Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . о выражении определенных рациональных функций в виде суммы частных . квадратов Речь идет положительно Исходный вопрос можно переформулировать так:

Учитывая многомерный полином, который принимает только неотрицательные значения над действительными числами, можно ли его представить в виде суммы квадратов рациональных функций?

Вопрос Гильберта можно ограничить однородными многочленами четной степени, поскольку многочлен нечетной степени меняет знак, а усреднение многочлена принимает только неотрицательные значения тогда и только тогда, когда то же самое верно для многочлена.

Мотивация

В формулировке вопроса учтено, что существуют неотрицательные многочлены , например ^{[ 1 ]}

f(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2},

который нельзя представить в виде суммы квадратов других многочленов . В 1888 году Гильберт показал, что каждый неотрицательный однородный многочлен от n переменных и степени 2 d может быть представлен как сумма квадратов других многочленов тогда и только тогда, когда либо (a) n = 2 или (б) 2 d = 2 или (в) n = 3 и 2 d = 4. ^{[ 2 ]} построил первый явный контрпример Доказательство Гильберта не содержало явного контрпримера: только в 1967 году Моцкин . ^{[ 3 ]} Более того, если полином имеет степень 2 d больше двух, существует значительно больше неотрицательных многочленов, которые не могут быть выражены в виде суммы квадратов. ^{[ 4 ]}

В следующей таблице показано, в каких случаях каждый неотрицательный однородный многочлен (или многочлен четной степени) может быть представлен как сумма квадратов:

*Любой однородный многочлен от переменных d* и n степени 2 можно представить в виде суммы квадратов?**		2 д (градус)			*Любой полином от переменных d* и n степени 2 можно представить в виде суммы квадратов?**		2 д (градус)
		2	4	≥6			2	4	≥6
n (количество переменных)	1	Да	Да	Да	n (количество переменных)	1	Да	Да	Да
	2	Да	Да	Да		2	Да	Да	Нет
	3	Да	Да	Нет		3	Да	Нет	Нет
	≥4	Да	Нет	Нет		≥4	Да	Нет	Нет

Решение и обобщения

Частный случай n = 2 уже был решен Гильбертом в 1893 году. ^{[ 5 ]} Общая проблема была решена утвердительно в 1927 году Эмилем Артином . ^{[ 6 ]} для положительных полуопределенных функций над действительными числами или, в более общем смысле, вещественно-замкнутыми полями . Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Делзеллом в 1984 году. ^{[ 7 ]} Результат Альбрехта Пфистера ^{[ 8 ]} показывает, что положительная полуопределенная форма от n переменных может быть выражена в виде суммы 2 ^н квадраты. ^{[ 9 ]}

вообще отрицательный Дюбуа показал в 1967 году, что ответ для упорядоченных полей . ^{[ 10 ]} В этом случае можно сказать, что положительный многочлен представляет собой сумму взвешенных квадратов рациональных функций с положительными коэффициентами. ^{[ 11 ]} Маккенна показал в 1975 году, что все положительные полуопределенные многочлены с коэффициентами в упорядоченном поле являются суммами взвешенных квадратов рациональных функций с положительными коэффициентами только в том случае, если поле плотно в своем реальном замыкании в том смысле, что любой интервал с концами в вещественном замыкании содержит элементы из исходного поля. ^{[ 12 ]}

Обобщение на матричный случай (матрицы с элементами полиномиальных функций, которые всегда положительно полуопределенны, могут быть выражены как сумма квадратов симметричных матриц с элементами рациональных функций) было дано Гондаром, Рибенбоймом. ^{[ 13 ]} и Прочези, Шахер, ^{[ 14 ]} с элементарным доказательством, данным Хилларом и Ни. ^{[ 15 ]}

Минимальное количество квадратных рациональных членов

Вопрос о том, какое наименьшее число, остается открытым.

v(n,d),

такой, что любой от n неотрицательный полином степени d -мер можно записать как сумму не более $v(n,d)$ квадратичные рациональные функции над действительными числами. Верхняя граница, предложенная Пфистером в 1967 году, такова: ^{[ 8 ]}

v(n,d)\leq 2^{n},

В другом направлении условная нижняя граница может быть получена из теории сложности вычислений . Экземпляр с n -переменными 3-SAT можно реализовать как задачу положительности полинома с n переменными и d=4 . Это доказывает, что положительное тестирование является NP-Hard . Точнее, если предположить, что гипотеза экспоненциального времени верна, $v(n,d)=2^{\Omega (n)}$ .

