является ³ ;
• теория групп , поскольку компактная матричная группа SO(3) действует транзитивно на 2-сфере как непрерывная группа симметрий;
• классическая механика , поскольку твердая 2-сфера может катиться по плоскости.

С ² можно отождествить с единичной сферой в E ³

$S^{2}=\{a\in E^{3}\colon \|a\|=1\}.$

Его касательное расслоение T , единичное касательное расслоение U и ориентированное ортонормированное расслоение реперов E задаются формулами

$T=\{(a,v)\colon \|a\|=1,\,a\cdot v=0\},$

$U=\{(a,v)\colon \|a\|=1,\,\|v\|=1,\,a\cdot v=0\},$

$E=\{(a,e_{1},e_{2})\colon (e_{1}\times e_{2})\cdot a=1,\,\|a\|=1,\,\|e_{i}\|=1,\,a\cdot e_{i}=0,\,e_{1}\cdot e_{2}=0\}.$

Отправка карты ( a , v ) в ( a , v , a x v ) позволяет U и E. идентифицировать

Позволять

$Q(a)v=(v\cdot a)a$

— ортогональная проекция на вектор нормали в точке a , так что

$P(a)=I-Q(a)$

— ортогональная проекция на касательное пространство в точке a .

Группа G = SO(3) действует вращением на E ³ уходя из С ² инвариант. Подгруппа стабилизатора K вектора (1,0,0) в E3 _, может быть отождествлена ​​с SO(2) и, следовательно

С ² может быть отождествлен с SO(3)/SO(2).

Это действие распространяется на действие на T , U и E, заставляя G действовать на каждый компонент. G действует транзитивно на S ² и транзитивно по U и E. просто

Действие SO(3) на E коммутирует с действием SO(2) на E , которое вращает кадры

$(e_{1},e_{2})\mapsto (\cos \theta \,e_{1}-\sin \theta \,e_{2},\sin \theta \,e_{1}+\cos \theta \,e_{2}).$

Таким образом, становится главным расслоением со структурной группой K. E Взяв G - орбиту точки ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), пространство E можно отождествить с G . При таком отождествлении действия G и K на E становятся левым и правым переводом. Другими словами:

Ориентированное ортонормированное расслоение реперов S ² может быть отождествлен с SO(3).

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ SO(3) состоит из всех кососимметричных вещественных матриц размером 3x3. присоединенное действие G путем сопряжения на ${\mathfrak {g}}$ воспроизводит действие G на E ³ . Группа SU(2) имеет трехмерную алгебру Ли, состоящую из комплексных косоэрмитовых бесследовых матриц размером 2x2, которая изоморфна ${\mathfrak {g}}$. Присоединенное действие множителей SU(2) осуществляется через его центр, матрицы ± I . При этих отождествлениях SU(2) проявляется как двойное накрытие SO(3), так что SO(3) = SU(2)/± I . С другой стороны, SU(2) диффеоморфна 3-сфере, и при этом отождествлении стандартная риманова метрика на 3-сфере становится по существу единственной биинвариантной римановой метрикой на SU(2). При факторизации по ± I SO(3) можно отождествить с вещественным проективным пространством размерности 3 и само по себе имеет по существу единственную биинвариантную риманову метрику. Геометрическое экспоненциальное отображение для этой метрики в I совпадает с обычной экспоненциальной функцией на матрицах, и поэтому геодезические, проходящие через I, имеют вид exp Xt , где X — кососимметричная матрица. В этом случае метрика Сасаки согласуется с этой биинвариантной метрикой на SO(3).

Действия G на себя, а значит, и на C ^∞ ( G ) путем левого и правого переноса индуцирует бесконечно малые действия ${\mathfrak {g}}$ на С ^∞ ( G ) векторными полями

$\lambda (X)f(g)={d \over dt}f(e^{-Xt}g)|_{t=0},\,\rho (X)f(g)={d \over dt}f(ge^{Xt})|_{t=0}.$

Правое и левоинвариантное векторные поля связаны формулой

$\lambda (X)f(g)=-\rho (g^{-1}Xg)f(g).$

Векторные поля λ( X ) и ρ( X ) коммутируют с правым и левым сдвигом и задают все право- и левоинвариантные векторные поля на G . С С ^∞ ( С ² ) = С ^∞ ( G / K ) можно отождествить с C ^∞ ( Г ) ^К , функция, инвариантная относительно правого перевода на K , операторы λ( X ) также индуцируют векторные поля Π( X ) на S ² .

