Откат

В математике откат — это один из двух разных, но связанных процессов: предварительное соединение и волокно-продукт. Его двойник – это движение вперед .

Предварительная композиция

Предварительная композиция с функцией , вероятно, дает самое элементарное понятие отката: проще говоря, функция $f$ переменной $y,$ где $y$ сам по себе является функцией другой переменной $x,$ можно записать как функцию $x.$ Это откат $f$ по функции $y.$ $f(y(x))\equiv g(x)$

Это настолько фундаментальный процесс, что его часто игнорируют.

Однако в этом смысле «отодвинуть назад» можно не только функции. Откат может применяться ко многим другим объектам, таким как дифференциальные формы и их классы когомологий ; видеть

Волокно-продукт

Пакет откатов — это пример, который соединяет понятие отката как предварительной композиции и понятие отката как декартова квадрата . В этом примере базовое пространство расслоения отодвигается назад в смысле предварительной композиции, как указано выше. Затем волокна перемещаются вместе с точками базового пространства, в которых они закреплены: полученный новый пучок откатов локально выглядит как декартово произведение нового базового пространства и (неизмененного) волокна. Тогда расслоение обратных связей имеет две проекции: одну на базовое пространство, другую на слой; продукт этих двух становится когерентным, если рассматривать его как волокнистый продукт .

Обобщения и теория категорий

Понятие обратного образа как расслоенного произведения в конечном итоге приводит к очень общей идее категориального обратного образа, но у него есть важные частные случаи: пучки обратного образа (и обратного образа) в алгебраической геометрии и пучки обратного образа в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии.

См. также:

Функциональный анализ

Когда обратный путь изучается как оператор, действующий на функциональные пространства , он становится линейным оператором и известен как оператор транспонирования или композиции . Его сопряженным является оператор переноса, или, в контексте функционального анализа , оператор переноса .

Отношение

Связь между двумя понятиями обратного хода, пожалуй, лучше всего можно проиллюстрировать на примере участков пучков волокон: если $s$ представляет собой часть пучка волокон $E$ над $N,$ и $f:M\to N,$ затем откат (предварительная композиция) $f^{*}s=s\circ f$ из s с $f$ представляет собой участок связки откат (волокно-изделие) $f^{*}E$ над $M.$

См. также

Функтор обратного образа - функтор между категориями пучков со значениями абелевой группы, индуцированный непрерывным отображением между топологическими пространствами; сшивка предпучка, связанного с открытым набором U, индуктивный предел групп, связанных с открытыми надмножествами изображений U.

Ссылки