Postnikov system

В теории гомотопии , разделе алгебраической топологии , система Постникова (или башня Постникова ) — это способ разложения пространства топологического гомотопических групп с использованием обратной системы топологических пространств, гомотопический тип которых равен степени $k$ согласуется с усеченным гомотопическим типом исходного пространства $X$. Системы Постникова были предложены и названы в честь Михаила Постникова .

Определение

Система Постникова линейно -связного пространства. $X$ является обратной системой пространств

$\cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *$

с последовательностью карт $\phi _{n}:X\to X_{n}$ совместим с обратной системой такой, что

1. Карта $\phi _{n}:X\to X_{n}$ индуцирует изоморфизм $\pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})$ для каждого $i\leq n$.
2. $\pi _{i}(X_{n})=0$ для $i>n$.
3. Каждая карта $p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ является расслоением , поэтому слой $F_{n}$ — пространство Эйленберга–Маклейна , $K(\pi _{n}(X),n)$.

Первые два условия подразумевают, что $X_{1}$ также является $K(\pi _{1}(X),1)$-космос. В более общем смысле, если $X$ является $(n-1)$-связано, то $X_{n}$ это $K(\pi _{n}(X),n)$-пространство и все такое $X_{i}$ для $i<n$ являются сжимаемыми . Обратите внимание, что третье условие некоторыми авторами включено только опционально.

Существование

Системы Постникова существуют на связных комплексах CW , и существует слабая гомотопическая эквивалентность между $X$ и его обратный предел, поэтому

$X\simeq \varprojlim {}X_{n}$,

показывая это $X$ является CW-аппроксимацией его обратного предела. Их можно построить на комплексе CW путем итеративного уничтожения гомотопических групп. Если у нас есть карта $f:S^{n}\to X$ представляющий гомотопический класс $[f]\in \pi _{n}(X)$, мы можем взять выталкивание по карте границ $S^{n}\to e_{n+1}$, убивая гомотопический класс. Для $X_{m}$ этот процесс можно повторить для всех $n>m$, давая пространство, имеющее исчезающие гомотопические группы $\pi _{n}(X_{m})$. Используя тот факт, что $X_{n-1}$может быть построен из $X_{n}$ уничтожив все гомотопические карты $S^{n}\to X_{n}$, мы получаем карту $X_{n}\to X_{n-1}$.

Основная собственность

Одним из основных свойств башни Постникова, которое делает ее настолько полезной для изучения при вычислении когомологий, является тот факт, что пространства $X_{n}$ гомотопны комплексу CW ${\mathfrak {X}}_{n}$ который отличается от $X$ только по ячейкам размерности $\geq n+2$.

Гомотопическая классификация расслоений

Последовательность расслоений $p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ имеют гомотопически определенные инварианты, то есть гомотопические классы отображений $p_{n}$, дайте корректно определенный гомотопический тип $[X]\in \operatorname {Ob} (hTop)$. Гомотопический класс $p_{n}$ происходит при рассмотрении гомотопического класса классифицирующего отображения слоя $K(\pi _{n}(X),n)$. Соответствующая классифицирующая карта

$X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)$,

следовательно, гомотопический класс $[p_{n}]$ классифицируется гомотопическим классом

$[p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))$

называется n Постникова -м инвариантом $X$, поскольку гомотопические классы отображений в пространства Эйленберга-Маклана дают когомологии с коэффициентами в ассоциированной абелевой группе.

слоев для пространств с двумя нетривиальными

Одним из частных случаев гомотопической классификации является гомотопический класс пространств $X$ такая, что существует расслоение

$K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)$

дающий гомотопический тип с двумя нетривиальными гомотопическими группами, $\pi _{1}(X)=G$, и $\pi _{n}(X)=A$. Тогда, как следует из предыдущего обсуждения, карта расслоения $BG\to K(A,n+1)$ дает класс когомологий в

$H^{n+1}(BG,A)$,

который также можно интерпретировать как класс групповых когомологий . Это пространство $X$ можно считать высшей локальной системой .

