Настоящая алгебраическая геометрия

В математике , действительная алгебраическая геометрия — это подраздел алгебраической геометрии изучающий вещественные алгебраические множества , то есть действительных числах решения алгебраических уравнений в с вещественными коэффициентами, а также отображения между ними (в частности, вещественные полиномиальные отображения ).

Полуалгебраическая геометрия - это изучение полуалгебраических множеств , то есть решений алгебраических неравенств в действительных числах с коэффициентами вещественных чисел и отображений между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются полуалгебраические отображения , т. е. отображения, графиками которых являются полуалгебраические множества.

Терминология

В настоящее время слова «полуалгебраическая геометрия» и «реальная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, поскольку реальные алгебраические множества невозможно серьезно изучать без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция реального алгебраического множества на ось координат не обязательно должна быть вещественным алгебраическим множеством, но это всегда полуалгебраическое множество: это теорема Тарского–Зейденберга . Связанными областями являются o-минимальная теория и реальная аналитическая геометрия .

Примеры: вещественные плоские кривые являются примерами вещественных алгебраических множеств, а многогранники - примерами полуалгебраических множеств. Действительные алгебраические функции и функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. гипотезу Пирса–Биркгофа ) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная реальная алгебраическая геометрия занимается алгоритмическими аспектами реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм — цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Он используется для разрезания полуалгебраических множеств на красивые части и вычисления их проекций.

Реальная алгебра — это часть алгебры, которая имеет отношение к реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. В основном это касается изучения упорядоченных полей и упорядоченных колец (в частности, вещественных замкнутых полей ) и их приложений к изучению положительных многочленов и сумм квадратов многочленов . (См. 17-ю проблему Гильберта и Positivestellensatz Кривина .) Отношение реальной алгебры к реальной алгебраической геометрии аналогично отношению коммутативной алгебры к комплексной алгебраической геометрии . Смежными областями являются теория проблем моментов , выпуклая оптимизация , теория квадратичных форм , теория оценки и теория моделей .