Пусть A , B , C — стандартный базис ${\mathfrak {g}}$ данный

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\,\,B={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}},\,\,C={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}.$

Их скобки Ли [ X , Y ] = XY – YX задаются формулой

$[A,B]=C,\,\,[B,C]=A,\,\,[C,A]=B.$

Векторные поля λ( A ), λ( B ), λ( C ) образуют базис касательного пространства в каждой точке G .

Аналогично левоинвариантные векторные поля ρ( A ), ρ( B ), ρ( C ) образуют базис касательного пространства в каждой точке G .Пусть α, β, γ — соответствующий двойственный базис левоинвариантных 1-форм на G . Из соотношений скобок Ли следуют уравнения Маурера – Картана

$d\alpha =\beta \wedge \gamma ,\,\,d\beta =\gamma \wedge \alpha ,\,\,d\gamma =\alpha \wedge \beta .$

Это также соответствующие компоненты формы Маурера–Картана.

$\omega _{G}=g^{-1}dg,$

левоинвариантная матричнозначная 1-форма на G , удовлетворяющая соотношению

$d\omega _{G}=-(g^{-1}dg\,g^{-1})dg=-\omega _{G}\wedge \omega _{G}.$

Внутренний продукт на ${\mathfrak {g}}$ определяется

$(X,Y)=\mathrm {Tr} \,XY^{T}$

инвариантен относительно присоединенного действия. Пусть π — ортогональная проекция на подпространство, порожденное A , т. е. на ${\mathfrak {k}}$, алгебра Ли K . Для X в ${\mathfrak {g}}$, подъем векторного поля Π( X ) из C ^∞ ( G / K ) к C ^∞ ( G ) задается формулой

$\Pi (X)^{*}f(g)=-\rho (\pi (g^{-1}Xg))f(g)$

Этот лифт G -эквивариантен на векторных полях вида Π( X ) и имеет единственное расширение на более общие векторные поля на G / K .

Левоинвариантная 1-форма α — это форма связности ω на G, соответствующая этому лифту. Две другие 1-формы в структурных уравнениях Картана имеют вид θ ₁ = β и θ ₂ = γ. Сами структурные уравнения представляют собой не что иное, как уравнения Маурера – Картана. Другими словами;

Структурные уравнения Картана для SO(3)/SO(2) сводятся к уравнениям Маурера–Картана для левоинвариантных 1-форм на SO(3).

Поскольку α — форма связности,

• вертикальные векторные поля на G — это поля вида f · λ( A ) с f в C ^∞ ( Г );
• горизонтальные векторные поля на G — это поля вида f ₁ · λ( B ) + f ₂ · λ( C ) с f _i в C ^∞ ( Г ).

Существование базисных векторных полей λ( A ), λ( B ), λ( C ) показывает, что SO(3) распараллеливаема. Это неверно для SO(3)/SO(2) по теореме о волосатом шаре : S ² не допускает никуда исчезающих векторных полей.

Параллельная транспортировка в пакете кадров означает подъем пути от SO(3)/SO(2) к SO(3). Этого можно достичь путем непосредственного решения матричного обыкновенного дифференциального уравнения («уравнения переноса») вида g _t = A · g , где A ( t ) кососимметрично, а g принимает значения в SO(3).

На самом деле эквивалентно и удобнее поднять путь от SO(3)/O(2) до SO(3). Обратите внимание, что O(2) является нормализатором SO(2) в SO(3), а факторгруппа O(2)/SO(2), так называемая группа Вейля , является группой порядка 2, которая действует на SO. (3)/SO(2) = S ² как антиподальная карта . Фактор SO(3)/O(2) является вещественной проективной плоскостью . Его можно отождествить с пространством проекций Q первого или второго ранга в M3 ₍ R ) . Если принять Q в качестве проекции ранга 2 и положить F = 2 Q − I , то модель поверхности SO(3)/O(2) задается формулойматрицы F, удовлетворяющие F ² = Я , Ф = Ф ^Т и Tr F = 1. Принимая F ₀ = diag (–1,1,1) в качестве базовой точки, каждый F можно записать в виде g F ₀ g ⁻¹ .

