Группа строк

В топологии , разделе математики , группа струн — это бесконечномерная группа. $\operatorname {String} (n)$ введен Штольцем (1996) как $3$-связная оболочка спиновой группы . Струнное многообразие — это многообразие с подъемом расслоения его фреймов в расслоение групп струн. Это означает, что помимо возможности определять голономию вдоль путей, можно также определять голономию для поверхностей, проходящих между строками. Существует короткая точная последовательность топологических групп.

$0\rightarrow {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0$

где $K(\mathbb {Z} ,2)$ является пространством Эйленберга – Маклейна и $\operatorname {Spin} (n)$ является спиновой группой. Группа строк — это запись в башне Уайтхеда (двойственной понятию башни Постникова ) для ортогональной группы :

$\cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)$

Его можно получить, убивая $\pi _{3}$ гомотопическая группа для $\operatorname {Spin} (n)$, точно так же, как $\operatorname {Spin} (n)$ получается из $\operatorname {SO} (n)$ убивая $\pi _{1}$. Полученное многообразие не может быть какой-либо конечномерной группой Ли , поскольку все конечномерные компактные группы Ли имеют ненулевую группу Ли. $\pi _{3}$. Группа пятибран следует за ней, убивая $\pi _{7}$.

В более общем смысле, построение башни Постникова с помощью коротких точных последовательностей, начинающихся с пространств Эйленберга – Маклейна, может быть применено к любой группе Ли G , давая струнную группу String ( G ).

Интуиция для струнной группы

Актуальность пространства Эйленберга-Маклана $K(\mathbb {Z} ,2)$ заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности

$K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z}$

для классифицирующего пространства $B\mathbb {Z}$, и тот факт $K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)$. Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы

$0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0$

Группу струн можно рассматривать как «высшее» комплексное расширение спиновой группы в смысле высшей теории групп , поскольку пространство $K(\mathbb {Z} ,2)$ является примером высшей группы. Можно думать о топологической реализации группоида $\mathbf {B} U(1)$ чей объект — одна точка, а морфизмы — группа $U(1)$. Заметим, что гомотопическая степень $K(\mathbb {Z} ,2)$ является $2$, то есть его гомотопия сосредоточена в степени $2$, поскольку оно происходит из гомотопического слоя отображения

$\operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)$

из башни Уайтхеда, гомотопическое коядро которого есть $K(\mathbb {Z} ,3)$. Это связано с тем, что гомотопический слой понижает степень на $1$.

Понимание геометрии

Геометрия расслоений струн требует понимания множественных конструкций теории гомотопий. но по сути они сводятся к пониманию того, что $K(\mathbb {Z} ,2)$-bundles и как ведут себя эти расширения более высоких групп. А именно, $K(\mathbb {Z} ,2)$- связки на пространстве $M$ геометрически представляются в виде гербов расслоений, поскольку любые $K(\mathbb {Z} ,2)$-расслоение можно реализовать как гомотопический слой отображения, дающего гомотопический квадрат

${\begin{matrix}P&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\M&\xrightarrow {} &K(\mathbb {Z} ,3)\end{matrix}}$

где $K(\mathbb {Z} ,3)=B(K(\mathbb {Z} ,2))$. Затем связка струн $S\to M$ должен сопоставляться со спин-пакетом $\mathbb {S} \to M$ который $K(\mathbb {Z} ,2)$-эквивариантно, аналогично тому, как спиновые расслоения эквивариантно отображаются в расслоение реперов.

Группа пятибран и высшие группы

Аналогично можно понять группу пятибран. убивая $\pi _{7}(\operatorname {Spin} (n))\cong \pi _{7}(\operatorname {O} (n))$ группа группы строк $\operatorname {String} (n)$ с помощью башни Уайтхеда. Затем это можно снова понять, используя точную последовательность высших групп.

$0\to K(\mathbb {Z} ,6)\to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to 0$

проведение презентации $\operatorname {Fivebrane} (n)$ это термины итерированного расширения, т. е. расширения с помощью $K(\mathbb {Z} ,6)$ к $\operatorname {String} (n)$. Карта заметок справа взята из башни Уайтхеда, а карта слева — это гомотопический слой.

См. также

• Gerbe
• N-группа (теория категорий)
• Эллиптические когомологии
• Струнный бордизм

Ссылки

• Энрикес, Андре Г.; Дуглас, Кристофер Л.; Хилл, Майкл А. (2011), «Гомологические препятствия ориентации струн», Int. Математика. Рез. Уведомления , 18 : 4074–4088, arXiv : 0810.2131 , Bibcode : 2008arXiv0810.2131D
• Вокель, Кристоф; Саксе, Кристоф; Николаус, Томас (2013), «Гладкая модель для группы строк», Международные уведомления о математических исследованиях , 2013 (16): 3678–3721, arXiv : 1104.4288 , Bibcode : 2011arXiv1104.4288N , doi : 10.1093/imrn/rns154
• Штольц, Стефан (1996), «Гипотеза о положительной кривизне Риччи и роде Виттена», Mathematische Annalen , 304 (4): 785–800, doi : 10.1007/BF01446319 , ISSN   0025-5831 , MR   1380455 , S2CID   12335957 3
• Штольц, Стефан; Тейхнер, Питер (2004), «Что такое эллиптический объект?» (PDF) , Топология, геометрия и квантовая теория поля , Лондонская математика. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 308, Cambridge University Press , стр. 247–343, doi : 10.1017/CBO9780511526398.013 , ISBN.  9780521540490 , МР   2079378

Внешние ссылки

• Баэз, Дж. (2007), Теория высших калибровок и группа струн
• От групп циклов к 2-группам - дает характеристику String(n) как 2-группы.
• струнная группа в n лаборатории
• Башня Уайтхеда в n лаборатории
• Что такое эллиптический объект?