Категория элементов

В теории категорий , разделе математики, категория элементов предпучка — это категория , связанная с тем предпучком, объектами которого являются элементы множеств в предпучке.

Категория элементов симплициального множества является фундаментальной в симплициальной теории гомотопий, разделе алгебраической топологии . В более общем смысле, категория элементов играет ключевую роль в доказательстве того, что каждый взвешенный копредел может быть выражен как обычный копредел, что, в свою очередь, необходимо для основных результатов в теории поточечных левых кановских расширений и для характеристики предпучковой категории. как бесплатное дополнение категории.

Определение [ править ]

Позволять $C$ быть категорией и пусть $F:C^{\rm {op}}\to \mathbf {Sets}$ быть многозначным функтором . Категория : $el(F)$ элементов $F$ (также обозначаемая $\int C F$ ) — это категория, у которой

Объекты представляют собой пары $(A,a)$ где $A\in \mathop {\rm {Ob}} (C)$ и $a\in FA$ .
Морфизмы $(A,a)\to (B,b)$ стрелы $f:A\to B$ из $C$ такой, что $(Ff)b=a$ .

Эквивалентное определение состоит в том, что категория элементов $F$ — категория запятой $*↓ F$ , где $*$ — одноэлементный элемент (множество из одного элемента).

Категория элементов $F$ естественным образом оснащена проекционным функтором $Π: \int CF, \to C$ , который переводит объект $(A, a)$ в $A$ и стрелку $(A . a)\to(B, b)$ в лежащую в основе стрелку в $С.$

Как функтор от предпучков категориям к малым

Для малых $C$ эту конструкцию можно расширить до функтора $\int C$ от $Ĉ$ до $Cat$ , категории малых категорий . Используя лемму Йонеды, можно показать, что $\int C P ≅ y ↓ P$ , где $y : C \to Ĉ$ — вложение Йонеды. Этот изоморфизм естественен в $P$ , и, следовательно, функтор $\int C$ естественно изоморфен $y ↓-: Ĉ \to Cat$ .

См. также [ править ]

Строительство Гротендика

Ссылки [ править ]

Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98403-8 .
Мак Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992). Пучки в геометрии и логике . Университетский текст (исправленная ред.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97710-4 .

Внешние ссылки [ править ]

Категория элементов в n Lab