Абелева 2-группа

В математике абелева 2-группа — это многомерный аналог абелевой группы в смысле высшей алгебры . ^[1] которые первоначально были введены Александром Гротендиком при изучении абстрактных структур, окружающих абелевы многообразия и группы Пикара . ^[2] Более конкретно, они задаются группоидами. $\mathbb {A}$ которые имеют бифунктор $+:\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to \mathbb {A}$ что формально действует как сложение абелевой группы. А именно, бифунктор $+$ имеет понятие коммутативности , ассоциативности и тождественной структуры. Хотя эта структура кажется довольно высокой и абстрактной, существует несколько (очень конкретных) примеров абелевых 2-групп. Фактически, некоторые из них служат прототипами для более сложных примеров высших алгебраических структур, таких как абелевы n -группы .

Определение

Абелева 2-группа — это группоид. $\mathbb {A}$ (т. е. категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом ) с бифунктором $+:\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to \mathbb {A}$ и естественные трансформации

{\begin{aligned}\tau :&X+Y\Rightarrow Y+X\\\sigma :&(X+Y)+Z\Rightarrow X+(Y+Z)\end{aligned}}

которые удовлетворяют множеству аксиом, гарантирующих, что эти преобразования ведут себя аналогично коммутативности ( $\tau$ ) и ассоциативность $(\sigma )$ для абелевой группы. Один из мотивирующих примеров такой категории взят из категории Пикара линейных расслоений на схеме (см. ниже).

Примеры

Категория Пикарда

Для схемы или разновидности $X$ , существует абелева 2-группа $\operatorname {\textbf {Pic}} X$ чьи объекты являются линейными связками ${\mathcal {L}}$ а морфизмы задаются изоморфизмами линейных расслоений. Уведомление о данном линейном пакете ${\mathcal {L}}$

{\text{End}}({\mathcal {L}})={\text{Aut}}({\mathcal {L}})\cong {\mathcal {O}}_{X}^{*}

поскольку единственные автоморфизмы линейного расслоения задаются неисчезающей функцией на $X$ . Аддитивная структура $+$ задается тензорным произведением $\otimes$ на линейных пучках. Это делает более понятным, почему вместо равенства функторов должны быть естественные преобразования . Например, у нас есть только изоморфизм линейных расслоений

{\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}'\cong {\mathcal {L}}'\otimes {\mathcal {L}}

но не прямое равенство. Этот изоморфизм не зависит от выбранных линейных расслоений и является функториальным, следовательно, дает естественное преобразование

\tau :(-\otimes -)\to (-\otimes -)

переключение компонентов. Ассоциативность аналогичным образом следует из ассоциативности тензорных произведений линейных расслоений.

Двухчленные комплексы цепочек

Другим источником категорий Пикара являются двучленные цепные комплексы абелевых групп.

A^{-1}\xrightarrow {d} A^{0}

которые имеют связанную с ними каноническую группоидную структуру. Мы можем записать набор объектов как абелеву группу. $A^{0}$ и набор стрелок как набор $A^{-1}\oplus A^{0}$ . Тогда исходный морфизм $s$ стрелы $(a_{-1},a_{0})$ это карта проекции

s(a_{-1}+a_{0})=a_{0}

и целевой морфизм $t$ является

t(a_{-1}+a_{0})=d(a_{-1})+a_{0}

Обратите внимание, что это определение подразумевает группу автоморфизмов любого объекта. $a_{0}$ является $\operatorname {Ker} d$ . Заметим, что если мы повторим эту конструкцию для пучков абелевых групп на узле $X$ (или топологическое пространство ), мы получаем пучок абелевых 2-групп. Можно было бы предположить, что это можно использовать для построения всех таких категорий, но это не так. Фактически, , эту конструкцию необходимо обобщить на спектры . чтобы дать точное обобщение ^[3] ^{стр. 88}

Пример абелевой 2-группы в алгебраической геометрии

Одним из примеров является котангенсный комплекс для локальной схемы полного пересечения. $X$ который задается двучленным комплексом

\mathbf {L} _{X}^{\bullet }=i^{*}I/I^{2}\to i^{*}\Omega _{Y}

для встраивания $i:X\to Y$ . Существует прямая категориальная интерпретация этой абелевой 2-группы из теории деформаций с использованием категории Эксалкомма . ^[4]

Обратите внимание, что в дополнение к использованию двухчленного цепного комплекса вместо этого можно было бы рассмотреть цепной комплекс $A^{\bullet }\in Ch^{\leq 0}({\text{Ab}})$ и построить абелеву n -группу (или группу бесконечности).

Абелева 2-группа морфизмов

Для пары абелевых 2-групп $\mathbb {A} ,\mathbb {A} '$ существует ассоциированная абелева 2-группа морфизмов

{\text{Hom}}(\mathbb {A} ,\mathbb {A} ')

чьи объекты задаются функторами между этими двумя категориями, а стрелки задаются естественными преобразованиями. Более того, бифунктор $+'$ на $\mathbb {A} '$ индуцирует бифункторную структуру на этом группоиде, придавая ему абелеву 2-групповую структуру.

