Эксалкомм

В алгебре классифицирующий Exalcomm — функтор, расширения коммутативной алгебры с помощью модуля . Точнее, элементы Exalcomm _k ( R , M ) являются классами изоморфизма коммутативных k -алгебр E с гомоморфизмом на k -алгебру ядром R, является которой R -модуль M ( при этом все пары элементов в M имеют произведение 0 ). Обратите внимание, что некоторые авторы используют Exal в качестве того же функтора. Существуют аналогичные функторы Exal и Exan для некоммутативных колец и алгебр, а также функторы Exaltop , Exantop и Exalcotop , которые учитывают . топологию

«Exalcomm» — это сокращение от «COMMutative ALgebra EXtension» (вернее, соответствующей французской фразы). Он был введен Гротендиком и Дьедонне (1964 , 18.4.2).

Exalcomm — одна из когомологий Андре–Квиллена групп и один из функторов Лихтенбаума–Шлезингера .

Для заданных гомоморфизмов коммутативных колец A → B → C и C -модуля L существует точная последовательность -модулей A ( Гротендик и Дьедонне, 1964 , 20.2.3.1).

{\begin{aligned}0\rightarrow \;&\operatorname {Der} _{B}(C,L)\rightarrow \operatorname {Der} _{A}(C,L)\rightarrow \operatorname {Der} _{A}(B,L)\rightarrow \\&\operatorname {Exalcomm} _{B}(C,L)\rightarrow \operatorname {Exalcomm} _{A}(C,L)\rightarrow \operatorname {Exalcomm} _{A}(B,L)\end{aligned}}

где Der _A ( B , L ) — модуль дифференцирований A -алгебры со значениями в L. B Эту последовательность можно расширить вправо с помощью когомологий Андре – Квиллена .

Расширения с квадратным нулем

Чтобы понять конструкцию Exal, необходимо определить понятие расширения с квадратным нулем. Исправить топос $T$ и пусть все алгебры являются алгебрами над ним. Обратите внимание, что топос точки представляет собой частный случай коммутативных колец, поэтому гипотезу топоса можно игнорировать при первом чтении.

Определение

Чтобы определить категорию ${\underline {\text{Exal}}}$ нам нужно определить, что на самом деле представляет собой расширение с квадратным нулем. Учитывая сюръективный морфизм $A$ -алгебры $p:E\to B$ оно называется расширением с квадратными нулями, если ядро $I$ из $p$ имеет собственность $I^{2}=(0)$ является нулевым идеалом .

Примечание

Обратите внимание, что ядро может быть оснащено $B$ -структура модуля следующая: поскольку $p$ сюръективен, любой $b\in B$ есть лифт до $x\in E$ , так $b\cdot m:=x\cdot m$ для $m\in I$ . Поскольку любой лифт отличается элементом $k\in I$ в ядре и

(x+k)\cdot m=x\cdot m+k\cdot m=x\cdot m

поскольку идеалом является квадратный ноль, структура этого модуля четко определена.

Примеры

Из деформаций по двойственным числам

Расширения с квадратным нулем являются обобщением деформаций над двойственными числами . Например, деформация двойственных чисел

${\begin{matrix}{\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3})}}\right)&\to &{\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y][\varepsilon ]}{(y^{2}-x^{3}+\varepsilon )}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}$

имеет соответствующее расширение с квадратным нулем

$0\to (\varepsilon )\to {\frac {k[x,y][\varepsilon ]}{(y^{2}-x^{3}+\varepsilon )}}\to {\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3})}}\to 0$

из $k$ -алгебры.

От более общих деформаций

Но поскольку идея квадратных нулевых расширений более общая, деформации по $k[\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}]$ где $\varepsilon _{1}\cdot \varepsilon _{2}=0$ приведут примеры расширений с квадратным нулем.

Тривиальное расширение с квадратным нулем

Для $B$ -модуль $M$ , существует тривиальное расширение с квадратными нулями, заданное формулой $B\oplus M$ где структура продукта определяется выражением

(b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm)

следовательно, соответствующее расширение с квадратным нулем равно

0\to M\to B\oplus M\to B\to 0

где сюръекция — это карта проекции забывания $M$ .

Строительство

Общая абстрактная конструкция Exal ^[1] следует из первого определения категории расширений ${\underline {\text{Exal}}}$ над топосом $T$ (или просто категорию коммутативных колец), затем извлекая подкатегорию , в которой базовое кольцо $A$ ${\underline {\text{Exal}}}_{A}$ фиксируется, а затем с помощью функтора $\pi :{\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,-)\to {\text{B-Mod}}$ чтобы получить модуль расширений коммутативной алгебры ${\text{Exal}}_{A}(B,M)$ за фиксированную $M\in {\text{Ob}}({\text{B-Mod}})$ .

Генерал Экзал

Для этого фиксированного топоса пусть ${\underline {\text{Exal}}}$ быть категорией пар $(A,p:E\to B)$ где $p:E\to B$ является сюръективным морфизмом $A$ -алгебры такие, что ядро $I$ имеет квадратный ноль, где морфизмы определяются как коммутативные диаграммы между $(A,p:E\to B)\to (A',p':E'\to B')$ . Существует функтор

\pi :{\underline {\text{Exal}}}\to {\text{Algmod}}

отправка пары $(A,p:E\to B)$ паре $(A\to B,I)$ где $I$ это $B$ -модуль.

