n -группа (теория категорий)

В математике n - группа или n -мерная высшая группа — это особый вид n -категории , которая обобщает понятие группы на многомерную алгебру . Здесь, $n$ может быть любым натуральным числом или бесконечностью . Диссертация Александра Гротендика ученика Хоанг Сюань Синя представляла собой углубленное исследование 2-групп под названием «gr-категория».

Общее определение $n$ -группа является предметом продолжающихся исследований. Однако ожидается, что каждое топологическое пространство будет иметь гомотопию. $n$ -группа в каждой точке, которая будет инкапсулировать башню Постникова пространства с точностью до гомотопической группы $\pi _{n}$ , или всю башню Постникова за $n=\infty$ .

Примеры

Пространства Эйленберга-Маклана

Один из основных примеров высших групп взят из гомотопических типов пространств Эйленберга – Маклейна. $K(A,n)$ поскольку они являются фундаментальными строительными блоками для построения высших групп и гомотопических типов в целом. Например, каждая группа $G$ можно превратить в пространство Эйленберга-Маклана. $K(G,1)$ посредством простой конструкции, ^[1] и он ведет себя функториально . Эта конструкция дает эквивалентность между группами и 1-группами . Обратите внимание, что некоторые авторы пишут $K(G,1)$ как $BG$ , а для абелевой группы $A$ , $K(A,n)$ написано как $B^{n}A$ .

2-группы

Определение и многие свойства 2-групп уже известны. 2-группы можно описать с помощью скрещенных модулей и их классифицирующих пространств. По сути, они задаются четверкой $(\pi _{1},\pi _{2},t,\omega )$ где $\pi _{1},\pi _{2}$ это группы с $\pi _{2}$ абелев,

t:\pi _{1}\to \operatorname {Aut} \pi _{2}

групповой гомоморфизм и $\omega \in H^{3}(B\pi _{1},\pi _{2})$ когомологий класс . Эти группы можно закодировать как гомотопические $2$ -типы $X$ с $\pi _{1}X=\pi _{1}$ и $\pi _{2}X=\pi _{2}$ , причем действие происходит от действия $\pi _{1}X$ на высших гомотопических группах и $\omega$ исходящий от башни Постникова, так как имеется расслоение

B^{2}\pi _{2}\to X\to B\pi _{1}

исходя из карты $B\pi _{1}\to B^{3}\pi _{2}$ . Обратите внимание, что эту идею можно использовать для построения других более высоких групп с групповыми данными, имеющими тривиальные средние группы. $\pi _{1},e,\ldots ,e,\pi _{n}$ , где теперь последовательность расслоений

B^{n}\pi _{n}\to X\to B\pi _{1}

исходя из карты $B\pi _{1}\to B^{n+1}\pi _{n}$ гомотопический класс которого является элементом $H^{n+1}(B\pi _{1},\pi _{n})$ .

3-группы

Другой интересный и доступный класс примеров, который требует методов теории гомотопий, недоступных для строгих группоидов, связан с рассмотрением гомотопических 3-типов групп. ^[2] По сути, они задаются тройкой групп $(\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3})$ только первая группа неабелева, и есть некоторые дополнительные данные теории гомотопии из башни Постникова. Если мы возьмем эту 3-группу как гомотопический 3-тип $X$ , существование универсальных накрытий дает нам гомотопический тип ${\hat {X}}\to X$ которая укладывается в последовательность расслоений

{\hat {X}}\to X\to B\pi _{1}

давая гомотопию ${\hat {X}}$ введите с $\pi _{1}$ тривиально, на котором $\pi _{1}$ действует дальше. Это можно понять явно, используя предыдущую модель 2-групп , сдвинутую вверх по степени (так называемое разделение циклов). Явно, ${\hat {X}}$ вписывается в башню Постникова с соответствующим расслоением Серра

B^{3}\pi _{3}\to {\hat {X}}\to B^{2}\pi _{2}

давая, где $B^{3}\pi _{3}$ -пучок ${\hat {X}}\to B^{2}\pi _{2}$ происходит с карты $B^{2}\pi _{2}\to B^{4}\pi _{3}$ , давая класс когомологий в $H^{4}(B^{2}\pi _{2},\pi _{3})$ . Затем, $X$ можно восстановить с помощью гомотопического фактора ${\hat {X}}//\pi _{1}\simeq X$ .