Учитывая путь F ( t ), обыкновенное дифференциальное уравнение $g_{t}g^{-1}=F_{t}F/2$, с начальным условием $g(0)=I$, имеет уникальный C ¹ решение g ( t ) со значениями в G дающее подъем за счет параллельного переноса F. ,

Если Q ( t ) — соответствующий путь проекций ранга 2, условия параллельного транспорта таковы:

$Q=gQ_{0}g^{-1},\,\,Q_{0}g^{-1}{\dot {g}}Q_{0}=0$

Установите A = ½ F _t F . Поскольку Ф ² = I и F симметричен, A кососимметричен и удовлетворяет условиям КАК = 0.

Единственное решение g ( t ) обыкновенного дифференциального уравнения

${\dot {g}}=Ag\,$

с начальным условием g (0) = I, гарантированным теоремой Пикара–Линделёфа , должно иметь g ^Т g константа и, следовательно , я , поскольку

${d \over dt}(g^{T}g)={\dot {g}}^{T}g+g^{T}{\dot {g}}=g^{T}(A^{T}+A)g=0.$

Более того,

$F(t)=g(t)F(0)g(t)^{-1}\,$

поскольку г ⁻¹ Fg имеет производную 0:

${d \over dt}(g^{-1}Fg)=-g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}Fg+g^{-1}{\dot {F}}g+g^{-1}F{\dot {g}}=g^{-1}(-{\dot {g}}g^{-1}F+{\dot {F}}+F{\dot {g}}g^{-1})g=0.$

Следовательно, Q = g Q ₀ g ⁻¹ . Условие QAQ=0 влечет за собой Q g _t g ⁻¹ Q = 0 и, следовательно, Q ₀ g ⁻¹ г _т Q ₀ =0.

Существует еще один кинематический способ понимания параллельного переноса и геодезической кривизны с точки зрения «катки без скольжения и скручивания». Хотя она хорошо известна дифференциальным геометрам с начала двадцатого века, она также применялась для решения задач инженерии и робототехники . Рассмотрим 2-сферу как твердое тело в трехмерном пространстве, катящееся без скольжения и скручивания в горизонтальной плоскости. Точка контакта будет описывать кривую в плоскости и на поверхности. В каждой точке контакта различные касательные плоскости сферы можно отождествить с самой горизонтальной плоскостью и, следовательно, друг с другом.

• Обычная кривизна плоской кривой — это геодезическая кривизна кривой, проведенной на сфере.
• Такое отождествление касательных плоскостей вдоль кривой соответствует параллельному транспорту.

Это особенно легко представить на примере сферы: именно так можно катить шарик по идеально ровной поверхности стола.

Роли плоскости и сферы можно поменять местами, чтобы обеспечить альтернативную, но эквивалентную точку зрения. Сфера считается неподвижной, и плоскость должна катиться, не скользя и не закручиваясь, по заданной кривой на сфере.

Закладные поверхности

Когда поверхность M вложена в E ³ , отображение Гаусса из M $\rightarrow$ С ² продолжается до SO(2)-эквивариантного отображения между расслоениями ортонормированных реперов E $\rightarrow$ ТАК (3). Действительно, триада, состоящая из касательной рамки и вектора нормали, дает элемент SO(3).

В 1956 году Кобаяши доказал, что:

При расширенном отображении Гаусса связность на SO(3) индуцирует связность E. на

Это означает, что формы ω, θ ₁ и θ ₂ на E получены путем восстановления форм на SO(3); и что подъем пути от M до E может быть достигнут путем отображения пути в 2-сферу, подъема пути до SO (3), а затем возврата подъема к E . Таким образом, для вложенных поверхностей 2-сфера с главным соединением на ее каркасном расслоении обеспечивает «универсальную модель», прототип универсальных расслоений, обсуждаемых в Нарасимхане и Раманане (1961) .

