Категория волокна

Расслоенные категории (или расслоенные категории ) — это абстрактные сущности в математике, используемые для обеспечения общей основы теории происхождения . Они формализуют различные ситуации в геометрии и алгебре , в которых прообразы (или обратные образы ) таких объектов, как векторные расслоения могут быть определены . Например, для каждого топологического пространства существует категория векторных расслоений на пространстве, и каждому непрерывному отображению топологического пространства X в другое топологическое пространство Y соответствует обратного образа функтор , переводящий расслоения на Y в расслоения на X . Расслоенные категории формализуют систему, состоящую из этих категорий и функторов-прообразов. Подобные установки появляются в различных формах в математике, в частности в алгебраической геометрии , которая является контекстом, в котором первоначально появились расслоенные категории. Многоуровневые категории используются для определения стеков , которые представляют собой многоуровневые категории (по сайту) со «спуском». Расслоения также играют важную роль в категориальной семантике теории типов , в частности, в семантике теории типов. теории зависимого типа .

Расслоенные категории были введены Александром Гротендиком ( 1959 , 1971 ) и более подробно развиты Жаном Жиро ( 1964 , 1971 ).

Предыстория и мотивация

существует множество примеров В топологии и геометрии , когда считается, что некоторые типы объектов существуют в или над над ним ним некотором базовом пространстве, . Классические примеры включают векторные расслоения, главные расслоения и пучки над топологическими пространствами. Другой пример дают «семейства» алгебраических многообразий, параметризованные другим многообразием. Типичным для таких ситуаций является то, что для подходящего типа карты $f:X\to Y$ между базовыми пространствами существует соответствующая операция обратного образа (также называемая откатом ) $f^{*}$ взяв рассматриваемые объекты, определенные на $Y$ к объектам того же типа на $X$. Это действительно так в приведенных выше примерах: например, прообраз векторного расслоения $E$ на $Y$ векторное расслоение $f^{*}(E)$ на $X$.

Более того, часто бывает так, что рассматриваемые «объекты на базовом пространстве» образуют категорию или, другими словами, имеют отображения ( морфизмы ) между собой. В таких случаях операция обратного изображения часто совместима с композицией этих карт между объектами или, в более технических терминах, является функтором . Опять же, это имеет место в примерах, перечисленных выше.

Однако часто бывает так, что если $g:Y\to Z$ является другим отображением, функторы обратного образа не являются строго совместимыми с составными отображениями: если $z$ это объект над $Z$ (скажем, векторное расслоение), вполне возможно, что

$f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).$

Вместо этого эти прообразы лишь естественным образом изоморфны . Такое введение некоторой «слабости» в систему обратных образов приводит к появлению некоторых деликатных проблем, и именно эта установка формализует расслоенные категории.

Основное применение расслоенных категорий находится в теории спуска , связанной с обширным обобщением методов «склеивания», используемых в топологии. Чтобы обеспечить достаточную общность теории спуска для ее применения в нетривиальных ситуациях алгебраической геометрии, определение расслоенных категорий является довольно общим и абстрактным. Однако лежащая в основе этого интуиция довольно проста, если принять во внимание основные примеры, рассмотренные выше.

Формальные определения

Существуют два по существу эквивалентных технических определения расслоенных категорий, оба из которых будут описаны ниже. Все обсуждения в этом разделе игнорируют теоретико-множественные проблемы, связанные с «большими» категориями. Обсуждение можно сделать совершенно строгим, например, ограничив внимание небольшими категориями или используя вселенные .

Декартовы

Если $\phi :F\to E$ является функтором между двумя категориями и $S$ является объектом $E$, подкатегория то $F$ состоящее из этих объектов $x$ для которого $\phi (x)=S$ и эти морфизмы $m$ удовлетворяющий $\phi (m)={\text{id}}_{S}$, называется категорией слоя (или слоем ) над $S$, и обозначается $F_{S}$. Морфизмы $F_{S}$ называются $S$-морфизмы и для $x,y$ объекты $F_{S}$, набор $S$-морфизмов обозначается ${\text{Hom}}_{S}(x,y)$. Изображение автор: $\phi$ объекта или морфизма в $F$ называется его проекцией (по $\phi$). Если $f$ является морфизмом $E$, то эти морфизмы $F$ этот проект, чтобы $f$ называются $f$-морфизмы и множество $f$-морфизмы между объектами $x$ и $y$ в $F$ обозначается ${\text{Hom}}_{f}(x,y)$.

