∞-группоид

В теории категорий , разделе математики , ∞-группоид — это абстрактная гомотопическая модель топологических пространств . Одна модель использует комплексы Кана , которые являются фибрантными объектами в категории симплициальных множеств (со стандартной структурой модели ). Это -категорию обобщение группоида на ∞ , категорию, в которой каждый морфизм является изоморфизмом .

Гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоиды эквивалентны пространствам с точностью до гомотопии.

Шаровидные группоиды

Александр Гротендик предложил в Pursuing Stacks что должна существовать чрезвычайно простая модель ∞-группоидов, использующая шаровые множества , первоначально называемые полусферическими комплексами. Эти множества построены как предпучки в глобулярной категории. $\mathbb {G}$. Это определяется как категория, объекты которой являются конечными ординалами. $[n]$ а морфизмы задаются формулами

$${\begin{aligned}\sigma _{n}:[n]\to [n+1]\\\tau _{n}:[n]\to [n+1]\end{aligned}}$$

такие, что глобальные отношения выполняются

$${\begin{aligned}\sigma _{n+1}\circ \sigma _{n}&=\tau _{n+1}\circ \sigma _{n}\\\sigma _{n+1}\circ \tau _{n}&=\tau _{n+1}\circ \tau _{n}\end{aligned}}$$

Они кодируют тот факт, что n -морфизмы не должны видеть ( n + 1)-морфизмы. При записи их в виде шарового множества $X_{\bullet }:\mathbb {G} ^{op}\to {\text{Sets}}$, исходная и целевая карты тогда записываются как

$${\begin{aligned}s_{n}=X_{\bullet }(\sigma _{n})\\t_{n}=X_{\bullet }(\tau _{n})\end{aligned}}$$

Мы также можем рассматривать шаровидные объекты в категории ${\mathcal {C}}$ как функторы

$$X_{\bullet }\colon \mathbb {G} ^{op}\to {\mathcal {C}}.$$

Первоначально была надежда, что такой строгой модели будет достаточно для теории гомотопий, но есть свидетельства, говорящие об обратном. Оказывается, для $S^{2}$ связанная с ним гомотопия $n$-тип $\pi _{\leq n}(S^{2})$ никогда не может быть смоделирован как строгий шаровидный группоид для $n\geq 3$. Это связано с тем, что строгие ∞-группоиды моделируют только пространства с тривиальным произведением Уайтхеда .

Примеры

Фундаментальный ∞-группоид

Учитывая топологическое пространство $X$ должен существовать ассоциированный фундаментальный ∞-группоид $\Pi _{\infty }X$ где объекты являются точками $x\in X$, 1-морфизмы $f:x\to y$ представляются как пути , 2-морфизмы — гомотопии путей, 3-морфизмы — гомотопии гомотопий и т. д. Из этого ∞-группоида можно найти $n$-группоид, называемый фундаментальным $n$-группоид $\Pi _{n}X$ гомотопическим типом которого является $\pi _{\leq n}X$.

Заметим, что взяв фундаментальный ∞-группоид пространства $Y$ такой, что $\pi _{>n}Y=0$ эквивалентен фундаментальному n -группоиду $\Pi _{n}Y$. Такое пространство можно найти с помощью башни Уайтхеда .

группоиды

Один полезный случай шаровидных группоидов связан с цепным комплексом , ограниченным сверху, поэтому давайте рассмотрим цепной комплекс. $C_{\bullet }\in {\text{Ch}}_{\leq 0}({\text{Ab}})$. Существует связанный с ним шаровидный группоид. Интуитивно, объекты — это элементы в $C_{0}$, морфизмы происходят от $C_{0}$ через сложную карту сети $d_{1}:C_{1}\to C_{0}$и выше $n$-морфизмы можно найти по комплексным картам высшей цепи. $d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$. Мы можем сформировать шаровое множество $\mathbb {C} _{\bullet }$ с

$${\begin{matrix}\mathbb {C} _{0}=&C_{0}\\\mathbb {C} _{1}=&C_{0}\oplus C_{1}\\&\cdots \\\mathbb {C} _{n}=&\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\end{matrix}}$$

и исходный морфизм $s_{n}:\mathbb {C} _{n}\to \mathbb {C} _{n-1}$ это карта проекции

$$pr:\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\to \bigoplus _{k=0}^{n-1}C_{k}$$

и целевой морфизм $t_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ это добавление цепочки комплексной карты $d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}$ вместе с картой проекции. Это образует шаровидный группоид, дающий широкий класс примеров строгих шаровидных группоидов. Более того, поскольку строгие группоиды встраиваются внутрь слабых группоидов, они также могут действовать как слабые группоиды.