Examples of Postnikov towers

Postnikov tower of a K ( G , n )

Одним из концептуально простейших случаев башни Постникова является пространство Эйленберга – Маклейна. $K(G,n)$. Это дает башню с

${\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}$

Постникова башня С ²

Башня Постникова для сферы $S^{2}$ представляет собой особый случай, первые несколько членов которого можно понять явно. Поскольку у нас есть первые несколько гомотопических групп односвязности из $S^{2}$, теория степеней сфер и расслоение Хопфа, дающее $\pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})$ для $k\geq 3$, следовательно

${\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}$

Затем, $X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)$, и $X_{3}$ происходит из последовательности откатов

${\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}$

который является элементом в

$[p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z}$.

Если бы это было тривиально, это означало бы $X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)$. Но это не так! Фактически, это объясняет, почему строгие группоиды бесконечности не моделируют гомотопические типы. Вычисление этого инварианта требует дополнительной работы, но его можно найти явно. Это квадратичная форма $x\mapsto x^{2}$ на $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ исходя из расслоения Хопфа $S^{3}\to S^{2}$. Обратите внимание, что каждый элемент в $H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })$ дает другую гомотопию 3-типа.

Гомотопические группы сфер

Одним из применений башни Постникова является вычисление гомотопических групп сфер . Для $n$-мерная сфера $S^{n}$ мы можем использовать теорему Гуревича, чтобы показать каждое $S_{i}^{n}$ сжимаема для $i<n$, поскольку из теоремы следует, что нижние гомотопические группы тривиальны. Напомним, что расслоения для любого Серра , например расслоения

$K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)$.

Затем мы можем сформировать гомологичную спектральную последовательность с $E^{2}$-условия

$E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)$.

И первое нетривиальное отображение на $\pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$,

$d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)$,

эквивалентно записано как

$d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$.

Если это легко вычислить $H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)$ и $H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)$, то мы сможем получить информацию о том, как выглядит эта карта. В частности, если это изоморфизм, мы получаем вычисление $\pi _{n+1}\left(S^{n}\right)$. Для случая $n=3$, это можно вычислить явно, используя расслоение путей для $K(\mathbb {Z} ,3)$, главное достояние башни Постникова для ${\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}$ (давая $H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0$и теорема об универсальных коэффициентах, дающая $\pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2$. Более того, благодаря теореме Фрейденталя о подвеске это фактически дает стабильную гомотопическую группу $\pi _{1}^{\mathbb {S} }$ с $\pi _{n+k}\left(S^{n}\right)$ является стабильным для $n\geq k+2$.

Обратите внимание, что аналогичные методы можно применить, используя башню Уайтхеда (ниже) для вычислений. $\pi _{4}\left(S^{3}\right)$ и $\pi _{5}\left(S^{3}\right)$, дающий первые две нетривиальные стабильные гомотопические группы сфер.

Postnikov towers of spectra

Помимо классической башни Постникова, в стабильной гомотопической теории существует понятие башен Постникова, построенных на спектрах. ^{стр. 85-86} .

Определение

Для спектра $E$ Постникова башня $E$ — диаграмма гомотопической категории спектров, ${\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})$, заданный

$\cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}$,

с картами

$\tau _{n}:E\to E_{(n)}$

езда на работу с $p_{n}$ карты. Тогда эта башня является башней Постникова, если выполняются два условия:

1. $\pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0$ для $i>n$,
2. $\left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)$ является изоморфизмом для $i\leq n$,

где $\pi _{i}^{\mathbb {S} }$ являются стабильными гомотопическими группами спектра. Оказывается, каждый спектр имеет башню Постникова, и эту башню можно построить с помощью индуктивной процедуры, аналогичной приведенной выше.