Говоря более конкретно, это позволяет явно описать параллельный транспорт с помощью уравнения переноса. Параллельная транспортировка вдоль кривой c ( t ), где t принимает значения в [0,1], начиная с касательной к касательному вектору v0 _, также сводится к нахождению карты v ( t ) от [0,1] к R ³ такой, что

• v ( t ) — касательный вектор к M в точке c ( t ) с v (0) = v ₀ .
• вектор скорости ${\dot {v}}(t)$ нормален к поверхности в точке c ( t ), т.е. P ( c ( t )) v ( t )=0.

Это всегда имеет единственное решение, называемое параллельным переносом v ₀ вдоль c .

Существование параллельного транспорта можно вывести с помощью аналитического метода, описанного для SO(3)/SO(2), который от пути к проекциям второго ранга Q ( t ), начинающийся с Q _0, создал путь g ( t ) в SO(3), начинающийся с I, такой, что

$Q=gQ_{0}g^{-1},\,\,\,Q_{0}g^{-1}{\dot {g}}Q_{0}=0.$

g ( t ) — единственное решение уравнения переноса

г т г −1 = ½ F т F

с g (0) = I и F = 2 Q − I. Применяя это с Q ( t ) = P ( c ( t )), отсюда следует, что для данного касательного вектора v ₀ в касательном пространстве к M в точке c ( 0), вектор v ( t ) = g ( t ) v ₀ лежит в касательном пространстве к M в точке c ( t ) и удовлетворяет уравнению

$P(c(t)){\dot {v}}(t)=0.$

Следовательно, это в точности параллельный перенос v вдоль кривой c . В этом случае длина вектора v ( t ) постоянна. берется другой начальный касательный вектор u ₀ В более общем смысле, если вместо v ₀ , скалярное произведение ( v ( t ), u ( t )) является постоянным. Таким образом, касательные пространства вдоль кривой c ( t ) канонически идентифицируются как пространства внутреннего продукта посредством параллельного переноса, так что параллельный перенос дает изометрию между касательными плоскостями. Условие на вектор скорости ${\dot {v}}(t)$можно переписать через ковариантную производную как

$\nabla _{\dot {c}}v=0$

определяющее уравнение параллельного транспорта.

Кинематический в способ понимания параллельного переноса сферы одинаково хорошо применим к любой замкнутой поверхности E. ³ рассматривается как твердое тело в трехмерном пространстве, катящееся без скольжения и скручивания по горизонтальной плоскости. Точка контакта будет описывать кривую в плоскости и на поверхности. Что касается сферы, то обычная кривизна плоской кривой равна геодезической кривизне кривой, проведенной на поверхности.

Этот геометрический способ рассмотрения параллельного транспорта также может быть непосредственно выражен на языке геометрии. Огибающая представляет собой касательных плоскостей к М вдоль кривой с поверхность с исчезающей гауссовой кривизной, которая по теореме Миндинга должна быть локально изометрична евклидовой плоскости. Эта идентификация позволяет определить параллельный транспорт, поскольку в евклидовой плоскости все касательные плоскости отождествляются с самим пространством.

Существует еще один простой способ построения формы связности ω, используя вложение M в E. ³ .

Касательные векторы e ₁ и e ₂ рамки на M определяют гладкие функции из E со значениями в R ³ , поэтому каждый дает 3-вектор функций и, в частности, de ₁ является 3-вектором 1-форм на E .

Форма подключения задается

$\omega =de_{1}\cdot e_{2}$

взяв обычное скалярное произведение на 3-векторах.

Уравнения Гаусса – Кодацци

См. Также: уравнения Гаусса – Кодацци.

Когда M встроено в E ³ две другие 1-формы ψ и χ можно определить на расслоении реперов E с помощью оператора формы. Действительно, отображение Гаусса индуцирует K -эквивариантное отображение E в SO(3), расслоение фреймов S ² = ТАК(3)/ТАК(2). Форма ω — образ одной из трех правоинвариантных форм Маурера–Картана на SO(3). 1-формы ψ и χ определяются как модели двух других.

