Полная абсолютная кривизна
В дифференциальной геометрии общая абсолютная кривизна представляет гладкой кривой собой число, определяемое путем интегрирования значения кривизны абсолютного вокруг кривой. Это безразмерная величина , которая инвариантна относительно преобразований подобия кривой и которую можно использовать для измерения того, насколько кривая далека от выпуклой кривой . [1]
Если кривая параметризована длиной дуги , полную абсолютную кривизну можно выразить формулой
где s — параметр длины дуги, а κ — кривизна.Это почти то же самое, что формула для полной кривизны , но отличается тем, что вместо знаковой кривизны используется абсолютное значение. [2]
Поскольку полная кривизна простой замкнутой кривой в евклидовой плоскости всегда равна ровно 2 π , полная абсолютная кривизна простой замкнутой кривой также всегда не менее 2 π . Оно равно ровно 2 π для выпуклой кривой и больше 2 π, если кривая имеет какие-либо невыпуклости. [2] Когда гладкая простая замкнутая кривая подвергается потоку, сокращающему кривую , ее полная абсолютная кривизна монотонно уменьшается до тех пор, пока кривая не станет выпуклой, после чего ее полная абсолютная кривизна остается фиксированной на уровне 2 π, пока кривая не схлопнется до точки. [3] [4]
Полная абсолютная кривизна также может быть определена для кривых в трехмерном евклидовом пространстве . Опять же, оно не менее 2 π (это теорема Фенхеля ), но может быть и больше. Если пространственная кривая окружена сферой, общая абсолютная кривизна сферы равна ожидаемому значению центральной проекции кривой на плоскость, касающуюся случайной точки сферы. [5] Согласно теореме Фари–Милнора , каждый нетривиальный гладкий узел должен иметь полную абсолютную кривизну больше 4 π . [2]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Брук, Александр; Брукштейн, Альфред М.; Киммел, Рон (2005), «О мерах справедливости, инвариантных по сходству», Киммел, Рон ; Сочен, Нир А.; Вайкерт, Иоахим (ред.), Масштабное пространство и методы PDE в компьютерном зрении: 5-я Международная конференция, Scale-Space 2005, Хофгайсмар, Германия, 7–9 апреля 2005 г., Труды , конспекты лекций по информатике, том. 3459, Springer-Verlag, стр. 456–467, номер документа : 10.1007/11408031_39 .
- ^ Jump up to: а б с Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I , Северная Голландия, Амстердам, стр. 187–418, номер документа : 10.1016/S1874-5741(00)80006-0 , MR 1736854 . См., в частности, раздел 21.1 «Индекс вращения и общая кривизна кривой», стр. 359–360 .
- ^ Бракке, Кеннет А. (1978), Движение поверхности по ее средней кривизне (PDF) , Mathematical Notes, vol. 20, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, Приложение B, Предложение 2, стр. 20. 230, ISBN 0-691-08204-9 , МР 0485012 .
- ^ Чжоу, Кай-Сен; Чжу, Си-Пин (2001), Проблема сокращения кривой , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, лемма 5.5, стр. 130, и раздел 6.1, стр. 144–147, doi : 10.1201/9781420035704 , ISBN. 1-58488-213-1 , МР 1888641 .
- ^ Банчофф, Томас Ф. (1970), «Полная центральная кривизна кривых», Duke Mathematical Journal , 37 (2): 281–289, doi : 10.1215/S0012-7094-70-03736-1 , MR 0259815 .