Башня Уайтхед

Учитывая комплекс ХО $X$Существует двойная конструкция башни Постникова, называемая башней Уайтхеда . Вместо уничтожения всех высших гомотопических групп башня Уайтхеда итеративно уничтожает низшие гомотопические группы. Это дает башня комплексов ХО,

$\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X$,

где

1. Нижние гомотопические группы равны нулю, поэтому $\pi _{i}(X_{n})=0$ для $i\leq n$.
2. Индуцированная карта $\pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)$ является изоморфизмом для $i>n$.
3. Карты $X_{n}\to X_{n-1}$ являются расслоениями со волокном $K(\pi _{n}(X),n-1)$.

Последствия

Уведомление $X_{1}\to X$ это универсальная обложка $X$ так как это накрывающее пространство с односвязным покрытием. Кроме того, каждый $X_{n}\to X$ является универсальным $n$-соединенная крышка $X$.

Строительство

Пространства $X_{n}$ в башне Уайтхеда построены индуктивным способом. Если мы построим $K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)$ убивая высшие гомотопические группы в $X_{n}$, мы получаем вложение $X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)$. Если мы позволим

$X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}$

для некоторой фиксированной базовой точки $p$, то индуцированное отображение $X_{n+1}\to X_{n}$ представляет собой расслоение со слоем, гомеоморфным

$\Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)$,

и, таким образом, мы имеем расслоение Серра

$K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}$.

Используя длинную точную последовательность в теории гомотопий, мы имеем, что $\pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)$ для $i\geq n+1$, $\pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0$ для $i<n-1$, и, наконец, существует точная последовательность

$0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0$,

где, если средний морфизм является изоморфизмом, две другие группы равны нулю. В этом можно убедиться, посмотрев на включение $X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)$ и отметив, что пространство Эйленберга – Маклейна имеет клеточное разложение

$X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}$; таким образом,

$\pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)$,

дающий желаемый результат.

слой

Другой способ рассматривать компоненты башни Уайтхеда — это гомотопическое волокно . Если мы возьмем

${\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})$

от башни Постникова получаем пространство $X^{n}$ который имеет

$\pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}$

спектров

Двойственное понятие башни Уайтхеда можно определить аналогичным образом, используя гомотопические слои в категории спектров. Если мы позволим

$E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)$

тогда это можно организовать в башне, дающей связанные покрытия спектра. Это широко используемая конструкция в теории бордизмов, поскольку накрытия спектра неориентированных кобордизмов $M{\text{O}}$ дает другие теории бордизма

${\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}$

например, струнный бордизм.

Башня Уайтхеда

В спина геометрии $\operatorname {Spin} (n)$ группа строится как универсальное накрытие Специальной ортогональной группы. $\operatorname {SO} (n)$, так $\mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)$ является расслоением, дающим первый член в башне Уайтхеда. Существуют физически значимые интерпретации более высоких частей этой башни, которые можно прочитать как

$\cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$

где $\operatorname {String} (n)$ это $3$-соединенная крышка $\operatorname {SO} (n)$ называется группой строк , и $\operatorname {Fivebrane} (n)$ это $7$-связная оболочка, называемая группой пятибран .

См. также

• Спектральная последовательность Адамса
• Пространство Эйленберга – Маклейна
• комплекс ХО
• Теория препятствий
• Стабильная теория гомотопий
• Гомотопические группы сфер
• Высшая группа

Ссылки

• Постников, Михаил Михайлович (1951). «Определение групп гомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов». Доклады Академии наук СССР . 76 : 359–362.
• Максим, Лаурентиу. «Конспекты лекций по гомотопической теории и ее приложениям» (PDF) . www.math.wisc.edu .
• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов - дает доступные примеры инвариантов Постникова.
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-79540-1 .
• Чжан. «Башни Постникова, башни Уайтхеда и их применение (рукописные записи)» (PDF) . www.math.purdue.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 13 февраля 2020 г.