Эти 1-формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

$\psi \wedge \theta _{1}+\chi \wedge \theta _{2}=0$

( уравнение симметрии )

$d\omega =\psi \wedge \chi$

( уравнение Гаусса )

$d\psi =\chi \wedge \omega ,\,\,d\chi =\omega \wedge \psi$

( уравнения Кодацци )

Уравнения Гаусса –Кодацци для χ, ψ и ω непосредственно следуют из уравнений Маурера–Картана для трех правоинвариантных 1-форм на SO(3).

Руководство по чтению

Один из наиболее полных вводных обзоров этой темы, описывающий историческое развитие от до Гаусса до наших дней, принадлежит Бергеру (2004) . на уровне аспирантуры Исследования римановой связи можно найти у Сингера и Торпа (1967) , ду Кармо (1976) и О'Нила (1997) . Доступное введение в подход Картана к связям с использованием движущихся систем отсчета можно найти в работах Ivey & Landsberg (2003) и Sharpe (1997) . Классические трактовки главных расслоений и связностей можно найти у Номидзу (1956) , Кобаяши и Номидзу (1963) , Штернберга (1964) и главы XX Дьедонне (1974) .

См. также

• Дифференциальная геометрия поверхностей

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1983), Лекции по группам лжи , University of Chicago Press, ISBN  0226005305
• Александров, А.Д. ; Залгаллер, В.А. (1967), Внутренняя геометрия поверхностей , Переводы математических монографий, вып. 15, Американское математическое общество
• Арнольд, VI (1989), Математические методы классической механики , Springer-Verlag, ISBN  0-387-96890-3
• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии , Springer-Verlag, ISBN  3-540-65317-1
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, ISBN  978-0-915692-34-7 ; перевод из 2-го издания « Уроков геометрии римановых пространств» (1951) Джеймса Глейзбрука.
• Картан, Эли (2001), Риманова геометрия в ортогональной системе координат (из лекций, прочитанных Э. Картаном в Сорбонне в 1926–27 гг.) , World Scientific, ISBN  9810247478 , перевод с русского В.В. Гольдберга с предисловием С.С. Черна .
• Шоке-Брюа, Ивонн ; Девитт-Моретт, Сесиль; Диллард-Блейк, Маргарет (1982), Анализ, многообразия и физика. Часть I: Основы , Северная Голландия, ISBN  0-444-82647-5
• Дарбу, Гастон (1890), Уроки общей теории поверхностей , Готье-Виллар Том I , Том II , Том III , Том IV
• Дьедонне, Жан (1974). «XX. Основные связи и риманова геометрия». Трактат об анализе . Чистая и прикладная математика. Том. IV. Перевод И. Г. Макдональда . Академическая пресса . ISBN  0-12-215504-1 . МР   0362065 .
• ду Карму, Манфредо П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл, ISBN  0-13-212589-7
• ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия , Биркхойзер, ISBN  0-8176-3490-8
• Драйвер, Брюс К. (1995), Учебник по римановой геометрии и стохастическому анализу пространств путей (PDF) , Лекции, прочитанные в ETH, Цюрих
• Эйзенхарт, Лютер П. (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей , Дувр, ISBN  0486438201 Полный текст 1909 года (права защищены)
• Эйзенхарт, Лютер П. (1947), Введение в дифференциальную геометрию с использованием тензорного исчисления , Princeton Mathematical Series, vol. 3, Издательство Принстонского университета
• Эйлер, Леонхард (1760), «Исследование кривизны поверхностей» , Мемуары Берлинской академии наук , 16 (опубликовано в 1767 году): 119–143 .
• Эйлер, Леонард (1771), «О твердых телах, поверхность которых можно разложить в плоскость» , Новые комментарии Петрополитанской академии наук , 16 : 3–34 .
• Гаусс, Карл Фридрих (1827 г.), Общие исследования изогнутых поверхностей , Нью-Йорк: Raven Press (опубликовано в 1965 г.), перевод AMHiltebeitel и JCMorehead; «Общие дискуссии относительно криволинейных поверхностей» , Труды Королевского общества наук Геттингена, Vol. 6 (1827), с. 99–146.
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica , CRC Press, ISBN  1584884487
• Хан, Цин; Хун, Цзя-Син (2006), Изометрическое вложение римановых многообразий в евклидовы пространства , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4071-1
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN  0-12-338460-5
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-1087-8 .
