Закон трихотомии

В математике закон трихотомии гласит, что каждое действительное число либо положительное, либо отрицательное, либо ноль.

В более общем смысле, бинарное отношение R на множестве X является трихотомическим , если для всех x и y в X выполняется ровно одно из xRy , yRx и x = y . Записывая R как <, в формальной логике это выражается как:

$\forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.$

Свойства

• Отношение является трихотомическим тогда и только тогда, когда оно асимметрично и связно .
• Если трихотомическое отношение также транзитивно, то это строгий тотальный порядок ; это частный случай строгого слабого порядка .

Примеры

• На множестве X = { a , b , c } отношение R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} является транзитивным и трихотомическим и, следовательно, строгим полным порядком .
• На том же множестве циклическое отношение R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} является трихотомическим, но не транзитивным; оно даже антитранзитивно .

Трихотомия по числам

Закон трихотомии некоторого множества X чисел обычно выражает, что некоторое неявно заданное отношение порядка на X является трихотомическим. Примером может служить закон «Для произвольных действительных чисел x и y применяется ровно одно из x < y , y < x или x = y »; некоторые авторы даже фиксируют y равным нулю, действительных чисел опираясь на аддитивную линейно упорядоченную структуру группы . Последняя представляет собой группу, снабженную трихотомическим порядком.

В классической логике эта аксиома трихотомии справедлива для обычного сравнения действительных чисел и, следовательно, также для сравнений целых и рациональных чисел . Этот закон вообще не выполняется в интуиционистской логике .

В теории множеств Цермело-Френкеля и теории множеств Бернейса закон трихотомии соблюдается между кардинальными числами вполне упорядочиваемых множеств даже без аксиомы выбора . Если аксиома выбора верна, то трихотомия справедлива между произвольными кардинальными числами (поскольку в этом случае все они хорошо упорядочиваются ).

См. также

• Begriffsschrift содержит раннюю формулировку закона трихотомии.
• Дихотомия
• Закон непротиворечия
• Закон исключенного третьего
• Трехстороннее сравнение