Теорема Фари–Милнора

В математической теории узлов теорема Фари -Милнора , названная в честь Иштвана Фари и Джона Милнора , утверждает, что трехмерные гладкие кривые с небольшой общей кривизной должны быть развязаны . Теорема была независимо доказана Фари в 1949 году и Милнором в 1950 году. Позже было показано, что она следует из существования квадратиссектантов ( Денн 2004 ).

Заявление

Если K — любая замкнутая кривая в евклидовом пространстве , достаточно гладкая , чтобы определять кривизну κ в каждой из ее точек, и если полная абсолютная кривизна меньше или равна 4π, то K — неузел , т. е.:

{\text{If}}\ \oint _{K}|\kappa (s)|\,\mathrm {d} s\leq 4\pi ,\ {\text{then}}\ K\ {\text{is an unknot}}.

Противоположение говорит нам , что если K не является узелком, т. е. K не изотопен кругу, то общая кривизна будет строго больше 4π. Обратите внимание, что общая кривизна, меньшая или равная 4 $π,$ является просто достаточным условием для того, чтобы K был неузлом; это не обязательное условие . Другими словами, хотя все узлы с общей кривизной меньше или равной 4π являются узлами, существуют узлы с кривизной строго больше 4π.

Обобщения на негладкие кривые

Для замкнутых многоугольных цепей тот же результат справедлив, но с заменой интеграла кривизны суммой углов между соседними сегментами цепи. Аппроксимируя произвольные кривые цепочками ломаных, можно распространить определение полной кривизны на более крупные классы кривых, внутри которых также справедлива теорема Фари-Милнора ( Милнор 1950 , Салливан 2008 ).

Ссылки

Денн, Элизабет Джейн (2004), Знак чередования квадратиссансов узлов , доктор философии. диссертация, Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн, arXiv : math/0510561 , Бибкод : 2005math.....10561D .
Фари И. (1949), «О полной кривизне левой кривой, образующей узел» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 77 : 128–138 .
Милнор, Дж. В. (1950), «О полной кривизне узлов», Annals of Mathematics , 52 (2): 248–257, doi : 10.2307/1969467 .
Салливан, Джон М. (2008), «Кривые конечной полной кривизны», Дискретная дифференциальная геометрия , Oberwolfach Semin., vol. 38, Биркхойзер, Базель, стр. 137–161, arXiv : math/0606007 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_7 , MR 2405664 .

Внешние ссылки

Феннер, Стивен А. (1990), Общая кривизна узла (длинный) . Феннер описывает геометрическое доказательство теоремы и связанной с ней теоремы о том, что любая гладкая замкнутая кривая имеет полную кривизну не менее 2π.