Полная кривизна

При математическом исследовании дифференциальной геометрии кривых погруженной полная кривизна плоской длине кривой представляет собой интеграл от кривизны вдоль кривой, взятый по дуги :

\int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.

Общая кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2 $π$ , где N называется индексом кривой или числом поворота - это число витков единичного касательного вектора вокруг начала координат или, что то же самое, степень отображения. единичному кругу, присваивающему каждой точке кривой единичный вектор скорости в этой точке. Эта карта аналогична карте Гаусса для поверхностей.

Сравнение с поверхностями [ править ]

Эта связь между локальным геометрическим инвариантом, кривизной, и глобальным топологическим инвариантом , индексом, характерна для результатов в многомерной римановой геометрии, таких как теорема Гаусса-Бонне .

Инвариантность [ править ]

Согласно теореме Уитни-Граустейна , полная кривизна инвариантна относительно регулярной гомотопии кривой: это степень отображения Гаусса . Однако он не инвариантен относительно гомотопии: прохождение через излом (касп) меняет число поворотов на 1.

Напротив, число витков вокруг точки инвариантно относительно гомотопий, которые не проходят через точку, и изменяется на 1, если гомотопия проходит через точку.

Обобщения [ править ]

Конечным обобщением является то, что внешние углы треугольника или, в более общем смысле, любого простого многоугольника , в сумме составляют 360 ° = 2 $π$ радиан, что соответствует числу поворотов, равному 1. В более общем смысле, многоугольные цепи , которые не возвращаются к себе ( нет углов 180°) имеют четко выраженную общую кривизну, что интерпретирует кривизну как точечные массы под углами.

Полная абсолютная кривизна кривой определяется почти так же, как и полная кривизна, но с использованием абсолютного значения кривизны вместо знаковой кривизны.Оно составляет 2 $π$ для выпуклых кривых на плоскости и больше для невыпуклых кривых. ^[1] Его также можно обобщить на кривые в пространствах более высоких размерностей, выровняв касательную, которую можно развернуть к $γ$ , в плоскость и вычислив полную кривизну полученной кривой. То есть полная кривизна кривой в $n$ -мерном пространстве равна

\int _{a}^{b}\left|\gamma ''(s)\right|\operatorname {sgn} \kappa _{n-1}(s)\,ds

где $κ n -1$ — последняя кривизна Френе ( кручение кривой), а $Signum$ — сигнум-функция .

Минимальная общая абсолютная кривизна любой трехмерной кривой, представляющей данный узел, является инвариантом узла. Этот инвариант имеет значение 2 $π$ для узла, но по теореме Фари–Милнора оно составляет не менее 4 $π$ для любого другого узла. ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I , Северная Голландия, Амстердам, стр. 187–418, номер документа : 10.1016/S1874-5741(00)80006-0 , MR 1736854 . См., в частности, раздел 21.1 «Индекс вращения и общая кривизна кривой», стр. 359–360 .
^ Милнор, Джон В. (1950), «О полной кривизне узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 52 (2): 248–257, doi : 10.2307/1969467 , JSTOR 1969467

Дальнейшее чтение [ править ]

Кунель, Вольфганг (2005), Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3988-1 (перевод Брюса Ханта)
Салливан, Джон М. (2008), «Кривые конечной полной кривизны», Дискретная дифференциальная геометрия , Oberwolfach Semin., vol. 38, Биркхойзер, Базель, стр. 137–161, arXiv : math/0606007 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_7 , MR 2405664 , S2CID 117955587

[1] Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I , Северная Голландия, Амстердам, стр. 187–418, номер документа : 10.1016/S1874-5741(00)80006-0 , MR 1736854 . См., в частности, раздел 21.1 «Индекс вращения и общая кривизна кривой», стр. 359–360 .

[2] Милнор, Джон В. (1950), «О полной кривизне узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 52 (2): 248–257, doi : 10.2307/1969467 , JSTOR 1969467

[1]

[2]