Классификация абелевых 2-групп

Для классификации абелевых 2-групп недостаточно строгих категорий Пикара с использованием двухчленных цепных комплексов. Один из подходов заключается в стабильной теории гомотопий с использованием спектров, которые имеют только две нетривиальные гомотопические группы . При изучении произвольной категории Пикара становится ясно, что для классификации структуры категории используются дополнительные данные, которые дает инвариант Постникова.

Postnikov invariant

Для абелевой 2-группы $\mathbb {A}$ и фиксированный объект $x\in {\text{Ob}}(\mathbb {A} )$ изоморфизмы функторов $x+(-)$ и $(-)+x$ задается стрелкой коммутативности

\tau :x+x\Rightarrow x+x

дает элемент группы автоморфизмов ${\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)$ какой квадрат к $1$ , следовательно, содержится в некотором $\mathbb {Z} /2$ . Иногда это наводяще пишется как $\pi _{1}(\mathbb {A} )$ . Мы можем назвать этот элемент $\varepsilon$ и этот инвариант индуцирует морфизм из классов изоморфизма объектов в $\mathbb {A}$ , обозначенный $\pi _{0}(\mathbb {A} )$ , к ${\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)$ , т. е. дает морфизм

\varepsilon :\pi _{0}(\mathbb {A} )\otimes \mathbb {Z} /2\to \pi _{1}(\mathbb {A} )={\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)

что соответствует инварианту Постникова . В частности, каждая категория Пикара, заданная в виде двухчленного цепного комплекса, имеет $\varepsilon =0$ потому что они соответствуют при соответствии Долд-Кана симплициальным абелевым группам с топологическими реализациями как произведение пространств Эйленберга – Маклейна.

K(H^{-1}(A^{\bullet }),1)\times K(H^{0}(A^{\bullet }),0)

Например, если у нас есть категория Пикарда с $\pi _{1}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} /2$ и $\pi _{0}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z}$ , не существует цепного комплекса абелевых групп, задающих эти группы гомологий, поскольку $\mathbb {Z} /2$ может быть задано только проекцией

\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot 2} \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2

Вместо этого эту категорию Пикара можно понимать как категориальную реализацию усеченного спектра. $\tau _{\leq 1}\mathbb {S}$ спектра сферы , где только две нетривиальные гомотопические группы спектра имеют степени $0$ и $1$ .

См. также

Ссылки

^ Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (28 июня 2011 г.). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара». arXiv : 1101.2918 [ math.AT ].
^ Гротендик, Александрель. «Разоблачение XVIII» (PDF) . СГА 4 . стр. 29–30.
^ Хопкинс, MJ; Певица, ИМ (24 августа 2005 г.). «Квадратичные функции в геометрии, топологии и М-теории». Дж. Дифференц. Геом . 70 (3): 329–452. arXiv : математика/0211216 . дои : 10.4310/jdg/1143642908 . S2CID 119170140 .
^ Олссон, Мартин. «Теории касательных и препятствий» (PDF) . стр. 13–18.

Диссертация Хоанг Суан Синя (Gr Категории)
Пирашвили, Теймураз (2010). «Об абелевых 2-категориях и производных 2-функторах». arXiv : 1007.4138 [ math.CT ].
Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (2011). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара». arXiv : 1101.2918 [ math.AT ].
Дебремекер, Раймонд (2017). «Когомологии со значениями в связке скрещенных групп по узлу». arXiv : 1702.02128 [ math.AG ]. - дает методы определения пучковых когомологий с коэффициентами в скрещенном модуле или категории Пикара.
Джонсон, Найлз; Осорно, Анжелика М. (2012). «Моделирование стабильных однотипных типов». arXiv : 1201.2686 [ math.AT ]. - изложение устойчивых 1-типов, содержащих связь с пикардными категориями
Гурски, Ник; Джонсон, Найлз; Осорно, Анжелика; Стефан, Марк (2017). «Стабильные данные Постникова для категорий Пикара 2». Алгебраическая и геометрическая топология . 17 (5): 2763–2806. arXiv : 1606.07032 . дои : 10.2140/agt.2017.17.2763 . S2CID 119324062 .

[1] Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (28 июня 2011 г.). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара». arXiv : 1101.2918 [ math.AT ].

[2] Гротендик, Александрель. «Разоблачение XVIII» (PDF) . СГА 4 . стр. 29–30.

[3] Хопкинс, MJ; Певица, ИМ (24 августа 2005 г.). «Квадратичные функции в геометрии, топологии и М-теории». Дж. Дифференц. Геом . 70 (3): 329–452. arXiv : математика/0211216 . дои : 10.4310/jdg/1143642908 . S2CID 119170140 .

[4] Олссон, Мартин. «Теории касательных и препятствий» (PDF) . стр. 13–18.

[1]

[2]

[3]

[4]