Морфизм $m:x\to y$ в $F$ называется $\phi$-декартов (или просто декартов ), если он удовлетворяет следующему условию:

если $f:T\to S$ это проекция $m$, и если $n:z\to y$ является $f$-морфизм, то существует ровно один $T$-морфизм $a:z\to x$ такой, что $m\circ a=n$.

морфизм Декартовский $m:x\to y$ называется прообразом своей проекции $f=\phi (m)$; объект $x$ называется прообразом ​ $y$ к $f$.

Декартовы морфизмы категории слоев $F_{S}$ являются в точности изоморфизмами $F_{S}$. Вообще может существовать более одного декартова морфизма, проектирующегося на данный морфизм. $f:T\to S$, возможно, имеющие разные источники; таким образом, может быть более одного прообраза данного объекта. $y$ в $F_{S}$ к $f$. Однако прямым следствием определения является то, что два таких прообраза изоморфны в $F_{T}$.

Рабочий $\phi :F\to E$ также называется $E$-категория или, как говорят, сделать $F$ в $E$-категория или категория над $E$. Ан $E$-функтор из $E$-категория $\phi :F\to E$ для $E$-категория $\psi :G\to E$ это функционер $\alpha :F\to G$ такой, что $\psi \circ \alpha =\phi$. $E$-категории естественным образом образуют 2-категорию , причем 1-морфизмы $E$-функторы, а 2-морфизмы являются естественными преобразованиями между $E$-функторы, компоненты которых лежат в каком-либо слое.

Ан $E$-функтор между двумя $E$-категории называется декартовым функтором, если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Декартовы функторы между двумя $E$-категории $F,G$ сформировать категорию ${\text{Cart}}_{E}(F,G)$, с естественными преобразованиями в качестве морфизмов. Особый случай представляет собой рассмотрение $E$ как $E$-категория через тождественный функтор: затем декартов функтор из $E$ для $E$-категория $F$называется декартовым сечением . Таким образом, декартово сечение состоит из выбора одного объекта. $x_{S}$ в $F_{S}$ для каждого объекта $S$ в $E$, и для каждого морфизма $f:T\to S$ выбор прообраза $m_{f}:x_{T}\to x_{S}$. Таким образом, декартово сечение представляет собой (строго) совместимую систему прообразов над объектами. $E$. Категория декартовых сечений $F$ обозначается

${\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).$

В важном случае, когда $E$ имеет терминальный объект $e$ (таким образом, в частности, когда $E$ это топос или категория $E_{/S}$ стрел с целью $S$ в $E$) функтор

$\epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)$

вполне верен (лемма 5.7 Жиро (1964)).

Расслоенные категории и раздвоенные категории

Технически наиболее гибкое и экономичное определение расслоенных категорий основано на концепции декартовых морфизмов. Это эквивалентно определению в терминах расщеплений , причем последнее определение фактически является оригинальным, представленным Гротендиком (1959); определение в терминах декартовых морфизмов было введено Гротендиком (1971) в 1960–1961 гг.

Ан $E$ категория $\phi :F\to E$ является расслоенной категорией (или расслоенной $E$-category или категория, наложенная на $E$), если каждый морфизм $f$ из $E$ кодомен которого находится в области проекции, имеет хотя бы один прообраз, причем композиция $m\circ n$ любых двух декартовых морфизмов $m,n$ в $F$всегда декартово. Другими словами, $E$-категория является расслоенной категорией, если прообразы всегда существуют (для морфизмов, ко-области которых находятся в области проекции) и транзитивны .

Если $E$ имеет терминальный объект $e$ и если $F$ расслоен $E$, то функтор $\epsilon$ от декартовых сечений к $F_{e}$ Определенное в конце предыдущего раздела, это эквивалентность категорий и, более того, сюръективность объектов.

