Формально реальное поле

В математике , в частности в теории поля и реальной алгебре , формально вещественное поле — это поле , которое может быть снабжено (не обязательно уникальным) упорядочением, которое делает его упорядоченным полем .

Альтернативные определения

Приведенное выше определение не является определением первого порядка , поскольку оно требует кванторов над множествами . Однако следующие критерии могут быть закодированы как (бесконечное множество) предложений первого порядка на языке полей и эквивалентны приведенному выше определению.

Формально вещественное поле F — это поле, которое также удовлетворяет одному из следующих эквивалентных свойств:

• −1 не является суммой квадратов в F . Другими словами, Stufe F бесконечен . (В частности, такое поле должно иметь характеристику 0, поскольку в поле характеристики p элемент −1 представляет собой сумму единиц.) Это можно выразить в логике первого порядка следующим образом: $\forall x_{1}(-1\neq x_{1}^{2})$, $\forall x_{1}x_{2}(-1\neq x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$и т. д., по одному предложению для каждого количества переменных.
• Существует элемент F , который не является суммой квадратов F , и характеристика F не равна 2.
• Если любая сумма квадратов элементов F равна нулю, то каждый из этих элементов должен быть равен нулю.

Легко видеть, что эти три свойства эквивалентны. Также легко увидеть, что поле, допускающее упорядочение, должно удовлетворять этим трем свойствам.

Доказательство того, что если F удовлетворяет этим трем свойствам, то F допускает упорядочение, использует понятие препозитивных конусов и положительных конусов. Предположим, что −1 не является суммой квадратов; тогда аргумент леммы Цорна показывает, что препозитивный конус сумм квадратов можно расширить до положительного конуса P ⊆ F . Этот положительный конус используется для определения порядка: a ≤ b тогда и только тогда, когда b − a принадлежит P .

Реальные закрытые поля

Формально вещественное поле без формально вещественного собственного алгебраического расширения является вещественным замкнутым полем . Если K формально вещественно и Ω — алгебраически замкнутое поле, K , то существует вещественное замкнутое подполе в Ω, содержащее K. содержащее Настоящее закрытое поле можно заказать уникальным способом, а неотрицательные элементы — это именно квадраты.

Ссылки

• Милнор, Джон ; Хуземоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы . Спрингер. ISBN  3-540-06009-Х .
• Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-42668-5 . Збл   0785.11022 .