n -группы

Предыдущая конструкция дает общее представление о том, как вообще рассматривать высшие группы. Для n -группы с группами $\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}$ причем последняя группа абелева, мы можем рассмотреть связанный с ней гомотопический тип $X$ и сначала рассмотрим универсальный чехол ${\hat {X}}\to X$ . Тогда это пространство с тривиальным $\pi _{1}({\hat {X}})=0$ , что упрощает построение остальной части гомотопического типа с использованием башни Постникова. Тогда гомотопический фактор ${\hat {X}}//\pi _{1}$ дает реконструкцию $X$ , показывая данные $n$ -группа — это высшая группа или простое пространство с тривиальной $\pi _{1}$ такое, что группа $G$ действует на него гомотопически теоретически. Это наблюдение отражается в том, что гомотопические типы реализуются не симплициальными группами , а симплициальными группоидами. ^[3]^{стр. 295} поскольку группоидная структура моделирует гомотопический фактор $-//\pi _{1}$ .

Проходим постройку 4-группы $X$ поучительно, поскольку дает общее представление о том, как вообще строить группы. Для простоты предположим $\pi _{1}=e$ тривиальна, поэтому нетривиальными группами являются $\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4}$ . Это дает башню Постникова

X\to X_{3}\to B^{2}\pi _{2}\to *

где первое нетривиальное отображение $X_{3}\to B^{2}\pi _{2}$ представляет собой расслоение со слоем $B^{3}\pi _{3}$ . Опять же, это классифицируется по классу когомологий в $H^{4}(B^{2}\pi _{2},\pi _{3})$ . Теперь, чтобы построить $X$ от $X_{3}$ , существует ассоциированное расслоение

B^{4}\pi _{4}\to X\to X_{3}

заданный гомотопическим классом $[X_{3},B^{5}\pi _{4}]\cong H^{5}(X_{3},\pi _{4})$ . В принципе ^[4] эта группа когомологий должна быть вычислима с использованием предыдущего расслоения $B^{3}\pi _{3}\to X_{3}\to B^{2}\pi _{2}$ со спектральной последовательностью Серра с правильными коэффициентами, а именно $\pi _{4}$ . Делая это рекурсивно, скажем, для $5$ -group , в худшем случае потребуется несколько вычислений спектральной последовательности $n!$ множество вычислений спектральной последовательности для $n$ -группа .

n -группы из пучковых когомологий

Для сложного многообразия $X$ с универсальной крышкой $\pi :{\tilde {X}}\to X$ , и пучок абелевых групп ${\mathcal {F}}$ на $X$ , для каждого $n\geq 0$ существует ^[5] канонические гомоморфизмы

\phi _{n}:H^{n}(\pi _{1}X,H^{0}({\tilde {X}},\pi ^{*}{\mathcal {F}}))\to H^{n}(X,{\mathcal {F}})

дающий метод связи n -групп, построенных из комплексного многообразия $X$ и пучковых когомологий на $X$ . Это особенно применимо к комплексным торам .

См. также

Ссылки

^ «О пространствах Эйленберга-Маклана» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 г.
^ Кондуше, Даниэль (1 декабря 1984 г.). «Обобщенные кросс-модули длины 2». Журнал чистой и прикладной алгебры . 34 (2): 155–178. дои : 10.1016/0022-4049(84)90034-3 . ISSN 0022-4049 .
^ Гёрсс, Пол Грегори. (2009). Симплициальная теория гомотопий . Джардин, Дж. Ф., 1951-. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-0346-0189-4 . OCLC 534951159 .
^ «Интегральные когомологии конечных башен Постникова» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 25 августа 2020 г.
^ Биркенхаке, Кристина (2004). Сложные абелевы многообразия . Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 573–574. ISBN 978-3-662-06307-1 . OCLC 851380558 .

Хоанг Суан Синь , Гр-категории , докторская диссертация, (1973)
- «Диссертация Хоанг Сюань Синя (Гр-категории)» . Архивировано из оригинала 27 августа 2022 г.
Баэз, Джон К.; Лауда, Аарон Д. (2003). «Многомерная алгебра V: 2 группы». arXiv : math/0307200v3 .
Робертс, Дэвид Майкл; Шрайбер, Урс (2008). «Внутренний автоморфизм 3-группы строгой 2-группы». Журнал гомотопии и родственных структур . 3 : 193–244. arXiv : 0708.1741 .
«Классификация слабых 3-групп» . MathOverflow .
Джардин, Дж. Ф. (январь 2001 г.). «Стеки и гомотопическая теория симплициальных пучков» . Гомология, гомотопия и приложения . 3 (2): 361–384. дои : 10.4310/HHA.2001.v3.n2.a5 . S2CID 123554728 .