Exal _{A ,} Exal _A ( B , –)

Затем существует надкатегория, обозначаемая ${\underline {\text{Exal}}}_{A}$ (это означает, что существует функтор ${\underline {\text{Exal}}}_{A}\to {\displaystyle {\underline {\text{Exal}}}}$ ) где объекты являются парами $(A,p:E\to B)$ , но первый звонок $A$ фиксировано, поэтому морфизмы имеют вид

(A,p:E\to B)\to (A,p':E'\to B')

Происходит дальнейшее сокращение до другой сверхкатегории. ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,-)$ где морфизмы имеют вид

(A,p:E\to B)\to (A,p':E'\to B)

Экзал _А ( Б , Я )

Наконец, категория ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)$ имеет фиксированное ядро расширений с квадратными нулями. Обратите внимание, что в ${\text{Algmod}}$ , для фиксированного $A,B$ , есть подкатегория $(A\to B,I)$ где $I$ это $B$ -модуль, поэтому он эквивалентен ${\text{B-Mod}}$ . Следовательно, образ ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)$ под функтором $\pi$ живет в ${\text{B-Mod}}$ .

Классы изоморфизма объектов имеют структуру $B$ -модуль с тех пор ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)$ представляет собой стек Пикарда, поэтому категорию можно превратить в модуль ${\text{Exal}}_{A}(B,I)$ .

Структура Exal _A ( B , I )

Имеются некоторые результаты по структуре ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)$ и ${\text{Exal}}_{A}(B,I)$ которые полезны.

Автоморфизмы

Группа автоморфизмов объекта $X\in {\text{Ob}}({\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I))$ можно отождествить с автоморфизмами тривиального расширения $B\oplus M$ (явно мы имеем в виду автоморфизмы $B\oplus M\to B\oplus M$ совместим как с включением $M\to B\oplus M$ и проекция $B\oplus M\to B$ ). Они классифицируются модулем дериваций. ${\text{Der}}_{A}(B,M)$ . Следовательно, категория ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)$ это торсор. Фактически, это также можно интерпретировать как Gerbe, поскольку это группа, действующая в стеке.

Состав расширений

Есть еще один полезный результат о категориях ${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,-)$ описание расширений $I\oplus J$ , существует изоморфизм

${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I\oplus J)\cong {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,I)\times {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,J)$

Это можно интерпретировать как утверждение, что расширение квадратного нуля в результате деформации в двух направлениях может быть разложено на пару расширений квадратного нуля, каждое из которых направлено в направлении одной из деформаций.

Приложение

Например, деформации, заданные бесконечно малыми величинами $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$ где $\varepsilon _{1}^{2}=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}=\varepsilon _{2}^{2}=0$ дает изоморфизм

${\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{1})\oplus (\varepsilon _{2}))\cong {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{1}))\times {\underline {\text{Exal}}}_{A}(B,(\varepsilon _{2}))$

где $I$ является модулем этих двух бесконечно малых. В частности, если соотнести это с теорией Кодаиры-Спенсера и использовать сравнение с касательным комплексом (приведенным ниже), это означает, что все такие деформации классифицируются по

$H^{1}(X,T_{X})\times H^{1}(X,T_{X})$

следовательно, они представляют собой просто пару деформаций первого порядка, спаренных вместе.

Связь с котангенсным комплексом

Котангенсный комплекс содержит всю информацию о проблеме деформации, и это фундаментальная теорема, согласно которой морфизм колец $A\to B$ над топосом $T$ (ведение заметок $T$ как показывает точечный топос, это обобщает конструкцию для общих колец), существует функториальный изоморфизм

${\text{Exal}}_{A}(B,M)\xrightarrow {\simeq } {\text{Ext}}_{B}^{1}(\mathbf {L} _{B/A},M)$ ^[1]^{(теорема III.1.2.3)}

Итак, задан коммутативный квадрат кольцевых морфизмов

${\begin{matrix}A'&\to &B'\\\downarrow &&\downarrow \\A&\to &B\end{matrix}}$

над $T$ есть квадрат

${\begin{matrix}{\text{Exal}}_{A}(B,M)&\to &{\text{Ext}}_{B}^{1}(\mathbf {L} _{B/A},M)\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Exal}}_{A'}(B',M)&\to &{\text{Ext}}_{B'}^{1}(\mathbf {L} _{B'/A'},M)\end{matrix}}$

горизонтальные стрелки которого являются изоморфизмами и $M$ имеет структуру $B'$ -модуль из кольцевого морфизма.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Иллюзи, Люк. Котангенсный комплекс и деформации И. стр. 151–168.

Касательные пространства и теории препятствий - Олссон
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20:65 дои bf02684747 : 10.1007/ . МР 0173675 .
Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-43500-0 , ISBN 978-0-521-55987-4 , МР 1269324

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Иллюзи, Люк. Котангенсный комплекс и деформации И. стр. 151–168.

[1]