Приложения

Высшие локальные системы

Одна из основных теорем о локальных системах состоит в том, что их можно эквивалентно описать как функтор фундаментального группоида. $\Pi X=\Pi _{\leq 1}X$ к категории абелевых групп , категории $R$-модули или какая-либо другая абелева категория . То есть локальная система эквивалентна заданию функтора

$${\mathcal {L}}:\Pi X\to {\text{Ab}}$$

обобщение такого определения требует от нас рассмотрения не только абелевой категории, но и производной от нее категории . Тогда высшая локальная система является ∞-функтором

$${\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }X\to D({\text{Ab}})$$

со значениями в некоторой производной категории. Это имеет то преимущество, что позволяет высшим гомотопическим группам $\pi _{n}X$ действовать на вышестоящую локальную систему, из серии усечений. Игрушечный пример для изучения взят из пространств Эйленберга – Маклейна. $K(A,n)$или взглянув на условия с башни Уайтхеда в пространстве. В идеале должен быть какой-то способ восстановить категории функторов. ${\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }X\to D({\text{Ab}})$ от их сокращений $\Pi _{n}X$ и карты $\tau _{\leq n-1}:\Pi _{n}X\to \Pi _{n-1}X$ волокнами которого должны быть категории $n$-функторы

$$\Pi _{n}(K(\pi _{n}X,n))\to D({\text{Ab}})$$

Еще одним преимуществом этого формализма является то, что он позволяет строить более высокие формы $\ell$-адические представления с использованием этального гомотопического типа ${\hat {\pi }}(X)$ схемы $X$ и построить высшие представления этого пространства, поскольку они задаются функторами

$${\mathcal {L}}:{\hat {\pi (X)}}\to D({\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })$$

Высшие шкивы

Другое применение ∞-группоидов — создание конструкций из n -гербов и ∞-гербов. Над пространством $X$ n -gerbe должен быть объектом ${\mathcal {G}}\to X$ так что при ограничении достаточно небольшим подмножеством $U\subset X$, ${\mathcal {G}}|_{U}\to U$ представляется n -группоидом, и при перекрытиях имеется согласие с точностью до некоторой слабой эквивалентности. Если предположить, что гипотеза гомотопии верна, это эквивалентно построению объекта ${\mathcal {G}}\to X$ такой, что над любым открытым подмножеством

$${\mathcal {G}}|_{U}\to U$$

является n- группой или гомотопическим n -типом . Поскольку нерв категории можно использовать для построения произвольного гомотопического типа, функтор над сайтом ${\mathcal {X}}$, например

$$p:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {X}}$$

приведу пример более высокого герба, если категория ${\mathcal {C}}_{U}$ лежать над любой точкой $U\in \operatorname {Ob} {\mathcal {X}}$ непустая категория. Кроме того, можно было бы ожидать, что эта категория будет удовлетворять некоторому условию спуска.

См. также

• Преследование стеков
• n -группа
• группоид
• Теория гомотопических типов

Ссылки

Научные статьи

• Генри, Саймон; Ланари, Эдоардо (2019). «О гомотопической гипотезе в размерности 3». arXiv : 1905.05625 [ мат.CT ].
• Бурк, Джон (2016). «Примечание о построении шаровых слабых омега-группоидов из типов, топологических пространств и т. д.». arXiv : 1602.07962 [ math.CT ].
• Полеселло, Пьетро; Вашикис, Инго (2004). «Высшая монодромия». arXiv : math/0407507 .
• Ойойа, Марк (2015). «Высшая теория Галуа». arXiv : 1506.07155 [ мат.CT ].

Приложения в алгебраической геометрии

• Тоэн, Бертран . «Гомотопические типы алгебраических многообразий» (PDF) . CiteSeerX   10.1.1.607.9789 .

Внешние ссылки

• бесконечный группоид в n лаборатории
• Мальциниотис, Жорж (2010), «∞-группоиды Гротендика и еще одно определение ∞-категорий», arXiv : 1009.2331 [ math.CT ]
• Завадовский, Марек, Введение в категории тестов (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2015 г.
• Ловеринг, Том (2012), Этальные когомологии и представления Галуа , CiteSeerX   10.1.1.394.9850