Положительно определенная функция

В математике положительно определенная функция — это, в зависимости от контекста, один из двух типов функций .

Определение 1

Позволять $\mathbb {R}$ быть набором действительных чисел и $\mathbb {C}$ быть набором комплексных чисел .

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ называется положительно-полуопределенным, если для любого ^{[ нужны разъяснения ]} действительные числа x ₁ , …, x _n матрица n × n размера

A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})

– положительная полуопределенная матрица . ^{[ нужна ссылка ]}

По определению, положительная полуопределенная матрица, такая как $A$ , является эрмитовым ; следовательно, f (− x ) является комплексно-сопряженным f ( x ) ).

В частности, необходимо (но недостаточно), чтобы

f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)

(эти неравенства следуют из условия n = 1, 2.)

Функция является отрицательно-полуопределенной, если неравенство обращено на противоположное. Функция является определенной , если слабое неравенство заменить сильным (<, > 0).

Примеры

Если $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ является реальным пространством внутреннего продукта , тогда $g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$ , $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$ положительно определен для каждого $y\in X$ : для всех $u\in \mathbb {C} ^{n}$ и все $x_{1},\ldots ,x_{n}$ у нас есть

u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.

Поскольку неотрицательные линейные комбинации положительно определенных функций снова являются положительно определенными, функция косинуса является положительно определенной как неотрицательная линейная комбинация вышеуказанных функций:

\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}).

Можно создать положительно определенную функцию $f\colon X\to \mathbb {C}$ легко из положительно определенной функции $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ для любого векторного пространства $X$ : выберите линейную функцию $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ и определить $f^{*}:=f\circ \phi$ .Затем

u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f)}u\geq 0,

где ${\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}$ где ${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})$ различны как $\phi$ является линейным . ^[1]

Теорема Бохнера

Положительная определенность естественным образом возникает в теории преобразования Фурье ; Непосредственно видно, что для того, чтобы функция была положительно определенной, достаточно, чтобы f была преобразованием Фурье функции g на действительной прямой с g ( y ) ≥ 0.

Обратным результатом является теорема Бохнера , утверждающая, что любая непрерывная положительно определенная функция на действительной прямой является преобразованием Фурье (положительной) меры . ^[2]

Приложения

В статистике , и особенно байесовской статистике , теорема обычно применяется к действительным функциям. Обычно n скалярных измерений некоторой скалярной величины в точках $R^{d}$ измеряются, и точки, которые взаимно близки, должны иметь измерения, которые сильно коррелируют. На практике необходимо следить за тем, чтобы результирующая ковариационная матрица ( матрица размера n × n ) всегда была положительно определенной. Одна из стратегий состоит в том, чтобы определить корреляционную матрицу A , которая затем умножается на скаляр, чтобы получить ковариационную матрицу : она должна быть положительно определенной. Теорема Бохнера утверждает, что если корреляция между двумя точками зависит только от расстояния между ними (через функцию f ), то функция f ковариационную матрицу A. должна быть положительно определенной, чтобы гарантировать положительно определенную См . Кригинг .

В этом контексте терминология Фурье обычно не используется, а вместо этого утверждается, что f ( x ) является функцией симметричной характеристической функции плотности вероятности (PDF) .

Обобщение

можно определить положительно определенные функции На любой локально компактной абелевой топологической группе ; Теорема Бохнера распространяется и на этот контекст. Положительно определенные функции на группах естественным образом возникают в теории представлений групп в гильбертовых пространствах (т. е. в теории унитарных представлений ).

Определение 2

Альтернативно, функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ называется положительно определенным в окрестности D начала координат, если $f(0)=0$ и $f(x)>0$ для каждого ненулевого $x\in D$ . ^[3]^[4]

Обратите внимание, что это определение противоречит определению 1, данному выше.

В физике требование, чтобы $f(0)=0$ иногда опускается (см., например, Корни и Олсен ^[5]).

См. также

Ссылки

Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессел. Гармонический анализ полугрупп , GTM, Springer Verlag.
З. Сасвари, Положительно определенные и дефинитизируемые функции , Akademie Verlag, 1994.
Уэллс, Дж. Х.; Уильямс, Л.Р. Вложения и расширения в анализе . Результаты математики и ее пограничных областей, Том 84. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1975. vii+108 стр.

Примечания

^ Чейни, Эллиот Уорд (2009). Курс теории приближений . Американское математическое общество. стр. 77–78. ISBN 9780821847985 . Проверено 3 февраля 2022 г.
^ Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . Издательство Принстонского университета.
^ Ферхюльст, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-60934-2 .
^ Хан, Вольфганг (1967). Стабильность движения . Спрингер.
^ Корни, Дж. Ф.; Олсен, МК (19 февраля 2015 г.). «Негауссовы чистые состояния и положительные функции Вигнера». Физический обзор А. 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Бибкод : 2015PhRvA..91b3824C . дои : 10.1103/PhysRevA.91.023824 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119293595 .

Внешние ссылки

«Положительно-определенная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Чейни, Эллиот Уорд (2009). Курс теории приближений . Американское математическое общество. стр. 77–78. ISBN 9780821847985 . Проверено 3 февраля 2022 г.

[2] Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . Издательство Принстонского университета.

[3] Ферхюльст, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-60934-2 .

[4] Хан, Вольфганг (1967). Стабильность движения . Спрингер.

[5] Корни, Дж. Ф.; Олсен, МК (19 февраля 2015 г.). «Негауссовы чистые состояния и положительные функции Вигнера». Физический обзор А. 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Бибкод : 2015PhRvA..91b3824C . дои : 10.1103/PhysRevA.91.023824 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119293595 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]