Строительство Гротендика

Конструкция Гротендика (названа в честь Александра Гротендика ) — конструкция, используемая в математической области теории категорий . Это фундаментальная конструкция в теории спуска , теории стопок и расслоенной теории категорий . В категориальной логике конструкция используется для моделирования отношений между теорией типов и логикой над этой теорией типов и позволяет переводить концепции из теории индексированных категорий в расслоенную теорию категорий, например, концепцию гипердоктрины Лоувера.

Конструкция Гротендика была впервые изучена для предпучков особых случаев множеств Мак Лейном, где она была названа категорией элементов .

Мотивация

Если $\left\{A_{i}\right\}_{i\in I}$ представляет собой семейство множеств, индексированных другим множеством, можно образовать непересекающееся объединение или копроизведение

$\coprod _{i\in I}A_{i}$,

который представляет собой набор всех упорядоченных пар $(i,a)$ такой, что $a\in A_{i}$. Непересекающееся объединенное множество естественным образом снабжено «проекционным» отображением.

$\pi :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I$

определяется

$\pi (i,a)=i$.

Из проекции $\pi$ можно восстановить исходное семейство множеств $\left\{A_{i}\right\}_{i\in I}$ с точностью до канонической биекции, как для каждого $i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})$ через биекцию $a\mapsto (i,a)$. В этом контексте для $i\in I$, прообраз $\pi ^{-1}(\{i\})$ из одиночного набора $\{i\}$ называется «волокном» $\pi$ над $i$и любой набор $B$ оснащен возможностью выбора функции $f:B\to I$ говорят, что он «расслоен» на $I$. Таким образом, конструкция непересекающегося объединения дает возможность просмотреть любое семейство множеств, индексированных $I$ как набор, "расслоенный" на $I$и наоборот, для любого множества $f:B\to I$ натянутый на волокна $I$, мы можем рассматривать его как непересекающееся объединение слоев $f$. Джейкобс назвал эти две точки зрения «индексацией отображения» и «поточечной индексацией».

Конструкция Гротендика обобщает это на категории. Для каждой категории ${\mathcal {C}}$, семейство категорий $\{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}$ индексируется объектами ${\mathcal {C}}$ функториально конструкция Гротендика возвращает новую категорию ${\mathcal {E}}$ натянутый на волокна ${\mathcal {C}}$ с помощью функтора $\pi$ волокнами которого являются категории $\{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}$.

Определение

Позволять $F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Cat}$ быть функтором из любой малой категории в категорию малых категорий . Строительство Гротендика для $F$ это категория $\Gamma (F)$ (также написано $\textstyle \int _{\textstyle {\mathcal {C}}}F$, $\textstyle {\mathcal {C}}\int F$ или $F\rtimes {\mathcal {C}}$), с

• объекты являются парами $(c,x)$, где $c\in \operatorname {obj} ({\mathcal {C}})$ и $x\in \operatorname {obj} (F(c))$; и
• морфизмы в $\operatorname {hom} _{\Gamma (F)}((c_{1},x_{1}),(c_{2},x_{2}))$ будучи парами $(f,g)$ такой, что $f:c_{1}\to c_{2}$ в ${\mathcal {C}}$, и $g:F(f)(x_{1})\to x_{2}$ в $F(c_{2})$.

Композиция морфизмов определяется формулой $(f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ F(f)(g'))$.

Пример

Если $G$ является группой , то ее можно рассматривать как категорию, ${\mathcal {C}}_{G},$ с одним объектом и всеми морфизмами обратимыми . Позволять $F:{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Cat}$ быть функтором, значение которого в единственном объекте ${\mathcal {C}}_{G}$ это категория ${\mathcal {C}}_{H},$ категория, представляющая группу $H$ таким же образом. Требование, чтобы $F$ быть функтором, тогда эквивалентно указанию группового гомоморфизма $\varphi :G\to \operatorname {Aut} (H),$ где $\operatorname {Aut} (H)$ обозначает автоморфизмов группу $H.$ Наконец, конструкция Гротендика, $F\rtimes {\mathcal {C}}_{G},$ приводит к категории с одним объектом, которую снова можно рассматривать как группу, и в этом случае результирующая группа является ( изоморфной ) полупрямому произведению $H\rtimes _{\varphi }G.$

См. также

• Категория элементов

Ссылки

• Мак Лейн и Мурдейк, Пучки в геометрии и логике , стр. 44.
• Р.В. Томасон (1979). Гомотопические копределы в категории малых категорий. Математические труды Кембриджского философского общества, 85, стр. 91–109. doi:10.1017/S0305004100055535.

Специфический

Внешние ссылки

• Гротендик Строительство в n лаборатории