у -инвариант

В математике универсальный инвариант или u инвариант поля - описывает структуру квадратичных форм над полем.

Универсальный инвариант u ( F ) поля F — это наибольшая размерность анизотропного квадратичного пространства над F или ∞, если этого не существует. Поскольку формально вещественные поля имеют анизотропные квадратичные формы (суммы квадратов) в каждом измерении, инвариант представляет интерес только для других полей. Эквивалентная формулировка заключается в том, что u — наименьшее число такое, что каждая форма размерности больше u является изотропной или что каждая форма размерности не меньше u является универсальной .

Примеры

Для чисел комплексных u ( C ) = 1.
Если F , квадратично замкнуто то u ( F ) = 1.
Функциональное поле алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем имеет u ⩽ 2; следует из теоремы Цена , что такое поле квазиалгебраически замкнуто . ^[1]
Если F — нереальное глобальное или локальное поле или, в более общем смысле, связанное поле , то u ( F ) = 1, 2, 4 или 8. ^[2]

Характеристики

Если F не является формально вещественным и характеристика F не равна 2, то u ( F ) не более чем $q(F)=\left|{F^{\star }/F^{\star 2}}\right|$ , индекс квадратов в группе F мультипликативной . ^[3]
u ( F ) не может принимать значения 3, 5 или 7. ^[4] Поля существуют с u = 6 ^[5]^[6] и ты = 9. ^[7]
Меркурьев показал, что каждое четное целое число встречается как значение u ( F для некоторого F. ) ^[8]^[9]
Александр Вишик доказал, что существуют поля с u -инвариантом $2^{r}+1$ для всех $r>3$ . ^[10]
- инвариант u ограничен относительно конечной степени расширений полей . Если E / F — расширение поля степени n , то

u(E)\leq {\frac {n+1}{2}}u(F)\ .

В случае квадратичных расширений u -инвариант ограничен равенством

u(F)-2\leq u(E)\leq {\frac {3}{2}}u(F)\

и все значения в этом диапазоне достигнуты. ^[11]

Общий u -инвариант

Поскольку u -инвариант не представляет особого интереса в случае формально вещественных полей, мы определяем общий u -инвариант как максимальную размерность анизотропной формы в периодической подгруппе F кольца Витта группы . или ∞, если это не так существовать. ^[12] Для неформально вещественных полей кольцо Витта является торсионным, поэтому это согласуется с предыдущим определением. ^[13] Для формально вещественного поля общий u -инвариант либо четен, либо ∞.

Характеристики

u ( F ) ≤ 1 тогда и только тогда, когда F — пифагорово поле . ^[13]

Ссылки

^ Лам (2005) стр.376
^ Лам (2005) стр.406
^ Лам (2005) с. 400
^ Лам (2005) с. 401
^ Лам (2005) стр.484
^ Лам, Тайвань (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. Имени С.А. Амицура, Тез. Симп. и семинар, Иерусалим, 1988/89 . Израильская математика. Конф. Учеб. Том. 1. С. 12–30. Збл 0683.10018 .
^ Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. дои : 10.2307/3062141 . JSTOR 3062141 . Збл 0998.11015 .
^ Лам (2005) с. 402
^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008) p. 170
^ Вишик, Александр (2009). «Поля u -инвариантны $2^{r}+1$ ". Алгебра, арифметика и геометрия. Прогресс в математике . Birkhäuser Boston. doi : 10.1007/978-0-8176-4747-6_22 .
^ Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». Розенберг , Алекс (ред.). К-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт по квадратичным формам и алгебрам с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США) . Учеб. Симп. Чистая математика. Том. 58. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 333–358. Збл 0824.11018 .
^ Лам (2005) с. 409
^ Перейти обратно: ^а ^б Лам (2005) с. 410

Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .
Элман, Ричард; Карпенко Никита; Меркурьев, Александр (2008). Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 56. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-0-8218-4329-1 .

[Lam376-1] Лам (2005) стр.376

[Lam406-2] Лам (2005) стр.406

[Lam400-3] Лам (2005) с. 400

[Lam401-4] Лам (2005) с. 401

[Lam484-5] Лам (2005) стр.484

[Lam1989-6] Лам, Тайвань (1989). «Поля u-инварианта 6 по А. Меркурьеву». Теория колец 1989. Имени С.А. Амицура, Тез. Симп. и семинар, Иерусалим, 1988/89 . Израильская математика. Конф. Учеб. Том. 1. С. 12–30. Збл 0683.10018 .

[7] Ижболдин, Олег Т. (2001). «Поля u-инварианта 9». Анналы математики . Вторая серия. 154 (3): 529–587. дои : 10.2307/3062141 . JSTOR 3062141 . Збл 0998.11015 .

[Lam402-8] Лам (2005) с. 402

[ELM170-9] Elman, Karpenko, Merkurjev (2008) p. 170

[10] Вишик, Александр (2009). «Поля u -инвариантны $2^{r}+1$ ". Алгебра, арифметика и геометрия. Прогресс в математике . Birkhäuser Boston. doi : 10.1007/978-0-8176-4747-6_22 .

[11] Минач, Ян; Уодсворт, Адриан Р. (1995). «U-инвариант для алгебраических расширений». Розенберг , Алекс (ред.). К-теория и алгебраическая геометрия: связи с квадратичными формами и алгебрами с делением. Летний научно-исследовательский институт по квадратичным формам и алгебрам с делением, 6-24 июля 1992 г., Калифорнийский университет, Санта-Барбара, Калифорния (США) . Учеб. Симп. Чистая математика. Том. 58. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 333–358. Збл 0824.11018 .

[Lam409-12] Лам (2005) с. 409

[Lam410-13] Перейти обратно: ^а ^б Лам (2005) с. 410

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]