Если $F$ представляет собой волокнистую структуру $E$-категории, это всегда возможно, для каждого морфизма $f:T\to S$ в $E$ и каждый объект $y$ в $F_{S}$, выбрать (с помощью аксиомы выбора ) ровно один прообраз $m:x\to y$. Выбранный таким образом класс морфизмов называется расщеплением , а выбранные морфизмы называются транспортными морфизмами (расщепления). Расслоенная категория вместе с расщеплением называется раздвоенной категорией . Расщепление называется нормализованным , если транспортные морфизмы включают все тождества из $F$; это означает, что прообразы тождественных морфизмов выбираются в качестве тождественных морфизмов. Очевидно, что если расщепление существует, его можно выбрать нормализованным; ниже мы будем рассматривать только нормированные спайности.

Выбор (нормализованного) спайности волокнистого $E$-категория $F$ указывает для каждого морфизма $f:T\to S$ в $E$, функционер $f^{*}:F_{S}\to F_{T}$; на объектах $f^{*}$является просто прообразом соответствующего транспортного морфизма и на морфизмах определяется естественным образом посредством определяющего универсального свойства декартовых морфизмов. Операция, которая связывается с объектом $S$ из $E$ категория волокна $F_{S}$ и к морфизму $f$ функтор обратного изображения $f^{*}$ является почти контравариантным функтором из $E$к категории категорий. Однако в общем случае он не может строго коммутировать с композицией морфизмов. Вместо этого, если $f:T\to S$ и $g:U\to T$ являются морфизмами в $E$, то существует изоморфизм функторов

$c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.$

Эти изоморфизмы удовлетворяют следующим двум совместимости:

1. $c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}$
2. для трех последовательных морфизмов $h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S$ и объект $x\in F_{S}$ имеет место следующее: $c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).$

Можно показать (см. Гротендик (1971), раздел 8), что, наоборот, любой набор функторов $f^{*}:F_{S}\to F_{T}$ вместе с изоморфизмами $c_{f,g}$удовлетворяющий указанным выше совместимости, определяет разделенную категорию. Эти коллекции функторов обратного образа обеспечивают более интуитивное представление о расслоенных категориях; и действительно, именно в терминах таких совместимых функторов обратного образа расслоенные категории были введены Гротендиком (1959).

В статье Грея, о которой идет речь ниже, проводятся аналогии между этими идеями и понятием расслоения пространств.

Эти идеи упрощаются в случае группоидов , как показано в упомянутой ниже статье Брауна, в которой получено полезное семейство точных последовательностей из расслоения группоидов.

Расщепления и расщепленные категории

(Нормализованное) расщепление такое, что композиция двух транспортных морфизмов всегда является транспортным морфизмом, называется расщеплением , а расслоенная категория с расщеплением называется расщепляемой (расслоенной) категорией . В терминах функторов прообразов условие расщепления означает, что композиция функторов прообразов, соответствующих составным морфизмам $f,g$ в $E$ равен функтору обратного образа, соответствующему $f\circ g$. Другими словами, изоморфизмы совместимости $c_{f,g}$из предыдущего раздела все идентификаторы разделенной категории. Таким образом, раскол $E$-категории в точности соответствуют истинным функторам из $E$ к категории категорий.

В отличие от расщеплений, не все расслоенные категории допускают расщепления. Пример смотрите ниже .

-декартовы морфизмы и ко-

Можно инвертировать направление стрелок в приведенных выше определениях, чтобы прийти к соответствующим понятиям ко-декартовых морфизмов, ко-расслоенных категорий и расщепленных ко-расслоенных категорий (или ко-расщепленных категорий). Точнее, если $\phi :F\to E$ является функтором, то морфизм $m:x\to y$ в $F$ называется кокартезианским, если он декартов для противоположного функтора $\phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}$. Затем $m$ еще называют прямым изображением и $y$ прямой образ $x$ для $f=\phi (m)$. Соволоконное волокно $E$-категория — это $E$-категория такая, что прямой образ существует для каждого морфизма в $E$и что композиция прямых образов есть прямой образ. Совместное расщепление и совместное расщепление определяются аналогично и соответствуют функторам прямого образа вместо функторов обратного образа.