реальной алгебры и реальной

• 1826 Алгоритм Фурье для систем линейных неравенств. Вновь открыт Ллойдом Дайнсом в 1919 году. и Теодор Моцкин в 1936 году.
• 1835 г. Теорема Штурма о подсчете действительных корней.
• 1856 г. Теорема Эрмита о подсчете действительных корней.
• 1876 ​​г. Теорема Гарнака о кривой . (Эта оценка числа компонентов позже была распространена на все числа Бетти всех вещественных алгебраических множеств. и все полуалгебраические множества. )
• 1888 г. Теорема Гильберта о тройных квартиках.
• 1900 г. Проблемы Гильберта (особенно 16-я и 17-я проблемы)
• 1902 г. Лемма Фаркаса (Можно переформулировать как линейный позитивстеллензац.)
• 1914 г. Аннибале Комессатти показал, что не каждая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна RP. ²
• 1916 г. Гипотеза Фейера о неотрицательных тригонометрических полиномах. (Решено Фриджесом Риссом . )
• 1927 г. Эмилем Артином Решение 17-й проблемы Гильберта.
• Теорема Крулля – Бэра 1927 г. (связь между заказами и оценками)
• Теорема Пойа 1928 года о положительных многочленах на симплексе
• 1929 Б.Л. ван дер Варден набросал доказательство того, что вещественные алгебраические и полуалгебраические множества триангуляризуемы. но необходимые инструменты не были разработаны, чтобы сделать аргумент строгим.
• 1931 г. Альфреда Тарского Устранение реального квантора . Усовершенствован и популяризирован Авраамом Зайденбергом в 1954 году. (Оба используют теорему Штурма .)
• 1936 Герберт Зайферт доказал, что каждое замкнутое гладкое подмногообразие $\mathbb {R} ^{n}$ с тривиальным нормальным расслоением, может быть изотопирован компоненте неособого вещественного алгебраического подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ это полное пересечение (из заключения этой теоремы слово «компонент» убрать нельзя ).
• 1940 Теорема Маршалла Стоуна о представлении частично упорядоченных колец. Улучшено Ричардом Кэдисоном в 1951 году. и Дональд Дюбуа в 1967 году. (Теорема о представлении Кадисона–Дюбуа). Дальнейшее улучшение Михая Путинара в 1993 году. и Якоби в 2001 году (Теорема Путинара–Якоби о представлении).
• 1952 Джон Нэш доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте вещественного алгебраического множества.
• 1956 г. Сформулирована гипотеза Пирса – Биркгофа . (Решено в размерностях ≤ 2. )
• 1964 Теорема Кривина о нулевом месте и теорема о положительном месте . Вновь открыт и популяризирован Стенглом в 1974 году. (Кривин использует устранение действительных кванторов , а Стенгл использует теорему о гомоморфизме Ланга. )
• 1964 Триангулированные полуаналитические множества Лоясевича
• 1964 Хейсуке Хиронака доказал разрешение теоремы о особенности.
• 1964 Хасслер-Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую условиям Уитни .
• 1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, который не является суммой квадратов многочленов .
• 1972 Vladimir Rokhlin proved Gudkov's conjecture .
• 1973 Альберто Тоньоли доказал, что каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому вещественному алгебраическому множеству.
• 1975 Джордж Э. Коллинз открывает алгоритм цилиндрической алгебраической декомпозиции Тарского , который улучшает метод устранения реальных кванторов и позволяет реализовать его на компьютере.
• 1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждое субаналитическое множество допускает стратификацию с условием (w).
• 1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Рой открывают реальный спектр коммутативного кольца.
• 1980 Олег Виро представил технику «обработки лоскутов» и использовал ее для классификации реальных алгебраических кривых низкой степени. Позже Илья Итенберг и Виро использовали его для создания контрпримеров к гипотезе Рэгсдейла . а Григорий Михалкин применил его к тропической геометрии для подсчета кривых.
• 1980 Селман Акбулут и Генри К. Кинг дали топологическую характеристику вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризованы неособые вещественные алгебраические множества (не обязательно компактные).
• 1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в $S^{n}$ является звеном вещественного алгебраического множества с изолированной особенностью в $\mathbb {R} ^{n+1}$
• 1981 Акбулут и Кинг доказали, что каждое компактное PL-многообразие PL гомеоморфно вещественному алгебраическому множеству.
• 1983 Акбулут и Кинг представили «Башни топологического разрешения» как топологические модели реальных алгебраических множеств, на основе этого они получили новые топологические инварианты реальных алгебраических множеств и топологически охарактеризовали все трехмерные алгебраические множества. Эти инварианты позже были обобщены Мишелем Косте и Кшиштофом Курдыкой. а также Клинт МакКрори и Адам Парусинский.
• 1984 Теорема Людвига Брёкера о минимальном порождении основных открытых полуалгебраических множеств (улучшено и распространено на основные замкнутые полуалгебраические множества Шайдерером. )
• 1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не каждое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно вполне алгебраическому неособому вещественному алгебраическому множеству (тотально алгебраическое означает, что все его циклы Z/2Z-гомологии представлены вещественными алгебраическими подмножествами).
• 1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно вполне алгебраическому вещественному алгебраическому множеству.
• 1991 Решение Шмюдгена многомерной проблемы моментов для компактных полуалгебраических множеств и связанного с ней строгого позитива. Алгебраическое доказательство, найденное Верманном. Подразумевает версию теоремы Артина Резника с равномерными знаменателями.
• 1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тогноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие R ^н изотопно неособым точкам (компонентам) вещественного алгебраического подмножества R ^н , и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия R ^н .
• 1992 Бенедетти и Марин доказали, что каждое компактное замкнутое гладкое 3-многообразие M можно получить из $S^{3}$ последовательностью раздутий и опусканий вдоль гладких центров и что M гомеоморфно, возможно, сингулярному аффинному вещественному алгебраическому рациональному трехмерному многообразию.
• 1997 Бирстоун и Милман доказали каноническую теорему о разрешении особенностей.
• 1997 Михалкин доказал, что любое замкнутое гладкое n-многообразие можно получить из $S^{n}$ последовательностью топологических раздутий и падений
• 1998 Янош Коллар показал, что не каждое замкнутое трехмерное многообразие является проективным действительным трехмерным многообразием, которое бирационально RP. ³
• 2000 Локально-глобальный принцип Шайдерера и связанное с ним нестрогое расширение positivstellensatz Шмюдгена в размерностях ≤ 2.
• 2000 Янош Коллар доказал, что каждое замкнутое гладкое 3-многообразие является вещественной частью компактного комплексного многообразия, которое можно получить из $\mathbb {CP} ^{3}$ серией реальных взрывов и падений.
• 2003 Вельшингер вводит инвариант для подсчета действительных рациональных кривых.
• 2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое невырожденное вещественное алгебраическое подмножество RP ^н гладко изотопно вещественной части неособого комплексного алгебраического подмножества CP ^н

Ссылки

• С. Акбулут и Х. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, паб MSRI, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992). ISBN   0-387-97744-9
• Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари Франсуаза. Настоящая алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 года. Доработано авторами. Результаты по математике и смежным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 36. Springer-Verlag, Берлин, 1998. x + 430 стр. ISBN   3-540-64663-9
• Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Берлин, 2006. x+662 стр. ISBN   978-3-540-33098-1 ; 3-540-33098-4
• Маршалл, Мюррей Положительные полиномы и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii+187 стр. ISBN   978-0-8218-4402-1 ; 0-8218-4402-4

Внешние ссылки

• Роль задач Гильберта в реальной алгебраической геометрии (PostScript)
• Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии