Линейно упорядоченная группа

В математике , особенно в абстрактной алгебре , линейно упорядоченная или полностью упорядоченная группа — это группа G, имеющая общий порядок «≤», который является инвариантным к сдвигу . Это может иметь разные значения. Мы говорим, что ( G , ≤) является a:

левоупорядоченная группа , если ≤ является левоинвариантным, то есть a ≤ b влечет ca ≤ cb для всех a , b , c в G ,
правоупорядоченная группа , если ≤ является правоинвариантной, то есть из a ≤ b следует ac ≤ bc для всех a , b , c в G ,
биупорядоченная группа, если ≤, является биинвариантной, то есть она инвариантна как слева, так и справа.

Группа G называется левоупорядочиваемой (или правоупорядочиваемой , или биупорядочиваемой ), если существует лево- (или право-, или би-) инвариантный порядок на G . Простое необходимое условие того, чтобы группа была упорядочиваемой слева, — это отсутствие элементов конечного порядка; однако это не является достаточным условием. Для группы эквивалентно быть упорядочиваемой слева или справа; однако существуют левоупорядочиваемые группы, которые не являются биупорядочиваемыми.

Дальнейшие определения [ править ]

В этом разделе $\leq$ является левоинвариантным порядком на группе $G$ с элементом идентификации $e$ . Все сказанное относится к правоинвариантным порядкам с очевидными модификациями. Обратите внимание, что $\leq$ быть левоинвариантным эквивалентно порядку $\leq '$ определяется $g\leq 'h$ тогда и только тогда, когда $h^{-1}\leq g^{-1}$ будучи правоинвариантным. В частности, если группа упорядочивается слева, то же самое, что она упорядочивается справа.

По аналогии с обычными числами мы называем элемент $g\not =e$ упорядоченной группы положительна, если $e\leq g$ . Совокупность положительных элементов в упорядоченной группе называется положительным конусом , его часто обозначают $G_{+}$ ; немного другое обозначение $G^{+}$ используется для положительного конуса вместе с идентификационным элементом. ^[1]

Положительный конус $G_{+}$ характеризует порядок $\leq$ ; действительно, благодаря левой инвариантности мы видим, что $g\leq h$ тогда и только тогда, когда $g^{-1}h\in G_{+}$ . Фактически левоупорядоченную группу можно определить как группу $G$ вместе с подмножеством $P$ удовлетворяющие двум условиям:

для $g,h\in P$ у нас также есть $gh\in P$ ;
позволять $P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}$ , затем $G$ представляет собой непересекающийся союз $P,P^{-1}$ и $\{e\}$ .

Порядок $\leq _{P}$ связанный с $P$ определяется $g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P$ ; первое условие означает левоинвариантность, а второе — четкость и тотальность порядка. Положительный конус $\leq _{P}$ является $P$ .

Левоинвариантный порядок $\leq$ биинвариантен тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно сопряженности, то есть если $g\leq h$ тогда для любого $x\in G$ у нас есть $xgx^{-1}\leq xhx^{-1}$ также. Это эквивалентно тому, что положительный конус устойчив относительно внутренних автоморфизмов .

Если $a\in G$ , то абсолютное значение $a$ , обозначенный $|a|$ , определяется как: $|a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$ Если к тому же группа $G$ абелева любого , то для $a,b\in G$ выполняется неравенство треугольника : $|a+b|\leq |a|+|b|$ .

Примеры [ править ]

Любая группа, упорядочиваемая слева или справа, не имеет кручения , т. е. не содержит элементов конечного порядка, кроме единицы. И наоборот, Ф. В. Леви без кручения показал, что абелева группа биупорядочиваема; ^[2] это по-прежнему верно для нильпотентных групп ^[3] но существуют конечно определенные группы без кручения , которые не упорядочиваются слева.

Архимедовы упорядоченные группы [ править ]

Отто Гёльдер показал, что каждая архимедова группа (биупорядоченная группа, удовлетворяющая архимедовому свойству ) изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 61).Если мы запишем архимедову группу lo мультипликативно, это можно показать, рассматривая дедекиндово пополнение : ${\widehat {G}}$ о закрытии группы lo под $n$ корни. Наделим это пространство обычной топологией линейного порядка, и тогда можно показать, что для каждого $g\in {\widehat {G}}$ экспоненциальные карты $g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}$ являются четко определенными сохраняющими/обращающими порядок изоморфизмами топологических групп . Заполнение группы lo может быть затруднено в неархимедовом случае. В этих случаях можно классифицировать группу по ее рангу : который связан с типом порядка наибольшей последовательности выпуклых подгрупп.

Другие примеры [ править ]

Свободные группы можно упорядочить слева. В более общем плане это справедливо и для прямоугольных групп Артина . ^[4] Группы кос также упорядочиваются слева. ^[5]

Группа, представленная на презентации $\langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle$ не имеет кручения, но не упорядочивается слева; ^[6] отметим, что это трехмерная кристаллографическая группа (ее можно реализовать как группу, порожденную двумя скользящими полувитками с ортогональными осями и одинаковой длиной трансляции), и это та же самая группа, которая, как было доказано, является контрпримером к гипотеза о единице . В более общем плане тема упорядочиваемости групп 3-многообразия интересна своей связью с различными топологическими инвариантами. ^[7] Существует группа трехмерных многообразий, упорядочиваемая слева, но не биупорядочиваемая. ^[8] (фактически он не удовлетворяет более слабому свойству локальной индикации).