Свойства

Две категории расслоенных категорий и разделенные категории

Категории, наслоенные на фиксированную категорию $E$ сформировать 2-категории $\mathbf {Fib} (E)$, где категория морфизмов между двумя расслоенными категориями $F$ и $G$ определяется как категория ${\text{Cart}}_{E}(F,G)$ декартовых функторов из $F$ к $G$.

Аналогичным образом разделены категории по $E$ сформировать 2-категории $\mathbf {Scin} (E)$ (от французского catégorie scindée ), где категория морфизмов между двумя разделенными категориями $F$ и $G$ это полная подкатегория ${\text{Scin}}_{E}(F,G)$ из $E$-функторы из $F$ к $G$ состоящий из тех функторов, которые преобразуют каждый транспортный морфизм $F$ в транспортный морфизм $G$. Каждый такой морфизм расщепления $E$-категории также является морфизмом $E$-расслоенные категории, т.е. ${\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)$.

Существует естественный забывчивый 2-функтор $i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)$ это просто забывает о расщеплении.

Существование эквивалентных разделенных категорий

Хотя не все расслоенные категории допускают расщепление, каждая расслоенная категория фактически эквивалентна расщепленной категории. Действительно, существует два канонических способа построить эквивалентную расщепляемую категорию для данной расслоенной категории. $F$ над $E$. Точнее, забывчивый 2-функтор $i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)$ допускает правое 2-сопряженное $S$ и левый 2-сопряженный $L$ (теоремы 2.4.2 и 2.4.4 Жиро, 1971 г.) и $S(F)$ и $L(F)$— это две связанные категории разделения. Функторы присоединения $S(F)\to F$ и $F\to L(F)$являются одновременно декартовыми и эквивалентностями ( там же ). Однако, хотя их состав $S(F)\to L(F)$является эквивалентностью (категорий и, более того, расслоенных категорий), это не вообще морфизм расщепляемых категорий. Таким образом, две конструкции в целом различаются. Две предыдущие конструкции разделенных категорий критически используются при построении стека, связанного с расслоенной категорией (и, в частности, стека, связанного с пред-стеком ).

Категории, объединенные в группоиды

Существует родственная конструкция расслоенных категорий, называемая категориями, расслоенными в группоидах. Это многослойные категории $p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}$ такая, что любая подкатегория ${\mathcal {F}}$ данный

1. Исправить объект $c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$
2. Объектами подкатегории являются $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})$ где $p(x)=c$
3. Стрелки даны $f:x\to y$ такой, что $p(f)={\text{id}}_{c}$

является группоидом, обозначаемым ${\mathcal {F}}_{c}$. Соответствующие 2-функторы из конструкции Гротендика являются примерами стеков . Короче говоря, ассоциированный функтор $F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}$ отправляет объект $c$ в категорию ${\mathcal {F}}_{c}$и морфизм $d\to c$индуцирует функтор из расслоенной структуры категорий. А именно, для объекта $x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})$ рассматривается как объект ${\mathcal {F}}$, есть объект $y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})$ где $p(y)=d$. Эта ассоциация дает функтор ${\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}$ который является функтором группоидов.

