Теорема Фенхеля

Теорема Фенхеля
Тип	Теорема
Поле	Дифференциальная геометрия
Заявление	Гладкая кривая в замкнутом пространстве имеет полную абсолютную кривизну. , с равенством тогда и только тогда, когда это выпуклая плоская кривая
Впервые заявил	Вернер Фенхель
Первое доказательство в	1929

В дифференциальной геометрии теорема Фенхеля представляет собой неравенство относительно полной абсолютной кривизны замкнутой гладкой пространственной кривой , утверждающее, что она всегда не менее $2\pi$ . Эквивалентно, средняя кривизна не менее $2\pi /L$ , где $L$ это длина кривой. Единственные кривые этого типа, полная абсолютная кривизна которых равна $2\pi$ и средняя кривизна которого равна $2\pi /L$ — плоские выпуклые кривые . Теорема названа в честь Вернера Фенхеля , опубликовавшего ее в 1929 году.

Теорема Фенхеля усиливается теоремой Фари-Милнора , которая гласит, что если замкнутая гладкая простая пространственная кривая нетривиально завязана , то полная абсолютная кривизна больше $4π$ .

Доказательство

Учитывая замкнутую гладкую кривую $\alpha :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}$ с единичной скоростью, скорость $\gamma ={\dot {\alpha }}:[0,L]\to \mathbb {S} ^{2}$ также является замкнутой гладкой кривой (называемой касательной индикатрисой ). Полная абсолютная кривизна – это его длина $l(\gamma )$ .

Кривая $\gamma$ не лежит в открытом полушарии. Если так, то есть $v\in \mathbb {S} ^{2}$ такой, что $\gamma \cdot v>0$ , так $\textstyle 0=(\alpha (1)-\alpha (0))\cdot v=\int _{0}^{L}\gamma (t)\cdot v\,\mathrm {d} t>0$ , противоречие. Это также показывает, что если $\gamma$ лежит в закрытом полушарии, то $\gamma \cdot v\equiv 0$ , так $\alpha$ представляет собой плоскую кривую.

Рассмотрим точку $\gamma (T)$ такие, что кривые $\gamma ([0,T])$ и $\gamma ([T,L])$ иметь одинаковую длину. Вращая сферу, мы можем предположить $\gamma (0)$ и $\gamma (T)$ симметричны относительно оси, проходящей через полюса. Согласно предыдущему абзацу, хотя бы одна из двух кривых $\gamma ([0,T])$ и $\gamma ([T,L])$ пересекается с экватором в какой-то точке $p$ . Обозначим эту кривую через $\gamma _{0}$ . Затем $l(\gamma )=2l(\gamma _{0})$ .

Мы отражаем $\gamma _{0}$ через самолет через $\gamma (0)$ , $\gamma (T)$ , и северный полюс, образующие замкнутую кривую $\gamma _{1}$ содержащие противоположные точки $\pm p$ , с длиной $l(\gamma _{1})=2l(\gamma _{0})$ . Кривая, соединяющая $\pm p$ имеет длину как минимум $\pi$ , что представляет собой длину большого полукруга между $\pm p$ . Так $l(\gamma _{1})\geq 2\pi$ , и если имеет место равенство, то $\gamma _{0}$ не пересекает экватор.

Поэтому, $l(\gamma )=2l(\gamma _{0})=l(\gamma _{1})\geq 2\pi$ , и если имеет место равенство, то $\gamma$ лежит в закрытом полушарии и, следовательно, $\alpha$ представляет собой плоскую кривую.

Ссылки

ду Карму, Манфредо П. (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (пересмотренное и обновленное второе издание оригинального издания 1976 г.). Минеола, штат Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . МР 3837152 . Збл 1352.53002 .
Фенхель, Вернер (1929). «О кривизне и извилистости кривых замкнутого пространства» . Математические анналы (на немецком языке). 101 (1): 238–252. дои : 10.1007/bf01454836 . ЖФМ 55.0394.06 . МР1512528 . S2CID 119908321 .
Фенхель, Вернер (1951). «О дифференциальной геометрии кривых замкнутого пространства» . Бюллетень Американского математического общества . 57 (1): 44–54. дои : 10.1090/S0002-9904-1951-09440-9 . МР 0040040 . Збл 0042.40006 . ; особенно см. уравнение 13, стр. 49.
О'Нил, Барретт (2006). Элементарная дифференциальная геометрия (пересмотренное второе издание оригинального издания 1966 г.). Амстердам: Академическая пресса . дои : 10.1016/C2009-0-05241-6 . ISBN 978-0-12-088735-4 . МР 2351345 . Збл 1208.53003 .
Спивак, Михаил (1999). Полное введение в дифференциальную геометрию. Том. III (Третье издание оригинальной редакции 1975 г.). Publish or Perish, Inc. Уилмингтон, Делавэр: ISBN 0-914098-72-1 . МР 0532832 . Збл 1213.53001 .
Томас Ф. Банчофф . «Дифференциальная геометрия» . Математический факультет Университета Брауна . Проверено 26 мая 2024 г. Теорема Фенхеля. Теорема: Полная кривизна регулярной кривой C в замкнутом пространстве больше или равна 2π.
Томас Ф. Банчофф . «2. Кривизна и теорема Фенхеля» . Математический факультет Университета Брауна . Проверено 26 мая 2024 г.