В комплексном анализе эрмитовый аналог, требующий, чтобы квадраты были квадратами норм голоморфных отображений, несколько более сложен, но верен для положительных многочленов по результату Квиллена. ^{[ 16 ]} С другой стороны, результат Пфистера неверен в эрмитовом случае, то есть нет ограничений на количество требуемых квадратов, см. Д'Анджело – Лебл. ^{[ 17 ]}

См. также

Примечания

^ Мари-Франсуаза Рой . Роль задач Гильберта в реальной алгебраической геометрии. Материалы девятого собрания EWM, Локкум, Германия, 1999 г.
^ Гильберт, Дэвид (сентябрь 1888 г.). «О представлении определенных форм в виде суммы квадратов фигур» . Математические летописи . 32 (3): 342–350. дои : 10.1007/bf01443605 . S2CID 177804714 .
^ Моцкин, Т. С. (1967). «Арифметико-геометрическое неравенство». В Шише, Овед (ред.). Неравенства . Академическая пресса. стр. 205–224.
^ Блехерман, Григорий (2006). «Неотрицательных многочленов значительно больше, чем сумм квадратов» . Израильский математический журнал . 153 (1): 355–380. дои : 10.1007/BF02771790 . ISSN 0021-2172 .
^ Гильберт, Дэвид (декабрь 1893 г.). «О троичных определенных формах» . Акта Математика . 17 (1): 169–197. дои : 10.1007/bf02391990 .
^ Артин, Эмиль (1927). «О разложении определенных функций в квадраты». Трактаты математического семинара в Гамбургском университете . 5 (1): 100–115. дои : 10.1007/BF02952513 . S2CID 122607428 .
^ Делзелл, Китай (1984). «Непрерывное конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта». Математические изобретения . 76 (3): 365–384. Бибкод : 1984InMat..76..365D . дои : 10.1007/BF01388465 . S2CID 120884276 . Збл 0547.12017 .
^ Jump up to: ^а ^б Пфистер, Альбрехт (1967). «О представлении определенных функций в виде сумм квадратов». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 4 (4): 229–237. Стартовый код : 1967ИнМат...4..229П . дои : 10.1007/bf01425382 . S2CID 122180608 . Збл 0222.10022 .
^ Лам (2005) стр.391
^ Дюбуа, Д.В. (1967). «Заметка о решении Артином 17-й проблемы Гильберта» . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 73 (4): 540–541. дои : 10.1090/s0002-9904-1967-11736-1 . Збл 0164.04502 .
^ Лоренц (2008) стр.16
^ Маккенна, К. (1975). Новые факты о семнадцатой проблеме Гильберта . Теория моделей и алгебра, Конспект лекций по математике. Том. 498. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. стр. 220–230.
^ Гондар, Даниэль; Рибенбойм, Пауло (1974). «17-я проблема Гильберта для матриц». Бык. наук. Математика. (2) . 98 (1): 49–56. МР 0432613 . Збл 0298.12104 .
^ Процессези, Клаудио; Шехер, Мюррей (1976). «Некоммутативный действительный Nullstellensatz и 17-я проблема Гильберта». Энн. математики . 2. 104 (3): 395–406. дои : 10.2307/1970962 . JSTOR 1970962 . МР 0432612 . Збл 0347.16010 .
^ Хиллар, Кристофер Дж.; Не, Цзяван (2008). «Элементарное и конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта для матриц». Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 136 (1): 73–76. arXiv : math/0610388 . дои : 10.1090/s0002-9939-07-09068-5 . S2CID 119639574 . Збл 1126.12001 .
^ Куиллен, Дэниел Г. (1968). «О представлении эрмитовых форм в виде суммы квадратов». Изобретать. Математика . 5 (4): 237–242. Бибкод : 1968InMat...5..237Q . дои : 10.1007/bf01389773 . S2CID 119774934 . Збл 0198.35205 .
^ Д'Анджело, Джон П.; Лебл, Иржи (2012). «Теорема Пфистера не работает в эрмитовом случае». Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 140 (4): 1151–1157. arXiv : 1010.3215 . дои : 10.1090/s0002-9939-2011-10841-4 . S2CID 92993604 . Збл 1309.12001 .