Примеры

Многослойные категории

1. Функтор ${\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}$, отправляющий категорию в ее набор объектов, является слоением. Для набора $S$, волокно состоит из категорий $C$ с ${\text{Ob}}(C)=S$. Декартовы стрелки являются вполне точными функторами.
2. Категории стрел : Для любой категории. $E$ категория стрелок $A(E)$ в $E$ имеет в качестве объектов морфизмы в $E$и как морфизмы коммутативные квадраты в $E$ (точнее, морфизм из $f:X\to T$ к $g:Y\to S$ состоит из морфизмов $a:X\to Y$ и $b:T\to S$ такой, что $bf=ga$). Функтор, который доставляет стрелу к цели, делает $A(E)$ в $E$-категория; для объекта $S$ из $E$ волокно $E_{S}$ это категория $E_{/S}$ из $S$-объекты в $E$, т. е. стрелки в $E$ с целью $S$. Декартовы морфизмы в $A(E)$ являются декартовыми квадратами в $E$, и поэтому $A(E)$ расслоен $E$ именно тогда, когда волокнистые продукты существуют в $E$.
3. Пучки волокон : продукты из волокна существуют в категории ${\text{Top}}$ топологических пространств и, следовательно, по предыдущему примеру $A({\text{Top}})$ расслоен ${\text{Top}}$. Если ${\text{Fib}}$ это полная подкатегория $A({\text{Top}})$ состоящее из стрелок, которые являются проекциями расслоений , то ${\text{Fib}}_{S}$ — категория расслоений на $S$ и ${\text{Fib}}$ расслоен ${\text{Top}}$. Выбор расщепления сводится к выбору обычных функторов обратного образа (или обратного образа ) для расслоений.
4. Векторные расслоения : аналогично предыдущим примерам, проекции $p:V\to S$ вещественных (комплексных) векторных расслоений в их базовые пространства образуют категорию ${\text{Vect}}_{\mathbb {R} }$ ( ${\text{Vect}}_{\mathbb {C} }$) над ${\text{Top}}$(морфизмы векторных расслоений, учитывающие структуру векторного пространства слоев). Этот ${\text{Top}}$-категория также расслоена, а функторы обратного образа представляют собой обычные функторы обратного образа для векторных расслоений. Эти расслоенные категории являются (неполными) подкатегориями ${\text{Fib}}$.
5. Пучки в топологических пространствах : функторы обратного образа пучков образуют категории. ${\text{Sh}}(S)$ пучков на топологических пространствах $S$ в категорию (расщепленных) волокон ${\text{Sh}}$ над ${\text{Top}}$. Эту расслоенную категорию можно описать как полную подкатегорию $A({\text{Top}})$состоящее из этальных пространств пучков. Как и векторные расслоения, пучки групп и колец также образуют расслоенные категории ${\text{Top}}$.
6. Снопы на топосах : Если $E$ это топос и $S$ является объектом в $E$, категория $E_{S}$ из $S$-объекты – это также топос, интерпретируемый как категория пучков на $S$. Если $f:T\to S$ является морфизмом в $E$, функтор обратного изображения $f^{*}$ можно описать так: для пучка $F$ на $E_{S}$ и объект $p:U\to T$ в $E_{T}$ надо $f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)$ равно ${\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)$. Эти прообразы составляют категории $E_{S}$ в разделенную расслоенную категорию на $E$. Это может быть применено, в частности, к «большим» топосам. $TOP$ топологических пространств.
7. Квазикогерентные пучки на схемах : Квазикогерентные пучки образуют расслоенную категорию над категорией схем . Это один из мотивирующих примеров определения расслоенных категорий.
8. Расслоенная категория, не допускающая расщепления : группа $G$ можно рассматривать как категорию с одним объектом и элементами $G$как морфизмы, причем состав морфизмов задается групповым законом. Групповой гомоморфизм $f:G\to H$ тогда можно рассматривать как функтор, что делает $G$ в $H$-категория. Можно проверить, что в этой схеме все морфизмы из $G$являются декартовыми; следовательно $G$ расслоен $H$ именно тогда, когда $f$является сюръективным. Расщепление в этой схеме представляет собой (теоретико-множественный раздел ) $f$ который коммутирует строго с композицией, или, другими словами, с частью $f$что также является гомоморфизмом. Но, как известно в теории групп , это не всегда возможно (можно взять проекцию в нерасщепляемом расширении группы ).
9. Корасслоенная категория пучков : функтор прямого изображения пучков превращает категории пучков в топологических пространствах в корасслоенную категорию. Транзитивность прямого изображения показывает, что оно даже естественным образом является совместным.

Категория, состоящая из группоидов

Одним из основных примеров категорий, расслоенных на группоиды, являются группоидные объекты, внутренние по отношению к категории. ${\mathcal {C}}$. Итак, учитывая группоидный объект

$x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y$

существует связанный объект группоида

$h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}$

в категории контравариантных функторов ${\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})$из вложения йонеды . Поскольку эта диаграмма применена к объекту $z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})$ дает группоид, внутренний для множеств

$h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)$

существует связанный малый группоид ${\mathcal {G}}$. Это дает контравариантный 2-функтор $F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}$, и используя конструкцию Гротендика , это дает категорию, расслоенную на группоиды над ${\mathcal {C}}$. Обратите внимание, что категория слоя над объектом — это всего лишь связанный группоид из исходного группоида в наборах.