Упорядочимые слева группы также вызывают интерес с точки зрения динамических систем , поскольку известно, что счетная группа является упорядочиваемой слева тогда и только тогда, когда она действует на вещественной прямой посредством гомеоморфизмов. ^[9] Непримерами, связанными с этой парадигмой, являются решетки в группах Ли более высокого ранга ; известно, что (например) подгруппы конечного индекса в $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ не упорядочиваются слева; ^[10] Недавно было объявлено о широком распространении этого явления. ^[11]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Дероин, Навас и Ривас 2014 , 1.1.1.
^ Леви 1942 .
^ Дероин, Навас и Ривас 2014 , 1.2.1.
^ Дюшан, Жерар; Тибон, Жан-Ив (1992). «Простые порядки для свободных частично коммутативных групп». Международный журнал алгебры и вычислений . 2 (3): 351–355. дои : 10.1142/S0218196792000219 . Збл 0772.20017 .
^ Дехорной, Патрик; Дынников Иван; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2002). Почему косы можно заказать? . Париж: Французское математическое общество. п. xiii + 190. ISBN 2-85629-135-Х .
^ Дероин, Навас и Ривас 2014 , 1.4.1.
^ Бойер, Стивен; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2005). «Упорядочиваемые группы 3-многообразий» . Анналы Института Фурье . 55 (1): 243–288. arXiv : математика/0211110 . дои : 10.5802/aif.2098 . Збл 1068.57001 .
^ Бергман, Джордж (1991). «Правильно упорядоченные группы, которые не являются локально индикационными» . Тихоокеанский математический журнал . 147 (2): 243–248. дои : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Збл 0677.06007 .
^ Дероин, Навас и Ривас 2014 , Предложение 1.1.8.
^ Витте, Дэйв (1994). «Арифметические группы высшего $\mathbb{Q}$-ранга не могут действовать на $1$-многообразиях». Труды Американского математического общества . 122 (2): 333–340. дои : 10.2307/2161021 . JSTOR 2161021 . Збл 0818.22006 .
^ Деруан, Бертран; Уртадо, Себастьян (2020). «Неупорядочиваемость слева решеток в полупростых группах Ли более высокого ранга». arXiv : 2008.10687 [ math.GT ].

Ссылки [ править ]

Деруан, Бертран; Навас, Андрес; Ривас, Кристобаль (2014). «Группы, порядки и динамика». arXiv : 1408.5805 [ math.GT ].
Леви, Ф.В. (1942), «Упорядоченные группы», Proc. Индийский акад. наук. , A16 (4): 256–263, doi : 10.1007/BF03174799 , S2CID 198139979
Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1963-0 , МР 1794715
Гис, Э. (2001), «Группы, действующие на окружности», Mathematical Education , 47 : 329–407.

[FOOTNOTEDeroinNavasRivas20141.1.1-1] Дероин, Навас и Ривас 2014 , 1.1.1.

[FOOTNOTELevi1942-2] Леви 1942 .

[FOOTNOTEDeroinNavasRivas20141.2.1-3] Дероин, Навас и Ривас 2014 , 1.2.1.

[4] Дюшан, Жерар; Тибон, Жан-Ив (1992). «Простые порядки для свободных частично коммутативных групп». Международный журнал алгебры и вычислений . 2 (3): 351–355. дои : 10.1142/S0218196792000219 . Збл 0772.20017 .

[5] Дехорной, Патрик; Дынников Иван; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2002). Почему косы можно заказать? . Париж: Французское математическое общество. п. xiii + 190. ISBN 2-85629-135-Х .

[FOOTNOTEDeroinNavasRivas20141.4.1-6] Дероин, Навас и Ривас 2014 , 1.4.1.

[7] Бойер, Стивен; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2005). «Упорядочиваемые группы 3-многообразий» . Анналы Института Фурье . 55 (1): 243–288. arXiv : математика/0211110 . дои : 10.5802/aif.2098 . Збл 1068.57001 .

[8] Бергман, Джордж (1991). «Правильно упорядоченные группы, которые не являются локально индикационными» . Тихоокеанский математический журнал . 147 (2): 243–248. дои : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Збл 0677.06007 .

[FOOTNOTEDeroinNavasRivas2014Proposition_1.1.8-9] Дероин, Навас и Ривас 2014 , Предложение 1.1.8.

[10] Витте, Дэйв (1994). «Арифметические группы высшего \(\mathbb{Q}\)-ранга не могут действовать на \(1\)-многообразиях». Труды Американского математического общества . 122 (2): 333–340. дои : 10.2307/2161021 . JSTOR 2161021 . Збл 0818.22006 .

[11] Деруан, Бертран; Уртадо, Себастьян (2020). «Неупорядочиваемость слева решеток в полупростых группах Ли более высокого ранга». arXiv : 2008.10687 [ math.GT ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]