Алгебраические модели гомотопических n -типов

Блан, Дэвид (1999). «Алгебраические инварианты гомотопических типов». Математические труды Кембриджского философского общества . 127 (3): 497–523. arXiv : математика/9812035 . Бибкод : 1999MPCPS.127..497B . дои : 10.1017/S030500419900393X . S2CID 17663055 .
Арваси, З.; Улуалан, Э. (2006). «Об алгебраических моделях гомотопических 3-типов» (PDF) . Журнал гомотопии и родственных структур . 1 :1–27. arXiv : math/0602180 .
Браун, Рональд (1992). «Вычисление типов гомотопий с использованием скрещенных n-кубов групп». Мемориальный симпозиум Адамса по алгебраической топологии . стр. 187–210. arXiv : math/0109091 . дои : 10.1017/CBO9780511526305.014 . ISBN 9780521420747 . S2CID 2750149 .
Джоял, Андре; Кок, Иоахим (2007). «Слабые единицы и гомотопические 3-типы». Категории по алгебре, геометрии и математической физике . Современная математика. Том. 431. стр. 257–276. дои : 10.1090/conm/431/08277 . ISBN 9780821839706 . S2CID 13931985 .
Алгебраические модели гомотопических n-типов в n Lab - размышления Тима Портера, обсуждающие подводные камни моделирования гомотопических n-типов с помощью n-кубов

Когомологии высших групп

Эйленберг, Сэмюэл; Маклейн, Сондерс (1946). «Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов» . Труды Национальной академии наук . 32 (11): 277–280. Бибкод : 1946PNAS...32..277E . дои : 10.1073/pnas.32.11.277 . ПМЦ 1078947 . ПМИД 16588731 .
Томас, Себастьян (2009). «Третья группа когомологий классифицирует расширения скрещенных модулей». arXiv : 0911.2861 [ мат.КТ ].
Томас, Себастьян (январь 2010 г.). «О второй группе когомологий симплициальной группы» . Гомология, гомотопия и приложения . 12 (2): 167–210. arXiv : 0911.2864 . дои : 10.4310/HHA.2010.v12.n2.a6 . S2CID 55449228 .
Нухи, Беранг (2011). «Групповые когомологии с коэффициентами в скрещенном модуле». Журнал Института математики Жюсье . 10 (2): 359–404. arXiv : 0902.0161 . дои : 10.1017/S1474748010000186 . S2CID 7835760 .

Когомологии высших групп на сайте

Обратите внимание, что это (немного) отличается от предыдущего раздела, поскольку речь идет о взятии когомологий в пространстве. $X$ со значениями в более высокой группе $\mathbb {G} _{\bullet }$ , давая высшие группы когомологий $\mathbb {H} ^{*}(X,\mathbb {G} _{\bullet })$ . Если мы рассматриваем $X$ как гомотопический тип и при условии гомотопической гипотезы , то это одни и те же группы когомологий.

Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (2011). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара» arXiv : 1101.2918 [ math.AT ].
Дебремекер, Раймонд (2017). «Когомологии со значениями в связке скрещенных групп по узлу». arXiv : 1702.02128 [ math.AG ].

[1] «О пространствах Эйленберга-Маклана» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 г.

[2] Кондуше, Даниэль (1 декабря 1984 г.). «Обобщенные кросс-модули длины 2». Журнал чистой и прикладной алгебры . 34 (2): 155–178. дои : 10.1016/0022-4049(84)90034-3 . ISSN 0022-4049 .

[3] Гёрсс, Пол Грегори. (2009). Симплициальная теория гомотопий . Джардин, Дж. Ф., 1951-. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-0346-0189-4 . OCLC 534951159 .

[4] «Интегральные когомологии конечных башен Постникова» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 25 августа 2020 г.

[5] Биркенхаке, Кристина (2004). Сложные абелевы многообразия . Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 573–574. ISBN 978-3-662-06307-1 . OCLC 851380558 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]