Теорема Бохнера

В математике ( теорема Бохнера названная в честь Саломона Бохнера ) характеризует преобразование Фурье положительной конечной борелевской меры на действительной прямой. В более общем смысле в гармоническом анализе теорема Бохнера утверждает, что при преобразовании Фурье непрерывная положительно определенная функция на локально компактной абелевой группе соответствует конечной положительной мере на двойственной группе Понтрягина . Случай последовательностей был впервые установлен Густавом Герглотцем (см. также соответствующую теорему о представлении Герглотца ). ^{[ 1 ]}

Теорема для локально компактных абелевых групп

Теорема Бохнера для локально компактной абелевой группы G с двойственной группой ${\widehat {G}}$ , говорит следующее:

Теорема. Для любой нормированной непрерывной положительно определенной функции f на G (нормализация здесь означает, что f равна 1 в единице G ), существует единственная вероятностная мера µ на G. ${\widehat {G}}$ такой, что

f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ),

— т. е. f преобразование Фурье уникальной вероятностной меры µ на ${\widehat {G}}$ . И наоборот, преобразование Фурье вероятностной меры на ${\widehat {G}}$ обязательно является нормированной непрерывной положительно определенной функцией f на G . На самом деле это переписка один в один.

Преобразование Гельфанда –Фурье является изоморфизмом групповой C*-алгебры C*( G ) и C ₀ ( Ĝ ). Теорема по существу представляет собой двойственное утверждение для состояний двух абелевых С*-алгебр.

Доказательство теоремы проходит через векторные состояния сильно непрерывных унитарных представлений группы G (фактически доказательство показывает, что каждая нормированная непрерывная положительно определенная функция должна иметь этот вид).

Учитывая нормализованную непрерывную положительно определенную функцию f на G , можно построить сильно непрерывное унитарное представление G естественным образом : Пусть F ₀ ( G ) — семейство комплекснозначных функций на G с конечным носителем, т. е. h ( g ) = 0 для всех, кроме конечного числа g . Положительно определенное ядро K ( g ₁ , g ₂ ) = f ( g ₁ − g ₂ ) индуцирует (возможно, вырожденное) скалярное произведение на F ₀ ( G ). Квотирование вырождения и взятие пополнения дает гильбертово пространство.

({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f}),

типичным элементом которого является класс эквивалентности [ h ]. Для фиксированного g в G « оператор сдвига » U _g , определенный формулой ( U _g )( h ) (g') = h ( g ' − g ), для представителя [ h ], унитарен. Итак, карта

g\mapsto U_{g}

является унитарным представлением G на $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{f})$ . Ввиду непрерывности f он слабо непрерывен, а значит, и сильно непрерывен. По конструкции мы имеем

\langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),

где [ e ] — класс функции, которая равна 1 в единице G и нулю в другом месте. Но в силу изоморфизма Гельфанда–Фурье векторное состояние $\langle \cdot [e],[e]\rangle _{f}$ на C*( G ) — это возврат состояния на $C_{0}({\widehat {G}})$ , что обязательно является интегрированием по вероятностной мере µ . Преследование изоморфизмов тогда дает

\langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).

С другой стороны, если задана вероятностная мера µ на ${\widehat {G}}$ , функция

f(g)=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi )

— нормированная непрерывная положительно определенная функция. Непрерывность f следует из теоремы о доминируемой сходимости . Для положительной определенности возьмем невырожденное представление $C_{0}({\widehat {G}})$ . Это однозначно распространяется на представление его мультипликативной алгебры $C_{b}({\widehat {G}})$ и, следовательно, сильно непрерывное унитарное представление U _g . Как и выше, у нас есть f, заданная некоторым векторным состоянием на U _g

f(g)=\langle U_{g}v,v\rangle ,

следовательно, положительно-определенный.

Эти две конструкции взаимно обратны.

Особые случаи

Теорема Бохнера в частном случае дискретной группы Z часто называется теоремой Герглотца (см. теорему Герглотца о представлении ) и говорит, что функция f на Z с f (0) = 1 является положительно определенной тогда и только тогда, когда существует существует вероятностная мера µ на окружности T такая, что

f(k)=\int _{\mathbb {T} }e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).

Аналогично, непрерывная функция f на R с f (0) = 1 является положительно определенной тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера µ на R такая, что

f(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi i\xi t}\,d\mu (\xi ).

Приложения

В статистике теорема Бохнера может использоваться для описания серийной корреляции определенного типа временных рядов . Последовательность случайных величин $\{f_{n}\}$ (в широком смысле), среднего значения 0 является стационарным временным рядом если ковариация

\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})

зависит только от n - m . Функция

g(n-m)=\operatorname {Cov} (f_{n},f_{m})

называется автоковариационной функцией временного ряда. По предположению о среднем нуле,

g(n-m)=\langle f_{n},f_{m}\rangle ,

где ⟨⋅, ⋅⟩ обозначает скалярное произведение в гильбертовом пространстве случайных величин с конечными вторыми моментами. Тогда сразу становится очевидным, что g является положительно определенной функцией целых чисел $\mathbb {Z}$ . По теореме Бохнера существует единственная положительная мера µ на [0, 1] такая, что

g(k)=\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu (x).

Эта мера µ называется спектральной мерой временного ряда. Он дает информацию о «сезонных тенденциях» сериала.

Например, пусть z — корень m -й степени из единицы (при текущей идентификации это 1/ m ∈ [0, 1]), а f — случайная величина со средним значением 0 и дисперсией 1. Рассмотрим временной ряд $\{z^{n}f\}$ . Функция автоковариации

g(k)=z^{k}.

Очевидно, соответствующей спектральной мерой является точечная масса Дирака с центром в точке z . Это связано с тем, что временной ряд повторяется каждые m периодов.

Когда g имеет достаточно быстрое затухание, мера µ относительно абсолютно непрерывна меры Лебега, а ее производная Радона–Никодима f называется спектральной плотностью временного ряда. Когда g лежит в $\ell ^{1}(\mathbb {Z} )$ , f — преобразование Фурье g .

См. также

Ссылки

^ Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2 , Wiley, с. 634

Лумис, Л.Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Ван Ностранд
М. Рид и Барри Саймон , Методы современной математической физики , вып. II, Академик Пресс, 1975.
Рудин, В. (1990), Фурье-анализ групп , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-Х

[1] Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2 , Wiley, с. 634

[ 1 ]