• Айви, Томас А.; Ландсберг, Дж. М. (2003), Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся систем отсчета и внешних систем , Аспирантура по математике, том. 61, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-3375-8
• Якобовиц, Ховард (1972), «Локальные изометрические вложения поверхностей в евклидово пространство четырех» , , Университет Индианы. Математика. J. , 21 (3): 249–254, doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019.
• Клингенберг, Вильгельм; Сасаки, Сигео (1975), «О расслоении касательных сфер двумерной сферы», Tôhoku Mathematical Journal , 27 (1): 49–56, doi : 10.2748/tmj/1178241033
• Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия , исследования де Грюйтера по математике, том. 1, де Грюйтер, ISBN  3-11-008673-5
• Кобаяши, Шочичи (1956), «Индуцированные связи и вложенное риманово пространство», Nagoya Math. Дж. , 10 : 15–25, doi : 10.1017/S0027763000000052 , S2CID   251061784
• Кобаяши, Сётичи (1957), «Теория связей», Анналы чистой и прикладной математики , серия 4, 43 (1): 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID   120972987 ,
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том. Я , Wiley Interscience, ISBN  0470496487
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии, Том. II , Wiley Interscience, ISBN  0470496487
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN  0486667219
• Леви-Чивита, Туллио (1917), «Понятие параллелизма в любом многообразии» , Ренд. Цирк. Мэтт. Палермо , 42 (1): 173–205, номер документа : 10.1007/BF03014898 , S2CID   122088291 .
• Милнор, Джон В. (1963), Теория Морса , Анналы математических исследований, том. 51, Издательство Принстонского университета, ISBN  0691080089
• Милнор, Джон; Сташефф, Джеймс (1974). Классы характеристик (PDF) . Анналы математических исследований. Том. 76. Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08122-0 .
• Нарасимхан, MS ; Раманан, С. (1961), «Существование универсальных связей», Amer. Дж. Математика. , 83 (3), Издательство Университета Джонса Хопкинса: 563–572, doi : 10.2307/2372896 , hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR   2372896
• Нарасимхан, MS ; Рамадас, Т.Р. (1979), "Геометрия калибровочных полей SU (2)", Comm. Математика. Физ. , 67 (2): 121–136, Bibcode : 1979CMaPh..67..121N , doi : 10.1007/BF01221361 , S2CID   118840198
• Нельсон, Эдвард (1969), Темы динамики - I: Потоки , Математические заметки, Princeton University Press
• Номидзу, Кацуми (1956). Группы Ли и дифференциальная геометрия . Математическое общество Японии .
• О'Нил, Барретт (1997), Элементарная дифференциальная геометрия , Academic Press, ISBN  0-12-526745-2
• Петерсен, Питер (2016), Риманова геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 171 (3-е изд.), Springer, ISBN  9783319266541
• Позняк Е.Г. (1973), "Изометрическое вложение двумерных римановых метрик в евклидовы пространства", Изв. матем. Опросы , 28 (4): 47–77, doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 , S2CID   250883227
• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , серия Springer по математике для студентов, Springer-Verlag, ISBN  1-85233-152-6
• Сасаки, Сигео (1958), «О дифференциальной геометрии касательных расслоений римановых многообразий», Tôhoku Mathematical Journal , 10 (3): 338–354, doi : 10.2748/tmj/1178244668
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, ISBN  0387947329
• Певец, Исадор М .; Торп, Джон А. (1967), Конспекты лекций по элементарной топологии и геометрии , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90202-3
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл
• Струик, Дирк Ян (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии: второе издание , Дувр, ISBN  0486656098
• Топоногов, Виктор А. (2005), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство , Springer-Verlag, ISBN  0817643842
• Валирон, Жорж (1986), Классическая дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Math Sci Press, ISBN  0915692392 Полный текст книги
• Варадараджан, В.С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Springer-Verlag, ISBN  0387909699
• Уилсон, Пелхэм (2008), Искривленное пространство: от классической геометрии к элементарной дифференциальной геометрии , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-71390-0