Функция знака

В математике функция знака или функция Signum (от Signum , латинского слова «знак») — это функция , которая имеет значение $-1$ , $+1$ или $0$ в зависимости от того, является ли знак данного действительного числа положительным или отрицательным, или данное число само по себе равно нулю. В математической записи знаковую функцию часто представляют как $\operatorname {sgn} x$ или $\operatorname {sgn}(x)$ . ^[1]

Определение

Signum-функция действительного числа $x$ является кусочной функцией, которая определяется следующим образом: ^[1] $\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

Закон трихотомии гласит, что каждое действительное число должно быть положительным, отрицательным или нулевым.Функция Signum обозначает, в какую уникальную категорию попадает число, сопоставляя его с одним из значений $-1$ , $+1$ или $0,$ которые затем можно использовать в математических выражениях или дальнейших вычислениях.

Например: ${\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}$

Основные свойства

Любое действительное число можно выразить как произведение его абсолютного значения и его знаковой функции: $x=|x|\operatorname {sgn} x\,.$

Отсюда следует, что всякий раз, когда $x$ не равно 0, у нас есть $\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$

Аналогично для любого действительного числа $x$ , $|x|=x\operatorname {sgn} x\,.$ Мы также можем быть уверены в том, что: $\operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,$ и так $\operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.$

Некоторые алгебраические тождества

Сигнум также можно записать с использованием скобок Айверсона : $\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.$

Signum также можно записать с использованием функций пола и абсолютного значения: $\operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.$ Если $0^{0}$ принимается равным 1, то для всех действительных чисел сигнум также можно записать как $\operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.$

Свойства в математическом анализе

Разрыв на нуле

Хотя знаковая функция принимает значение $-1,$ когда $x$ отрицательно, обведенная точка $(0, -1)$ на графике $\operatorname {sgn} x$ указывает на то, что это не тот случай, когда $x=0$ . Вместо этого значение резко скачет к сплошной точке в $(0, 0)$ , где $\operatorname {sgn}(0)=0$ . Затем происходит аналогичный переход к $\operatorname {sgn}(x)=+1$ когда $x$ является положительным. Любой скачок наглядно демонстрирует, что знаковая функция $\operatorname {sgn} x$ разрывен в нуле, хотя он непрерывен в любой точке, где $x$ является либо положительным, либо отрицательным.

Эти наблюдения подтверждаются любым из различных эквивалентных формальных определений непрерывности в математическом анализе . Функция $f(x)$ , такой как $\operatorname {sgn}(x),$ непрерывен в точке $x=a$ если значение $f(a)$ может быть сколь угодно близко аппроксимировано последовательностью значений $f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,$ где $a_{n}$ составить любую бесконечную последовательность, которая становится сколь угодно близкой к $a$ как $n$ становится достаточно большим. В обозначениях математических пределов непрерывность $f$ в $a$ требует, чтобы $f(a_{n})\to f(a)$ как $n\to \infty$ для любой последовательности $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ для чего $a_{n}\to a.$ Символ стрелки может означать приближение или тенденцию к , и это относится к последовательности в целом.

Этот критерий не подходит для знаковой функции при $a=0$ . Например, мы можем выбрать $a_{n}$ быть последовательностью $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,$ который стремится к нулю, так как $n$ увеличивается до бесконечности. В этом случае, $a_{n}\to a$ как требуется, но $\operatorname {sgn}(a)=0$ и $\operatorname {sgn}(a_{n})=+1$ для каждого $n,$ так что $\operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)$ . Этот контрпример более формально подтверждает разрыв непрерывности $\operatorname {sgn} x$ в нуле, что видно на графике.

Несмотря на очень простой вид знаковой функции, изменение шага в нуле вызывает трудности для традиционных методов исчисления , которые достаточно строги в своих требованиях. Непрерывность является частым ограничением. Одним из решений может быть аппроксимация знаковой функции гладкой непрерывной функцией; другие могут включать менее строгие подходы, основанные на классических методах для охвата более крупных классов функций.

Гладкие аппроксимации и пределы

Сигнум-функция совпадает с пределами $\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.$ и $\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.$ а также,

$\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.$ Здесь, $\tanh(x)$ — это гиперболический тангенс , а верхний индекс -1 над ним — это сокращение для обратной функции тригонометрической функции — тангенса.

Для $k>1$ , гладкая аппроксимация знаковой функции равна $\operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.$ Другое приближение $\operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.$ который становится острее по мере того, как $\varepsilon \to 0$ ; Обратите внимание, что это производная от ${\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$ . Это основано на том факте, что приведенное выше значение точно равно для всех ненулевых значений. $x$ если $\varepsilon =0$ , и имеет преимущество простого обобщения на многомерные аналоги знаковой функции (например, частные производные ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ).

См. ступенчатую функцию Хевисайда § Аналитические приближения .

Дифференциация и интеграция

Функция сигнум $\operatorname {sgn} x$ дифференцируемо всюду , кроме случая, когда $x=0.$ Его производная равна нулю, если $x$ не равно нулю: ${\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.$

Это следует из дифференцируемости любой постоянной функции , для которой производная всегда равна нулю в области определения. Знак $\operatorname {sgn} x$ действует как постоянная функция, когда она ограничена отрицательной открытой областью $x<0,$ где оно равно $-1$ . Аналогично его можно рассматривать как постоянную функцию внутри положительной открытой области. $x>0,$ где соответствующая константа равна $+1.$ Хотя это две разные постоянные функции, их производная в каждом случае равна нулю.

