Jump to content

Догадки Капланского

(Перенаправлено из догадок Капланского )

Математик Ирвинг Каплански известен тем, что выдвинул многочисленные гипотезы в нескольких разделах математики, включая список из десяти гипотез об алгебрах Хопфа . Их обычно называют гипотезами Капланского .

Групповые кольца

[ редактировать ]

Пусть K — поле, а G — группа без кручения . Гипотеза Капланского о делителе нуля гласит:

Капланского Две связанные гипотезы известны как идемпотентная гипотеза :

  • K [ G ] не содержит нетривиальных идемпотентов , т. е. если a 2 = a , тогда a = 1 или a = 0 .

Капланского и гипотеза единицы (которая первоначально была выдвинута Грэмом Хигманом и популяризирована Каплански):

  • K [ G ] не содержит нетривиальных единиц , т.е. если ab = 1 в K [ G ] , то = кг для некоторых k из K и g в G. a

Гипотеза о делителе нуля влечет за собой гипотезу об идемпотенте и вытекает из гипотезы о единице. По состоянию на 2021 год гипотезы о делителе нуля и идемпотентах открыты. Гипотеза о единице, однако, была опровергнута в характеристике 2 Джайлсом Гардамом путем демонстрации явного контрпримера в кристаллографической группе , а именно в фундаментальной группе многообразия Ханцше-Вендта ; см. также группу Фибоначчи . [1] [2] [3] В более позднем препринте Гардама утверждается, что, по сути, тот же элемент также дает противоположный пример в характеристике 0 (в этой настройке поиск обратного значения требует гораздо больше вычислительных усилий, отсюда и задержка между первым результатом и вторым). [4]

Существуют доказательства как гипотезы об идемпотенте, так и гипотезы о делителях нуля для больших классов групп. Например, гипотеза о делителе нуля известна для всех элементарных аменабельных групп без кручения (класса, включающего все практически разрешимые группы), поскольку их групповые алгебры, как известно, являются областями Оре . [5] Отсюда следует, что в более общем плане гипотеза справедлива для всех элементарных аменабельных групп без аппроксимируемого кручения. Обратите внимание, что когда является полем нулевой характеристики, то гипотеза о делителях нуля вытекает из гипотезы Атьи , которая также была установлена ​​для больших классов групп.

Идемпотентная гипотеза имеет обобщение — идемпотентную гипотезу Кадисона , также известную как гипотеза Кадисона-Капланского, для элементов в приведенной групповой C*-алгебре . В этом случае известно, что если гипотеза Фаррелла-Джонса верна для K [ G ] , то и гипотеза идемпотента верна. Последнее было положительно решено для чрезвычайно большого класса групп, включая, например, все гиперболические группы .

Известно также, что гипотеза о единице верна во многих группах, но ее частичные решения гораздо менее устойчивы, чем две другие (о чем свидетельствует упомянутый ранее контрпример). Известно, что эта гипотеза не следует из какого-либо аналитического утверждения, подобного двум другим, и поэтому все случаи, когда известно, что она верна, были установлены с помощью прямого комбинаторного подхода, включающего так называемое свойство уникальных произведений. Благодаря упомянутой выше работе Гардама теперь известно, что это в целом неверно.

Банаховы алгебры

[ редактировать ]

Эта гипотеза утверждает, что любой гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры C ( X ) (непрерывных комплекснозначных функций на X , где X компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру обязательно непрерывен . Гипотеза эквивалентна утверждению, что каждая норма алгебры на C ( X ) эквивалентна обычной равномерной норме . (Сам Капланский ранее показал, что каждая полная алгебраическая норма на C ( X ) эквивалентна равномерной норме.)

В середине 1970-х годов Х. Гарт Дейлс и Дж. Эстерл независимо друг от друга доказали, что, если, кроме того, предположить справедливость гипотезы континуума , существуют компакты Хаусдорфа X и разрывные гомоморфизмы из C ( X ) в некоторую банахову алгебру, дав контрпримеры к предположению.

В 1976 году Р. М. Соловей (основываясь на работе Х. Вудина) представил модель ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля + аксиома выбора ), в которой гипотеза Капланского верна. Таким образом, гипотеза Капланского является примером утверждения, неразрешимого в ZFC .

Квадратичные формы

[ редактировать ]

В 1953 году Капланский выдвинул гипотезу о том, что конечные значения u -инвариантов могут быть только степенями 2 . [6] [7]

В 1989 году гипотезу опроверг Александр Меркурьев , продемонстрировавший поля с u -инвариантами любого четного m . [6] В 1999 году Олег Ижболдин построил поле с u -инвариантом m = 9, которое стало первым примером нечетного u -инварианта. [8] В 2006 году Александр Вишик продемонстрировал поля с u -инвариантом. для любого целого числа k, начиная с 3. [9]

  1. ^ Гардам, Джайлз (23 февраля 2021 г.). «Контрпример к гипотезе единицы для групповых колец». Анналы математики . 194 (3): 967–979. arXiv : 2102.11818 . дои : 10.4007/анналы.2021.194.3.9 . S2CID   232013430 .
  2. ^ «Интервью с Джайлсом Гардамом» . Математика Мюнстер, Мюнстерский университет . Проверено 10 марта 2021 г.
  3. ^ Эрика Кларрайх (12 апреля 2021 г.). «Математик опровергает алгебраическую гипотезу 80-летней давности» . Журнал Кванта . Проверено 13 апреля 2021 г.
  4. ^ Гардам, Джайлз (11 декабря 2023 г.). «Нетривиальные единицы комплексных групповых колец». arXiv : 2312.05240 [ math.GR ].
  5. ^ Крофоллер, PH; Линнелл, Пенсильвания; Муди, Дж. А. (1988). «Применение новой $K$-теоретической теоремы к разрешимым групповым кольцам» . Труды Американского математического общества . 104 (3): 675–684. дои : 10.2307/2046771 . ISSN   0002-9939 .
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Меркурьев А.С. (1991). «Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм». J Math Sci . 57 (6): 3489. doi : 10.1007/BF01100118 . S2CID   122865942 .
  7. ^ Капланский И. (1951). «Квадратичные формы» . Дж. Математика. Соц. Япония . 5 (2): 200–207. дои : 10.2969/jmsj/00520200 .
  8. ^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. дои : 10.2307/3062141 . JSTOR   3062141 . Збл   0998.11015 .
  9. ^ Вишик, Александр (2009). «Поля u-инварианта 2^r + 1». Алгебра, арифметика и геометрия. Прогресс в математике . 270 : 661. дои : 10.1007/978-0-8176-4747-6_22 . ISBN  978-0-8176-4746-9 .
  • Х. Г. Дейлс, Автоматическая непрерывность: обзор . Бык. Лондонская математика. Соц. 10 (1978), вып. 2, 129–183.
  • В. Люк, Л. 2 -Инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории . Берлин: Весна 2002 г. ISBN   3-540-43566-2
  • Д.С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец , Чистая и прикладная математика, Wiley-Interscience, Нью-Йорк, 1977. ISBN   0-471-02272-1
  • М. Пушнигг, Гипотеза Кадисона–Капланского для словесно-гиперболических групп . Изобретать. Математика. 149 (2002), вып. 1, 153–194.
  • Х. Д. Дейлс и В. Х. Вудин, Введение в независимость для аналитиков , Кембридж, 1987 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8414ba9902979fe4525624b50fee42b6__1716984300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/84/b6/8414ba9902979fe4525624b50fee42b6.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kaplansky's conjectures - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)