Ссылки

Пфистер, Альбрехт (1976). «Семнадцатая проблема Гильберта и связанные с ней проблемы об определенных формах». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 483–489. ISBN 0-8218-1428-1 .
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . Збл 1068.11023 .
Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер-Верлаг . стр. 15–27. ISBN 978-0-387-72487-4 . Збл 1130.12001 .
Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .

[1] Мари-Франсуаза Рой . Роль задач Гильберта в реальной алгебраической геометрии. Материалы девятого собрания EWM, Локкум, Германия, 1999 г.

[2] Гильберт, Дэвид (сентябрь 1888 г.). «О представлении определенных форм в виде суммы квадратов фигур» . Математические летописи . 32 (3): 342–350. дои : 10.1007/bf01443605 . S2CID 177804714 .

[3] Моцкин, Т. С. (1967). «Арифметико-геометрическое неравенство». В Шише, Овед (ред.). Неравенства . Академическая пресса. стр. 205–224.

[4] Блехерман, Григорий (2006). «Неотрицательных многочленов значительно больше, чем сумм квадратов» . Израильский математический журнал . 153 (1): 355–380. дои : 10.1007/BF02771790 . ISSN 0021-2172 .

[5] Гильберт, Дэвид (декабрь 1893 г.). «О троичных определенных формах» . Акта Математика . 17 (1): 169–197. дои : 10.1007/bf02391990 .

[6] Артин, Эмиль (1927). «О разложении определенных функций в квадраты». Трактаты математического семинара в Гамбургском университете . 5 (1): 100–115. дои : 10.1007/BF02952513 . S2CID 122607428 .

[7] Делзелл, Китай (1984). «Непрерывное конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта». Математические изобретения . 76 (3): 365–384. Бибкод : 1984InMat..76..365D . дои : 10.1007/BF01388465 . S2CID 120884276 . Збл 0547.12017 .

[Pf1967-8] Jump up to: ^а ^б Пфистер, Альбрехт (1967). «О представлении определенных функций в виде сумм квадратов». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 4 (4): 229–237. Стартовый код : 1967ИнМат...4..229П . дои : 10.1007/bf01425382 . S2CID 122180608 . Збл 0222.10022 .

[Lam391-9] Лам (2005) стр.391

[10] Дюбуа, Д.В. (1967). «Заметка о решении Артином 17-й проблемы Гильберта» . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 73 (4): 540–541. дои : 10.1090/s0002-9904-1967-11736-1 . Збл 0164.04502 .

[11] Лоренц (2008) стр.16

[12] Маккенна, К. (1975). Новые факты о семнадцатой проблеме Гильберта . Теория моделей и алгебра, Конспект лекций по математике. Том. 498. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. стр. 220–230.

[13] Гондар, Даниэль; Рибенбойм, Пауло (1974). «17-я проблема Гильберта для матриц». Бык. наук. Математика. (2) . 98 (1): 49–56. МР 0432613 . Збл 0298.12104 .

[14] Процессези, Клаудио; Шехер, Мюррей (1976). «Некоммутативный действительный Nullstellensatz и 17-я проблема Гильберта». Энн. математики . 2. 104 (3): 395–406. дои : 10.2307/1970962 . JSTOR 1970962 . МР 0432612 . Збл 0347.16010 .

[15] Хиллар, Кристофер Дж.; Не, Цзяван (2008). «Элементарное и конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта для матриц». Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 136 (1): 73–76. arXiv : math/0610388 . дои : 10.1090/s0002-9939-07-09068-5 . S2CID 119639574 . Збл 1126.12001 .

[16] Куиллен, Дэниел Г. (1968). «О представлении эрмитовых форм в виде суммы квадратов». Изобретать. Математика . 5 (4): 237–242. Бибкод : 1968InMat...5..237Q . дои : 10.1007/bf01389773 . S2CID 119774934 . Збл 0198.35205 .

[17] Д'Анджело, Джон П.; Лебл, Иржи (2012). «Теорема Пфистера не работает в эрмитовом случае». Учеб. Являюсь. Математика. Соц . 140 (4): 1151–1157. arXiv : 1010.3215 . дои : 10.1090/s0002-9939-2011-10841-4 . S2CID 92993604 . Збл 1309.12001 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]