Невозможно определить классическую производную в $x=0$ , потому что здесь есть разрыв. Тем не менее, сигнум-функция имеет определенный интеграл между любой парой конечных значений $a$ и $b$ , даже если интервал интегрирования включает ноль. Результирующий интеграл для $a$ и $b$ тогда равен разнице между их абсолютными значениями: $\int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.$

И наоборот, функция Signum является производной функции абсолютного значения, за исключением случаев, когда происходит резкое изменение градиента до и после нуля: ${\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.$

Мы можем понять это, как и раньше, рассмотрев определение абсолютной величины. $|x|$ по отдельным регионам $x<0$ и $x<0.$ Например, функция абсолютного значения идентична функции $x$ в регионе $x>0,$ производная которого является постоянным значением $+1$ , которое равно значению $\operatorname {sgn} x$ там.

Поскольку абсолютное значение является выпуклой функцией существует по крайней мере одна субпроизводная , в каждой точке, включая начало координат, . Везде, кроме нуля, результирующий субдифференциал состоит из единственного значения, равного значению знаковой функции. Напротив, существует множество субпроизводных с нулевым значением, и только одна из них принимает значение $\operatorname {sgn}(0)=0$ . Здесь возникает значение субпроизводной $0$ , поскольку функция абсолютного значения минимальна. Полное семейство действительных субпроизводных в нуле составляет субдифференциальный интервал. $[-1,1]$ , что неформально можно рассматривать как «заполнение» графика знаковой функции вертикальной линией, проходящей через начало координат, что делает его непрерывным, как двумерную кривую.

В теории интеграции сигнум-функция является слабой производной функции абсолютного значения. Слабые производные эквивалентны, если они равны почти всюду , что делает их невосприимчивыми к изолированным аномалиям в одной точке. Это включает в себя изменение градиента функции абсолютного значения в нуле, что запрещает существование классической производной.

Хотя оно не дифференцируемо в $x=0$ в обычном смысле, согласно обобщенному понятию дифференциации в теории распределения , производная сигнум-функции в два раза превышает дельта-функцию Дирака . Это можно продемонстрировать, используя тождество ^[2] $\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,$ где $H(x)$ — ступенчатая функция Хевисайда, использующая стандартный $H(0)={\frac {1}{2}}$ формализм.Используя это тождество, легко вывести распределительную производную: ^[3] ${\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.$

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье функции Signum имеет вид ^[4] $\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},$ где $PV$ означает принятие главного значения Коши .

Обобщения

Сложный знак

Функцию Signum можно обобщить на комплексные числа следующим образом: $\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$ для любого комплексного числа $z$ кроме $z=0$ . Знак данного комплексного числа $z$ - это точка единичной окружности комплексной плоскости , ближайшая к $z$ . Тогда для $z\neq 0$ , $\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,$ где $\arg$ — функция комплексного аргумента .

По соображениям симметрии и для того, чтобы это было правильным обобщением сигнум-функции на действительные числа, а также в комплексной области, которую обычно определяют для $z=0$ : $\operatorname {sgn}(0+0i)=0$

Другое обобщение знаковой функции для вещественных и комплексных выражений: ${\text{csgn}}$ , ^[5] который определяется как: $\operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}$ где ${\text{Re}}(z)$ это реальная часть $z$ и ${\text{Im}}(z)$ это мнимая часть $z$ .

Тогда мы имеем (для $z\neq 0$ ): $\operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.$

Полярное разложение матриц

Благодаря полярной теореме о разложении матрица ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}$ ( $n\in \mathbb {N}$ и $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ ) можно разложить как произведение ${\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}$ где ${\boldsymbol {Q}}$ является унитарной матрицей и ${\boldsymbol {P}}$ является самосопряженной, или эрмитовой, положительно определенной матрицей, как в $\mathbb {K} ^{n\times n}$ . Если ${\boldsymbol {A}}$ обратимо, то такое разложение единственно и ${\boldsymbol {Q}}$ играет роль ${\boldsymbol {A}}$ это знак. Двойственная конструкция дается разложением ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}$ где ${\boldsymbol {R}}$ является унитарным, но в целом отличается от ${\boldsymbol {Q}}$ . Это приводит к тому, что каждая обратимая матрица имеет уникальный левый знак. ${\boldsymbol {Q}}$ и правый знак ${\boldsymbol {R}}$ .

В частном случае, когда $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,$ и (обратимая) матрица ${\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]$ , который идентифицируется с (ненулевым) комплексным числом $a+\mathrm {i} b=c$ , то сигнум-матрицы удовлетворяют ${\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|$ и отождествить себя с комплексным знаком $c$ , $\operatorname {sgn} c=c/|c|$ . В этом смысле полярное разложение обобщает на матрицы разложение по сигнум-модулю комплексных чисел.

Signum как обобщенная функция

При реальных значениях $x$ , можно определить обобщенную функцию – версию функции Signum, $\varepsilon (x)$ такой, что $\varepsilon (x)^{2}=1$ везде, в том числе и в точке $x=0$ , в отличие от $\operatorname {sgn}$ , для чего $(\operatorname {sgn} 0)^{2}=0$ . Этот обобщенный сигнум позволяет построить алгебру обобщенных функций , но ценой такого обобщения является потеря коммутативности . В частности, обобщенный сигнум антикоммутирует с дельта-функцией Дирака. ^[6] $\varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;$ кроме того, $\varepsilon (x)$ не может быть оценен в $x=0$ ; и особое имя, $\varepsilon$ необходимо отличить ее от функции $\operatorname {sgn}$ . ( $\varepsilon (0)$ не определено, но $\operatorname {sgn} 0=0$ .)