Групповой коэффициент

Учитывая групповой объект $G$ воздействие на объект $X$ от $a:G\to {\text{Aut}}(X)$, существует связанный объект группоида

$G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X$

где $s:G\times X\to X$ это проекция на $X$ и $t:G\times X\to X$ это карта состава $G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X$. Этот группоид дает индуцированную категорию, расслоенную на группоиды, обозначаемые $p:[X/G]\to {\mathcal {C}}$.

Двухчленный цепной комплекс

Для абелевой категории ${\mathcal {A}}$ любой двучленный комплекс

${\mathcal {E}}_{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}_{0}$

имеет связанный группоид

$s,t:{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{0}\rightrightarrows {\mathcal {E}}_{0}$

где

${\begin{aligned}s(e_{1}+e_{0})&=e_{0}\\t(e_{1}+e_{0})&=d(e_{1})+e_{0}\end{aligned}}$

этот группоид затем можно использовать для построения категории, расслоенной на группоиды. Одним из ярких примеров этого является изучение котангенса для локально полных пересечений и изучение exalcomm .

См. также

• Строительство Гротендика
• Стек (математика)
• критерий Артина
• Расслоение симплициальных множеств

Ссылки

• Жиро, Жан (1964). «Метод спуска». Мемуары Математического общества Франции . 2 : VIII+150.

• Жиро, Жан (1971). Неабелевы когомологии . Спрингер . ISBN  3-540-05307-7 .
• Гротендик, Александр (1959). «Техника спуска и теоремы существования в алгебраической геометрии. I. Общие положения. Спуск по точно плоским морфизмам». Семинар Бурбаки . 5 (Выставка 190): viii+150.
• Грей, Джон В. (1966). «Расслоенные и коволокнистые категории». Материалы конференции по категорической алгебре . Спрингер. стр. 21–83. дои : 10.1007/978-3-642-99902-4_2 . ISBN  978-3-642-99902-4 .
• Браун, Р. (1970). «Расслоения группоидов» (PDF) . Дж. Алгебра . 15 : 103–132. CiteSeerX   10.1.1.145.7569 . дои : 10.1016/0021-8693(70)90089-X .
• Гротендик, Александр (2006) [1971]. «Расслоенные категории и происхождение». Плоские накрытия и фундаментальная группа . Конспект лекций по математике. Полет. 224. Спрингер. стр. 145–194. arXiv : math/0206203 . Бибкод : 2002math......6203G . дои : 10.1007/BFb0058662 . ISBN  978-3-540-36910-3 .
• Бенабу, Жан (1985). «Расслоенные категории и основы наивной теории категорий» . Журнал символической логики . 50 (1): 10–37. дои : 10.2307/2273784 . JSTOR   2273784 . S2CID   18310794 .
• Джейкобс, Барт (1999). Категориальная логика и теория типов . Исследования по логике и основам математики 141. Северная Голландия, Elsevier. ISBN  0-444-50170-3 .

• Вистоли, Анджело (2007), Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска , arXiv : math.AG/0412512 , CiteSeerX   10.1.1.100.7908 .
• Фоа, Уэсли (1992). Введение в расслоения, теорию топоса, эффективный топос и скромные множества (Технический отчет). LFCS, факультет компьютерных наук, Эдинбургский университет. CiteSeerX   10.1.1.112.4533 . ECS-LFCS-92-208.
• Браун, Р.; Сивера, Р. (2009). «Алгебраические вычисления копределов в теории гомотопий с использованием расслоенных и корасслоенных категорий» . Теория и приложения категорий . 22 : 222–251. arXiv : 0809.4192 . CiteSeerX   10.1.1.436.3880 .
• Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж.; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические омега-группоиды . Трактаты по математике. Том. 15. Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-083-8 .

Внешние ссылки

• SGA 1.VI - Расслоенные категории и спуск - страницы 119-153
• Расслоение Гротендика в n Lab